找準模型，快速求解碰撞類問題

正式開講之前，扯一會兒廢話！很多小伙伴可能根本不會看下去，想想動量守恒，有什么好看的呢？人需要自信，但也不能太自信，有時候，明明大家知識點掌握的都一樣，卻有人能考高分，而有人卻總會算錯或粗心而扣分，真的只是因為粗心么？很多時候，“學霸”有不傳之“秘方”。雖然，我算不上什么“大學霸”，但我知道些許“秘方”，如果你在學習動量的時候，僅僅記住了動量守恒，記住了有時候還可能動能守恒，若只是這樣，建議你認真看一看，或許你會發現差距在哪里！下文內容部分來自于我讀高中時的小伙伴“傾囊相授”，別人家如今依然是個“大學霸”！

好了，開講！說一說碰撞，說一說動量守恒！

如上圖所示，質量為

，速度為 的物塊，與質量為 ，速度為 的物塊發生碰撞，碰撞后速度分別變為 和 ，

無論這個碰撞過程中，是否存在能量損失，我們都滿足動量守恒，即：

(1)

然后，我們把碰撞前后沒有動能損失的情況，叫做彈性碰撞，即在滿足動量守恒（1）的同時，還滿足動能守恒，即：

(2)

于是，如果我們知道兩物體碰撞前的狀態，聯立（1）（2）可以求解碰撞后的速度，因為動能守恒方程(2)中有平方項，求解過程計算量較大。于是，我們可以借用彈性碰撞的另一個規律，“追及速度”等于“離開速度”，即：

(3)

聯立(1)(3)，求解得到碰撞后的速度為：

(4)

(5)

這里有一個小問題，我們需要思考一下！如果，我們聯立(1)(2)求解，因為動能守恒方程(2)是二次方程，所有會有兩個解，那么除了(4)(5)解以外，另一個被舍去的解是啥呢？

小伙伴們，仔細想一下，然后，我就要公布答案了。

其中被舍去的解是：

； 。

哈哈哈，是不是同樣同時滿足動量守恒和動能守恒呢，但顯然這是要被舍去的答案！

在具體的高考題目中，我們比較常見的是一個運動的物體碰撞一個靜止的物體，即

，于是我們得到一個很重要的模型的結論，希望小伙伴們把它背下來。

一個質量為

的物塊以速度 與一個質量為 的靜止物塊發生對心碰撞，碰撞后兩者的速度分別為，即令(4)(5)式中的 ，得：

(*)

(**)

我用(*)(**)標注，希望小伙伴們把他背下來！

我們簡要分析幾種特殊情況：

（1）當

時， ， ，即小撞大，要反彈。

（2）當

時， ， ，即同等質量時交換速度。

（3）當

時， ， ，即大撞小，一起走。

（4）當

時， ， ，即極小撞極大，類似于撞墻等速率反彈。

（5）當

時， ， ，即極大撞極小，相當于一個胖子把你撞飛。

這就是彈性碰撞！而在非彈性碰撞中，有一種能量損失最大的情況，稱為完全非彈性碰撞，即兩物體碰撞后保持相同速度前進。

即：

(6)

我們可以求解得到：

(7)

關于完全非彈性碰撞，我想再深入講兩點：

（1）為什么完全非彈性碰撞是能量損失最大的？

（2）完全非彈性碰撞究竟損失了多少能量？

我們先說（2），比較簡單，損失的能量為：

將(7)代入上式中，得到：

(8)

同樣的，我們一般在高考中遇到比較多的情形是

，

于是，我們得到下一個需要背誦的模型是：

一個質量為

的物塊以速度 與一個質量為 的靜止物塊發生對心碰撞，碰撞后兩者共速，即發生了完全非彈性碰撞，則此時損失的能量為：令(8)式中的 ，得：

(***)

我同樣用(***)標注，希望小伙伴們把他背下來！

好了，除了傳統的動量守恒和可能動能守恒外，我們需要背下來(*)(**)(***)，能大大提高解題速度，我們待會兒看例題?，F在，我們繼續說完“為什么完全非彈性碰撞是能量損失最大的？”這個問題。

