01

知識框架

02

知識點詳解

1

B樹

①定義與性質

B樹也叫B-樹。B樹是一種平衡的多分樹，通常我們說m階的B樹，是二叉排序樹的一種擴展，它必須滿足如下條件：

01

每個結點最多只有m-1個關鍵字。

02

根結點最少可以只有1個關鍵字。

03

非根結點至少有m/2個關鍵字。

04

每個結點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關鍵字的左子樹中的所有關鍵字都小于它，而右子樹中的所有關鍵字都大于它。

根結點的關鍵字數量范圍為[1,m-1]；非根結點的關鍵字數量范圍為[m/2,m-1]；

②B樹的插入

在進行B樹的插入時，根據上面提到的B樹的性質，我們可以總結出一條準則:在向B樹插入結點時，先判斷當前結點關鍵字的個數是否小于等于m-1，如果滿足，直接插入即可，如果不滿足，將結點的中間的關鍵字將這個結點分為左右兩部分，中間的結點放到父結點中即可。下面我們來看具體的例子:Q：向一顆5階B樹中插入關鍵字A：5階B樹中，每個結點最多有4個關鍵字，最少有2個關鍵字(根結點除外)。

01

插入15，30，45，60

?

02

插入19，此時該結點的關鍵字個數大于，需進行分裂

03

插入20，25，28

左邊結點的關鍵字數大于4，分裂

③B樹的刪除

B樹的插入比插入稍復雜些，只要牢記B樹應該滿足的條件，就能夠解題。下面我們來看一個B樹刪除關鍵字的例子：

01

刪除19，19所在結點所剩關鍵字個數大于2，則可以直接刪除

02

刪除30，30不是葉子結點，不能直接刪除。這種情況的規則：30是非葉子結點，對于非葉子結點的刪除，我們需要用后繼的關鍵字覆蓋要刪除的關鍵字，然后在后繼關鍵字所在的分支中刪除該關鍵字。對于刪除30，需要將后繼元素32移到被刪除的30所在的結點。

此時發現35所在的結點只有一個關鍵字，小于2個，這時候的規則是(向兄弟結點借元素)：如果刪除葉子結點，如果刪除元素后元素個數少于(m/2)，并且它的兄弟結點的元素大于(m/2)，也就是說兄弟結點的元素比最少值m/2還多，將先將父結點的元素移到該結點，然后將兄弟結點的元素再移動到父結點。

03

刪除40，刪除后不滿足B樹要求。需要考慮向兄弟結點借元素，但兄弟結點也沒有多的結點(2個)，借不了。若遇到這樣的情況，還是將先將父結點的元素移到該結點，然后，將當前結點及它的兄弟結點中的關鍵字合并，形成一個新的結點。

再與兄弟結點合并

2

B+樹

①定義與性質

B樹與B+樹有很多相似之處：

01

根結點所含關鍵字范圍：1 <= k <= m-1?

02

非根結點所含關鍵字范圍：m/2 <= k <= m-1

不同點：

01

B+樹有兩種類型的結點：內部結點(也稱索引結點)和葉子結點。內部結點就是非葉子結點，內部結點不存儲數據，只存儲索引，數據都存儲在葉子結點。

02

內部結點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，對于內部結點中的一個關鍵字，左樹中的所有關鍵字都小于它，右子樹中的關鍵字都大于等于它。葉子結點中的記錄也按照關鍵字的大小排列。

03

每個葉子結點都存有相鄰葉子結點的指針，葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接。?

04

父結點存有右孩子的第一個元素的索引。

下面我們來看一顆B+樹，感受一下它和B樹的區別。

②B＋樹的插入

B＋插入操作很簡單，掌握一個要點即可：當結點關鍵字數量大于m-1的時候，按中間關鍵字分裂成左右兩部分，中間關鍵字分裂到父結點當做索引存儲，但是，中間的關鍵字自身還是分裂右邊結點這一部分的。下面給大家舉一個B+樹的插入例子：向一顆5階的B+樹中插入元素。分析：5階B+樹的結點中最少2個關鍵字，最多4個關鍵字。

01

插入10，16，22，28

?

02

插入30，此時該結點的關鍵字數量大于4個了，進行結點分裂

03

接著插入35，39，結點繼續分裂?

③B＋樹的插入

對于刪除操作是比B樹簡單一些的，由于葉子結點有指針的存在，向兄弟結點借元素時，不需要通過父結點了，而是可以直接通過兄弟節移動即可(前提是兄弟結點的元素大于m/2)，然后更新父結點的索引；如果兄弟結點的元素不大于m/2(兄弟結點也沒有多余的元素)，則將當前結點和兄弟結點合并，并且刪除父結點中的關鍵字。下面我們來看一個例子：初始狀態B+樹：

01

刪除22，刪除后，發現B+樹不滿足要求，且左邊兄弟結點的關鍵字個數夠借，借關鍵字后再修改父結點索引。

?

02

刪除元素28，發現B+樹不滿足要求，并且發現左右兄弟結點都沒有多余的關鍵字可借，此時選擇與其兄弟結點合并再修改父結點索引。

此時，其父結點(30)也不滿足B+樹條件，故將結點30與其兄弟結點進行合并

03

相關習題

01

(2012年統考)已知一棵三階B樹，如下圖所示刪除關鍵字78得到一棵新B樹，其?最右葉結點中的關鍵字是()?

A、60

B、?60, 62

C、62, 65

D、65

(點擊選項查看答案)Tips：根據B樹應滿足的條件以及刪除B樹結點的準則即可解題。

02

(2016年統考)B+樹不同于B樹的特點之一是()

A、能支持順序查找

B、?結點中含有關鍵字

C、根結點至少有兩個分支

D、所有葉結點都在同一層上

(點擊選項查看答案)Tips：B+樹的葉結點包含了全部關鍵字信息，且按大小排列，故B+樹支持順序查找。B樹只支持多路查找。

03

(2018年統考)高度為5的3階B樹含有的關鍵字個數至少是()

A、15

B、31

A、解放思想

B、與時俱進

C、實事求是

D、持續穩定

進

C、62

D、242

(點擊選項查看答案)Tips：3階B樹的非根結點所包含的關鍵字個數最少是2個，而根結點最少包含1個關鍵字，這樣的樹型相當于一棵高度為5的滿二叉樹，利用公式計算出其包含的關鍵字個數最少是31。

計算機考研qq群

總群：625590924

廣大：1143982604

暨大：1071137230

廣工：938111325

華工：428389734

深大：729770764

浙大：978938582

廈大：1125268501

中大：921801084

南航：281118241

華農：515681663

重郵：736197896

北郵：1126650806

南郵：1109929146

廣外：976231252

東北大學：1128523098

華南師大：428389734

南昌大學：923249141

給個“在看”支持一下我

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高度为5的3阶b树含有的关键字个数_数据结构要考得好，你心里要有B树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。