零度根軌跡怎樣繪制呢？

初學(xué)的時(shí)候，零度根軌跡這里不太理解，還有后續(xù)講解的參數(shù)根軌跡，考研的時(shí)候認(rèn)真學(xué)習(xí)了自動(dòng)控制原理，對(duì)這個(gè)思考比較深一些，整理一下幾種情況，希望能對(duì)后來學(xué)自控的同學(xué)們提供一些幫助。
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根軌跡主要分為三種情況，通常畫的有180度根軌跡，0度根軌跡和參數(shù)根軌跡

0度和180度是對(duì)比記憶的，記住一個(gè)另一個(gè)也記住了。

比較常見的是180度根軌跡，而畫根軌跡的目的是通過根軌跡曲線來反應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一些根的性質(zhì)，從而代表了這個(gè)系統(tǒng)的一些性能指標(biāo)。

從根軌跡的定義了解到，它就是閉環(huán)函數(shù)的分母為0的時(shí)候，而單位負(fù)反饋的分母就是分子加分母，也就是A+B=0的形式，轉(zhuǎn)換成A/B=-1，前面的系數(shù)是正的，那如果是正反饋，系數(shù)負(fù)號(hào)怎么辦呢？該如何分析呢？

注： 閉環(huán)特征方程的分子加或減分母是這樣推導(dǎo)的：假設(shè)前向傳遞函數(shù)為

,如果為單位反饋，那么反饋的部分函數(shù)為 或者 ,閉環(huán)特征方程為 ,那么開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù)為

一個(gè)簡(jiǎn)單的反饋回路模型，前向通路為G，反饋通路為H，開環(huán)傳遞函數(shù)為-GH

那么將 或者 兩種情況帶入后，以為例，那么代入第一個(gè)公式可以得到

代入第三個(gè)公式可以得到：

那么如果我們令：

那么閉環(huán)傳遞函數(shù)

因此正反饋的特征方程為0等價(jià)于分子減分母等于0，同理易推出負(fù)反饋的特征方程等價(jià)于分子加分母為0。

因此可以總結(jié)出來根軌跡的其中兩種情況的標(biāo)準(zhǔn)形式，一種是正反饋的根軌跡形式，一種是負(fù)反饋。

分別表示分子和分母包含 的多項(xiàng)式，如下所示：

• 負(fù)反饋

• 正反饋

因此，下面的任務(wù)就是如何將含有

的未知數(shù)，通過一定的轉(zhuǎn)換，變成負(fù)反饋或者正反饋的形式。

一、三種情況

0. 預(yù)處理

這里比較重要的一點(diǎn)，在處理根軌跡的問題時(shí)候，需要變成`根軌跡`的根軌跡增益

，即將將每一個(gè) 的因式中前面的系數(shù)化為+1，（類似地，`頻域法`中的增益是將后面加的常數(shù)化為+1）如 需要做兩個(gè)處理，一是將分子的負(fù)號(hào)拿掉，由于系數(shù)是1，處理完畢，二是將分母的系數(shù)變成1，由于已經(jīng)是正數(shù)了，處理完畢。

1. 負(fù)反饋，K>0，系數(shù)<0

畫出單位負(fù)反饋，傳遞函數(shù)為

的根軌跡情況：由于前面的系數(shù)-3是屬于小于0的情況，一般題目會(huì)告訴你這個(gè)是單位負(fù)反饋，有的題目會(huì)省略這一句，因此計(jì)算它的閉環(huán)傳遞函數(shù)分子+分母，可以得到它的特征方程。

經(jīng)過移項(xiàng)后，可以變成如下形式：

就可以得到標(biāo)準(zhǔn)零度根軌跡的形式，滿足K>0即等效成了零度根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式。

2. 負(fù)反饋，K<0，系數(shù)>0

畫出單位負(fù)反饋，傳遞函數(shù)為

的根軌跡情況：同樣，由于它是單位負(fù)反饋，分子+分母就可以。

經(jīng)過移項(xiàng)后，可以變成如下形式：

由于K<0，那么-K>0，等效成了零度根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式。

3. 正反饋，K>0，系數(shù)>0

畫出單位正反饋，傳遞函數(shù)為

的根軌跡情況：由于是正反饋那么我們可以分析得到它的閉環(huán)傳遞函數(shù)是分子-分母，這里注意一下，那么同樣也符合它的標(biāo)準(zhǔn)形式。

經(jīng)過移項(xiàng)后，可以變成如下形式：

由于K>0，等效成了零度根軌跡的標(biāo)準(zhǔn)形式。

也就是說，不管用什么方法本質(zhì)還是閉環(huán)傳遞函數(shù)的思想，引申一點(diǎn)，如零極點(diǎn)對(duì)消問題，也是一種閉環(huán)傳遞函數(shù)的思路，先計(jì)算閉環(huán)看看怎么樣，再確定能不能對(duì)消。

4. 負(fù)反饋，K未知，系數(shù)>0

畫出單位負(fù)反饋，傳遞函數(shù)為

的根軌跡情況：這種情況就需要討論兩種情況，分別是K<0和K>0

K>0就是最常見的形式了，畫180度根軌跡即可。

K<0是第二種情況，因此需要畫0度根軌跡。

二、規(guī)則

在畫根軌跡的時(shí)候，規(guī)則十分重要，要對(duì)比著去記憶零度根軌跡和180度根軌跡的法則。

• 右側(cè)零極個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)是零度，奇數(shù)是180度；
• 零度根軌跡的漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為 ,

而180度根軌跡為

等法則。

三、參數(shù)根軌跡

再說一說參數(shù)根軌跡，或者叫廣義根軌跡，先求出來特征方程，然后根據(jù)參數(shù)重新構(gòu)造形式。由于是單位負(fù)反饋，那么就是分子+分母，重新構(gòu)造的時(shí)候，將參數(shù)部分提出來如

就變成 ，有參數(shù)的提出來后全放在分子上，就當(dāng)作了參數(shù)， 也就是傳統(tǒng)意義上的 ，即廣義的增益。

具體步驟如下：

1.根據(jù)反饋形式，確定特征方程

是分子加分母，還是分子減分母

2.根據(jù)參數(shù)進(jìn)行合并$D(s)$方程中的同類項(xiàng)，即如果參數(shù)是

，經(jīng)過化簡(jiǎn)比如變成

3.這樣類似于分子加分母的形式，假設(shè)是負(fù)反饋，那么可以把含有

的部分當(dāng)成分子，剩下部分當(dāng)成分母，即

4.如果你把

當(dāng)成 ,其實(shí)就和上面的標(biāo)準(zhǔn)根軌跡形式一致了，那么就畫根軌跡就ok.

5.需要討論有

的的范圍， 一些題目沒有給出的范圍，類似于第4種情況畫兩種情況，否則如果給出的范圍就對(duì)應(yīng)畫正反饋或者負(fù)反饋即可。

6.如果有多個(gè)參數(shù)的情況，根據(jù)不同的參數(shù)作為根軌跡增益，可以畫出多個(gè)根軌跡曲線，但最后判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一致的。

同理，拋磚引玉一下，奈奎斯特也能用類似的方法，如果這個(gè)特征方程過于復(fù)雜，先通過轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)的形式，進(jìn)行化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)，能構(gòu)造出新的傳遞函數(shù)來進(jìn)行判斷它的穩(wěn)定性。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的方程的根的个数C语言xtu_零度根轨迹的绘制及情况讨论、以及参数根轨迹的原理介绍...的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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