首先，做一個(gè)簡(jiǎn)短的開(kāi)場(chǎng)白。

本貼主要是一個(gè)關(guān)于信號(hào)處理方面的學(xué)習(xí)筆記。主要目的有三，

作為研究筆記留存

分享我個(gè)人的理解

與專業(yè)人士進(jìn)行意見(jiàn)交換

另外由于樓主不是教課員，因此無(wú)法保證算法分析以及個(gè)人理解的完全正確性，若本人對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解有不到位的地方望予以指正。

下面進(jìn)入正題。

【概要】

數(shù)字濾波器主要分為【有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)】（FIR系統(tǒng)）以及【無(wú)限沖擊響應(yīng)系統(tǒng)】（IIR系統(tǒng)）。他們的優(yōu)缺點(diǎn)如下表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)精度需求的不同，應(yīng)選用相匹配的系統(tǒng)進(jìn)行濾波

下面通過(guò)具體的特性公式來(lái)理解。

【FIR系統(tǒng)】

一. 基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與特性方程：

FIR系統(tǒng)是有限沖激響應(yīng)系統(tǒng)，與移動(dòng)平均方法類似，

假設(shè)我們有一個(gè)有限沖激響應(yīng)h[n]，

h[n], n=0,1,...,M (h[n]=0, n<0, n>M)

為了進(jìn)行濾波，對(duì)其進(jìn)行卷積和運(yùn)算，可得到以下輸入與輸出函數(shù)關(guān)系，

其結(jié)構(gòu)圖可以總結(jié)為下圖，

具備這種結(jié)構(gòu)的數(shù)字系統(tǒng)我們就稱其為FIR系統(tǒng)（FIR濾波器）。當(dāng)然FIR濾波器的結(jié)構(gòu)不止一種，以上這種結(jié)構(gòu)叫做直接型FIR系統(tǒng)，其他的還有轉(zhuǎn)置型FIR系統(tǒng)，以及轉(zhuǎn)置型線性相位FIR系統(tǒng)。

通過(guò)差分方程與z變換公式（代換z=e^jΩ），我們可得到FIR濾波器的特性公式（推導(dǎo)過(guò)程在此省略，我們直接研究結(jié)果）：

頻率特性：

幅頻特征：

相頻特征：

這之中，h[n]為沖擊響應(yīng)，考慮到?jīng)_激響應(yīng)長(zhǎng)度（M+1）的奇偶性，可劃分分為以下4種類型。

（a）偶對(duì)稱，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度為奇數(shù)

（b）偶對(duì)稱，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度為偶數(shù)

（b）奇對(duì)稱，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度為奇數(shù)

（b）奇對(duì)稱，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度為偶數(shù)

我們把沖激響應(yīng)（a）帶入上述特性公式中，

頻率特性：

幅頻特性：

相頻特性：

二. 理解分析：

**頻率特性**

FIR系統(tǒng)的頻率特性其實(shí)是由FIR系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，通過(guò)帶入z=e^jΩ所得。

觀察這個(gè)公式我們可以知道，FIR系統(tǒng)的頻率特性，其實(shí)就是沖激響應(yīng)h(n)的頻率普，即DTFT(h(n))。

同時(shí)在FIR系統(tǒng)中，h(n)指的是系統(tǒng)函數(shù)（數(shù)字系統(tǒng)傳遞函數(shù)）的分子系數(shù)。使用Matlab設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，Matlab會(huì)根據(jù)我們?cè)O(shè)定的參數(shù)自動(dòng)計(jì)算并返回這個(gè)值。

**幅頻特性**

幅頻特性指的是濾波器的衰減率。橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為衰減率。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)幅頻特性反應(yīng)的物理意義，就是一個(gè)原始波x(n)中所包含的各個(gè)頻率成分，在濾波后還剩下的比例。

觀察實(shí)際的幅頻特性公式，我們發(fā)現(xiàn)衰減率的大小與頻率的三角函數(shù)值相關(guān)。因此我們可以理解FIR系統(tǒng)的衰減率是其實(shí)是通過(guò)三角函數(shù)來(lái)近似實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)沖擊響應(yīng)h[n]的階數(shù)M較低時(shí)，通過(guò)三角函數(shù)就很難再現(xiàn)出一條直線，特性曲線如圖所示：

我們可以看到，通帶衰減率為一個(gè)在1附近振蕩的三角函數(shù)曲線，因此濾波后數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生失真。但是當(dāng)h[n]的階數(shù)足夠大時(shí)，幅頻特性會(huì)無(wú)限接近于1，從而近似的實(shí)現(xiàn)全域通過(guò)特性。但是由于FIR系統(tǒng)為有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)，因此阻帶無(wú)法接近于0，呈現(xiàn)如下圖所示波紋。

這里還有一個(gè)容許誤差的概念，由于FIR系統(tǒng)只是通過(guò)三角函數(shù)近似的再現(xiàn)全域通過(guò)特性，因此通過(guò)控制階數(shù)M使三角函數(shù)的振幅限制在一定范圍之內(nèi)，這個(gè)范圍被稱為容許誤差，通過(guò)這種方法可以適當(dāng)?shù)臏p少濾波器階數(shù)M，減少信號(hào)延遲。

**相頻特性**

下面我們來(lái)聊聊相頻特性。

首先什么是相頻特性。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是指原始信號(hào)x(n)中所包含的各個(gè)頻率成分，在濾波后所產(chǎn)生的延遲量。