如下：

質量為

的物塊與一輕彈簧相連，質量為 的物塊以速度 撞向 物塊，不考慮其他摩擦，當物塊 與彈簧接觸后， 物塊開始減速， 物塊開始加速，直到兩者速度相等時，彈簧被壓縮到最短，此時滿足：

（1）兩者共速，與完全非彈性碰撞要求的共速條件一樣。

（2）彈簧壓縮最短，即彈性勢能最大，根據能量守恒，兩物體的動能最小。

所以，我們得到碰撞后兩物體共速動能損失最大。

當彈簧達到最短后，

物塊繼續減速， 物塊繼續加速，此時彈簧開始恢復，直到彈簧恢復原長時，彈簧不再具有彈性勢能，兩物塊能量損失為零，即為完全彈性碰撞。因此，彈簧恢復原長后兩物塊的速度可以根據(*)(**)直接得到。

故上述模型中同時包含了彈性碰撞和完全非彈性碰撞模型，如果編成考試題目，可以如下：

例1：如下圖所示，質量為

的物塊與一輕彈簧相連靜止在水平面上，質量為 的物塊與速度 撞向 的物塊，不考慮其他一切摩擦，問：

（1）該過程中彈簧的最大彈性勢能？

（2）兩物塊最終的速度大小為多少？

解：（1）當物體共速時，彈簧彈性勢能最大，根據能量守恒，最大彈性勢能等于兩物塊能量的損失，根據(***)直接得到：

。

（2）碰撞結束后，彈簧恢復原長，故從最終結果來看，該碰撞為彈性碰撞，故根據(*)(**)得到，兩物塊最終的速度分別為：

，

。

看到了吧？是不是很簡單！

再來！

例2：如下圖所示，一質量為

的長木板靜止在光滑水平面上，一質量為 的物塊從長木板一端以初速度 滑上長木板，若最終物塊未從長木板上掉落，已知物塊與長木板之間動摩擦系數為 ，問物塊在長木板上滑動的距離為多少？

解：畫出過程圖如下，

但是我們完全可以省去那些動量、時間、加速度的求解，稍微簡單一分析，發現這是完全非彈性碰撞模型，直接用(***)公式，注意相關字母代換：

其中損失的能量，即為一對滑動摩擦力做功所產生的熱量，即：

，

從而解得：

。

是不是簡單到不行了？

再來再來！

例3：如下圖所示，一質量為

的小球以初速度 ，沖上一質量為 表面光滑的模具，問小球在模具上上升的高度為多少？

解：不多說，這就直接寫出式子了，小伙伴們自己思考哈！

設小球在模具上上升的高度為

，則根據完全非彈性碰撞能量損失情況可得：

，

解得：

。

做完了，就這么簡單，再來再來再來！

例4：如下圖所示，一根光滑直桿上套有一質量為

的套筒，套筒下方用一細線連接一質量為 的物塊，當一質量也為 的子彈以速度 射入物塊后（子彈留在物塊內），問：

（1）物塊所能上升的最大高度？

（2）物塊再次回到最低點時的速度大小？

解：（1）先根據完全非彈性碰撞求解得到，子彈與物塊共有的速度

，

，

解得：

。

然后當物塊（含子彈）運動到最高點時，物體（含子彈）與套筒具有相同的水平方向速度，即發生了完全非彈性碰撞，設物塊上升的最大高度為

，則：

，

解得：

。

（2）當物塊再次回到最低點時，則滿足彈性碰撞規律，根據(*)得：

。

好了好了，講完了，夜深了，我想睡覺啦！大家隨意看看，寫得這么辛苦，記得三連哈！

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，現在已經快半夜12點啦，從下班6點多一直寫到現在，還要畫圖和排版，連寫個公式還要用Latex，真是麻煩，你知道“

”在知乎中編輯要這么寫“v_1=frac{v_0}{2}”嗎！

我為什么要這么辛苦！

我為什么要寫這些！

為什么還有人“冷嘲熱諷”！

看不出來，作者很用心的嗎！

小伙伴們，咱們下期再見啦！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的弹性碰撞后速度方向_找准模型，快速求解碰撞类问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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