為什么 lnx 求導(dǎo)是 1/x？?www.zhihu.com

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現(xiàn)代的數(shù)學(xué)體系——包括一般的高中和大學(xué)教學(xué)，一般都將“對(duì)數(shù)函數(shù)”定義為“指數(shù)函數(shù)”的反函數(shù)。不過(guò)，鮮為人知的是，在數(shù)學(xué)史上，“對(duì)數(shù)”這個(gè)概念反而比“指數(shù)”出現(xiàn)的更早，而且他們都不是靠對(duì)方的“反函數(shù)”來(lái)定義的。

所以，讓我們來(lái)講一個(gè)故事吧。

讓我們回到16世紀(jì)到17世紀(jì)之交。那是個(gè)天文學(xué)蓬勃發(fā)展卻沒(méi)有計(jì)算器的時(shí)代，因此天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家一直在尋找高效計(jì)算乘法的方法，比如利用當(dāng)時(shí)已經(jīng)很熟悉的三角函數(shù)：

注意，等式左邊是兩個(gè)數(shù)的乘法，右邊就只有三個(gè)加法和一個(gè)簡(jiǎn)單的除以2。因此，如果我們想做兩個(gè)數(shù)

的乘法，我們就可以這樣：
(0)先挪一挪小數(shù)點(diǎn)，讓兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值都小于1；
(1)查反三角函數(shù)表， ，得兩個(gè)角度 ；
(2)計(jì)算 ；
(3)查三角函數(shù)表，得 ；
(4)相加，除以2，最后把小數(shù)點(diǎn)挪回去。
這樣我們就用簡(jiǎn)單的加減替代了復(fù)雜的乘法。至于除法，當(dāng)時(shí)有專門計(jì)算 和 的三角倒數(shù)表。

不過(guò)這樣終究還是麻煩了些，有什么更好的“化乘除為加減”的函數(shù)呢？

1544年，一個(gè)叫斯蒂菲爾的德國(guó)數(shù)學(xué)家在其著作《整數(shù)的算術(shù)》中畫了一張“神奇”的表格：

這個(gè)表格可以向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，上面是等比數(shù)列，下面是等差數(shù)列。斯蒂菲爾稱上面一行為“原數(shù)”，下面一行為“代理人”，它神奇在哪里呢？
斯蒂菲爾說(shuō)：原數(shù)的乘除法一定可以轉(zhuǎn)換成代理人的加減法！
例如，想算16*64，只要先查到他們的代理人4和6，然后相加得10，再查得10的原數(shù)1024就是乘法結(jié)果。或者想計(jì)算256/1024，只要找到代理人8和10，相減得-2，其原數(shù)0.25就是除法結(jié)果。
（這些東西在我們看來(lái)自然平平無(wú)奇，只是一群2的冪而已，但我們談?wù)摰目墒?6世紀(jì)的事）

不過(guò)，當(dāng)時(shí)完全沒(méi)有分?jǐn)?shù)冪以至實(shí)數(shù)冪的概念，因此也就只能淺嘗輒止，當(dāng)成是對(duì)表里這有限幾個(gè)數(shù)的小把戲而已。但是，這種“等比數(shù)列”與“等差數(shù)列”冥冥之中的關(guān)系，激勵(lì)著數(shù)學(xué)家探索更好的“化乘除為加減”的方法。

終于，一位值得被記住的數(shù)學(xué)家——蘇格蘭的約翰·納皮爾（John Napier，1550~1617）找到了這樣一個(gè)工具，發(fā)表在他的《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》（1614）中。我們先來(lái)看這樣一個(gè)模型：

如圖，

是一條線段， 是一條射線， 和 分布是自 和 出發(fā)沿兩條線移動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)。其中， 的移動(dòng)速度恒定，不妨設(shè)為 ； 在從 出發(fā)時(shí)的速度也為 ，但其瞬時(shí)速度總與剩余線段 的長(zhǎng)成正比，也就是 。設(shè) ，則 與之間就有某種函數(shù)關(guān)系。

這個(gè)模型有什么性質(zhì)呢？
它的性質(zhì)在于，由于

縮短的速度（也就是 的移動(dòng)速度）總是與 的長(zhǎng)度成正比，因此經(jīng)過(guò)固定的時(shí)間 后，的長(zhǎng)度必然縮減一個(gè)固定的倍數(shù)！
可以這樣想，假設(shè)在 上有一點(diǎn) ， ， 和 同時(shí)從和出發(fā)，則有 ；且經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后必然還保持 ，因此也必然保持兩點(diǎn)速度的比例關(guān)系；進(jìn)而，大小模型之間保持恒定的 倍的等比相似關(guān)系。

那么，我們假設(shè)現(xiàn)在AC經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后被縮減了

倍，那么就可以看成是先縮減了 倍，再縮減了 倍；因此，縮減 倍所需的時(shí)間 一定等于縮減 倍與縮減 倍的時(shí)間之和，也就是 。然后，由于 點(diǎn)一直在勻速運(yùn)動(dòng)，那么時(shí)間就可以通過(guò) 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離 體現(xiàn)出來(lái)。因此，我們有