當(dāng)沖激響應(yīng)h(n)為(a)時(shí)，我們可以得到相頻特性方程為：

也就是說(shuō)，FIR系統(tǒng)的相頻特性曲線為一條與角頻率相關(guān)的直線，我們稱這種相頻特性為線性相頻特性或直線相頻特性。

物理意義方面解釋的話，就是說(shuō)濾波后的各個(gè)不同頻率成分產(chǎn)生時(shí)相互之間的延遲時(shí)間是呈線性分布的。

這種線性相位特性有什么好處呢？為什么是FIR系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)？

網(wǎng)上有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的例子，以音樂(lè)會(huì)為例子，有興趣的可以參考看看。

出自：https://blog.csdn.net/deepdsp/article/details/6804888

**延遲**

最后我們聊聊延遲，在濾波系統(tǒng)中，有兩個(gè)延遲的存在。

相位延遲

群延遲

相位延遲

首先相位延遲，指的就是上文所述的相頻特性所產(chǎn)生的各個(gè)不同頻率成分之間的延遲量。這個(gè)延遲若不是線性的，則會(huì)產(chǎn)生信號(hào)失真，對(duì)濾波結(jié)果的精度影響較大。

群延遲（group delay）

定義為入力波形與出力波形的相位差與角頻率的微分。

帶入相頻特性方程中，

可以看出，當(dāng)相頻特性為線性時(shí)，群延遲為常數(shù)，濾波器階數(shù)的一半。

那所以呢？會(huì)有什么影響？

其實(shí)很簡(jiǎn)單，從物理學(xué)角度來(lái)講，群延遲其實(shí)就是波形整體向右平移了M/2 Point的距離。根據(jù)采樣頻率的不同，這M/2 Point可以是1s的數(shù)據(jù)量(采樣頻率100Hz)，也有可能是0.1s的數(shù)據(jù)量(采樣頻率1000Hz)。

在offline分析中，這個(gè)延遲是可以通過(guò)去除對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)量進(jìn)行補(bǔ)償?shù)摹５橇硪环矫?#xff0c;在online分析中，這個(gè)延遲往往會(huì)產(chǎn)生很大影響。如何去除這個(gè)相位延遲，工程上有很多補(bǔ)償?shù)姆椒?#xff08;等我研究好了再分享），但是就FIR系統(tǒng)本身來(lái)說(shuō)，這里就涉及到零相位的課題了。

返回FIR系統(tǒng)的算法結(jié)構(gòu)圖，我們可以看到通過(guò)延遲器后的數(shù)據(jù)都是x[n-1]，也就是說(shuō)現(xiàn)在時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)，其實(shí)是過(guò)去M個(gè)時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)和對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)的卷積和。這個(gè)特性，被稱為濾波器的因果特性。只有具備這種特性的濾波器，才可在online系統(tǒng)中使用。

舉個(gè)栗子，當(dāng)我們處于信號(hào)輸出的開(kāi)始點(diǎn)的時(shí)候，也即是說(shuō)我們沒(méi)有過(guò)去數(shù)據(jù)，這種時(shí)候我們是沒(méi)有辦法進(jìn)行濾波的。這個(gè)就是群延遲以及相位延遲產(chǎn)生的原因。濾波器必須等到具備足夠的數(shù)據(jù)之后，才可以開(kāi)始工作。

套用一句經(jīng)典的話，想要做到實(shí)時(shí)的零相位延遲，需要兩個(gè)步驟：

1）move to another universe；

2）enjoy！！

出自：https://blog.csdn.net/csdn_kike/article/details/69061673

三. 驗(yàn)證

首先做一個(gè)驗(yàn)證用的原始曲線：

采樣頻率1000Hz10Hz,20

1-1500 point: 10Hz, 20Hz, 30Hz的混合波（30Hz為噪音）

1501-2500 point: 10Hz, 20Hz混合波（無(wú)噪音）

頻譜圖：

設(shè)計(jì)兩個(gè)低通濾波器

20階，25Hz低通濾波器

200階，25Hz低通濾波器

幅頻與相頻特性：

FIR濾波器1：

FIR濾波器2：

結(jié)果：

FIR濾波器1：

1. 群延遲為M/2=10 point，由于采樣頻率為1000Hz，延遲量為0.01s。

2. 由于階數(shù)較低，遷移帶較寬，所以30Hz的噪音依然存在。

3. 由于相位延遲為線性，所以未產(chǎn)生失真。

FIR濾波器2：

隨著階數(shù)的增加，延遲變大，M/2為100point，在采樣頻率為1000Hz時(shí)，正好是0.1s，為10Hz正弦波的一個(gè)周期。

隨著階數(shù)增加，遷移帶變窄，所以30Hz噪音的濾波效果較好。
* 30Hz成分還有所殘留是因?yàn)殡A數(shù)還不夠大，繼續(xù)再增加階數(shù)的話，噪音成分會(huì)完全消失。

由于相位延遲為線性，所以未產(chǎn)生失真。

由于高階FIR濾波器可以有效的近似到全域通過(guò)特性，并且完美的實(shí)現(xiàn)線性相位特性，因此在信號(hào)處理的預(yù)處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

下一章討論IIR濾波器，以及Zero phase IIR 濾波器的理論及驗(yàn)證。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的fir滤波器matlab实现_关于FIRamp;IIR系统的算法说明以及结果验证（1）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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