1. 簡單線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念

先來看一道高考題：

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件

，則

的最大值是( )

A. 80

B. 85

C. 90

D. 95

(1)約束條件：變量x、y滿足的一組條件，如上面高考題中的二元一次不等式組

，就是對變量x、y的約束條件。

(2)線性約束條件：由變量x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組。如上面提到的二元一次不等式組中的約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。

(3)目標函數(shù)：欲求最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，如題中的

。

(4)線性目標函數(shù)：目標函數(shù)關(guān)于兩個變量x、y的一次解析式，對于目標函數(shù)

，變量x、y的次數(shù)都是一次，稱為線性目標函數(shù)。

(5)線性規(guī)劃問題：在線性約速條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值的問題。如試題中在線性約束條件

下，求線性目標函數(shù)z=10x+10y的最大值問題就是線性規(guī)劃問題。

(6)可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)。

(7)可行域：由所有可行解組成的集合，如圖1所示，△ABC的區(qū)域就稱為可行域。

圖1

(8)最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解。

2. 線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟

解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線(線性目標函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線)與平面區(qū)域(可行域)有交點時，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解，它的步驟如下：

(1)設(shè)出未知數(shù)，確定目標函數(shù)。

(2)確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。

(3)由目標函數(shù)

變形為

，所以求z的最值可看成是求直線

在y軸上截距的最值(其中a、b是常數(shù)，z隨x、y的變化而變化)。

(4)作平行線：將直線

平移(即作

的平行線)，使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使

最大(或最小)時所經(jīng)過的點，求出該點的坐標。

(5)求出最優(yōu)解：將(4)中求出的坐標代入目標函數(shù)，從而求出z的最大(小)值。

3. 特別關(guān)注

(1)可行域就是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可行域可能是封閉的多邊形，也可能是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域。

(2)有些問題要求出最優(yōu)解的整數(shù)解才符合實際情況，當解方程得到的解不是整數(shù)解時，常用下面的一些方法求解：

①平移直線法：先在可行域中畫網(wǎng)格，再描整點，平移直線

，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點坐標就是最優(yōu)解。

②檢驗優(yōu)值法：當可行域中整點個數(shù)較少時，可將整點坐標逐一代入目標函數(shù)求值，經(jīng)過比較得出最優(yōu)解。

③調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點的最優(yōu)解，再借助于不定方程知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點最優(yōu)解。

4. 典題示例

例：某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損為30%和10%，投資人計劃投資不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元。問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才可能使盈利最大？

解：設(shè)投資人分別將x萬元，y萬元投資于甲、乙兩個項目。

由題意知

，目標函數(shù)

上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖2所示，陰影部分(含邊界)即為可行域。

圖2

將

變?yōu)?/p>

，則當直線

過點M時，在y軸上的截距最大，即z取得最大值。

解

得

此時

所以當x=4，y=6時，z取得最大值7。

故投資人用4萬元資金投資甲項目、6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使盈利最大。

總結(jié)

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