上面我們提到的

和 之間就必然有函數(shù)關(guān)系

這里的

和 就相當(dāng)于斯蒂菲爾的“原數(shù)”和“代理人”。不過(guò)納皮爾給它們起了一個(gè)新的名字，由希臘語(yǔ)λογο?（表示思想的文字或符號(hào)；比率；計(jì)算）和?ριθμο?（數(shù)）合成了一個(gè)新詞λογ?ριθμο?，直譯為“比數(shù)”，放到英文里就是現(xiàn)在用的logarithm。這就是第一個(gè)對(duì)數(shù)，也稱“納皮爾對(duì)數(shù)”，可以記作 ，其中 與 的函數(shù)關(guān)系可以用打表或者插值計(jì)算出來(lái)。

只要我們把

取成一個(gè)便于計(jì)算的數(shù)，比如納皮爾本人取的 （目的是避免小數(shù)計(jì)算），再打表編制一份對(duì)數(shù)表，就可以高效地計(jì)算數(shù)字的乘法了。納皮爾很快便不幸去世了，他的好友布里格斯（Henry Briggs）和子孫等人接過(guò)了這份工作。布里格斯于1617年制成了1-1000的十四位常用對(duì)數(shù)表，也是世界上第一張對(duì)數(shù)表。最終，1628年，荷蘭人德斯克（E.Decker）和出版商阿德里安·弗拉格（Adrian Vlacg）出版了《對(duì)數(shù)算數(shù)》，囊括了1-100000的十位對(duì)數(shù)表。

當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家都大為感謝對(duì)數(shù)這一偉大發(fā)明。法國(guó)著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家拉普拉斯就在他的天文學(xué)巨著《宇宙體系》中盛贊對(duì)數(shù)：“……可以把幾個(gè)月所做的計(jì)算減少到幾天完成，由于縮短了計(jì)算工作的時(shí)間，我們可以說(shuō)這種方法使天文學(xué)家的壽命被延長(zhǎng)了一倍，而且使他們少犯錯(cuò)誤，以及因?yàn)殚L(zhǎng)時(shí)間計(jì)算而造成的不可避免的煩悶。這種完全由學(xué)識(shí)而來(lái)的發(fā)明是人類精神上的寶貴成就；在工藝上人們依賴自然界的物質(zhì)和能量才能做出發(fā)明，而計(jì)算技術(shù)卻只靠人們自己的創(chuàng)作。”

題外話，清初一位波蘭傳教士穆尼閣來(lái)到中國(guó)，向中國(guó)數(shù)學(xué)家薛鳳祚等人教授了這種數(shù)學(xué)知識(shí)，他們?cè)?653年合著了《比例對(duì)數(shù)表》，把logarithm翻譯為“比例數(shù)”或“假數(shù)”，對(duì)應(yīng)的原來(lái)的數(shù)則稱作“真數(shù)”，并給出了中國(guó)第一份對(duì)數(shù)表。“對(duì)數(shù)表”最初的含義是“假數(shù)與真數(shù)一一對(duì)應(yīng)的表”，不過(guò)后來(lái)卻漸漸成為log這一運(yùn)算的名稱了。

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不過(guò)，這與對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)又有什么關(guān)系呢？

讓我們回到那個(gè)模型，我們有

我們又知道

是 縮小的速度， 是 增大的速度，那么就有

也就是

你看，倒數(shù)不就出來(lái)了嗎。

所以，“對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是自變量的倒數(shù)”只不過(guò)是“用對(duì)數(shù)來(lái)化乘法為加法”的必然要求而已，目的就是為了滿足上面提到的那個(gè)“等比相似性”。

至于為什么這有個(gè)負(fù)號(hào)，那是因?yàn)榧{皮爾對(duì)數(shù)實(shí)際上相當(dāng)于以1/e為底的對(duì)數(shù)，與我們今天對(duì)數(shù)的關(guān)系是

。如果想得到我們今天的自然對(duì)數(shù) ，我們得計(jì)算 ，自然就有

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最后，我們不妨用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度再推導(dǎo)一下這個(gè)結(jié)論：

我們想要一個(gè)函數(shù)，能夠（在函數(shù)表的輔助下）完成化乘除為加減的運(yùn)算。我們當(dāng)然希望這個(gè)函數(shù)足夠好，因此我們假設(shè)有函數(shù)

，其中 充分光滑，滿足 。

令

，我們知道有 。

因?yàn)楹瘮?shù)性質(zhì)充分好（也因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題是想討論

的導(dǎo)數(shù)），我們考慮這樣的函數(shù)形式：

這樣

。（注意，這是在我們假定了 充分光滑才有的式子）

我們想要有

對(duì)任意 成立，因此計(jì)算

其中進(jìn)行了一次第二類積分換元

。
我們自然希望第二項(xiàng)的被積分式為 ，這樣第二項(xiàng)就恰好為 。那么就要求 對(duì)任意 都成立。我們當(dāng)然不希望 恒為零，因此設(shè)有 使得 。于是， ，那么就會(huì)有

其中

為一個(gè)常數(shù)。而且我們可以發(fā)現(xiàn)，只要要求 充分光滑（好像這個(gè)“充分”只需要 ），這就是解的唯一形式。

不難驗(yàn)證其滿足要求，也就是說(shuō)，我們證明了，充分光滑的函數(shù)

滿足 ，等價(jià)于其導(dǎo)數(shù)是個(gè)倒數(shù)。

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參考文獻(xiàn)：

不可思議的e/陳仁政著. 北京：科學(xué)出版社，2005（好玩的數(shù)學(xué)/張景中主編

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的bvp解算器是什么_对数小史，以及为什么ln x的导数是1/x的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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