用線性同余法生成偽隨機數

在計算機上可以用物理方法來產生隨機數，但價格昂貴，不能重復，使用不便。另一種方法是用數學遞推公式產生，這樣產生的序列與真正的隨機數序列不同，所以稱為偽隨機數或偽隨機序列，只要方法和參數選擇合適，所產生的偽隨機數就能滿足均勻性和獨立性，與真正的隨機數具有相近的性質。

產生隨機數的方法是先用一定的方法產生[0,1]均勻分布的隨機數，然后通過一個適當的變換就可以得到符合某一概率模型的隨機數。

原理：假設我們要生成偽隨機數列為R0、R1、R2…。首先，我們根據偽隨機數的種子，用下列公式計算第一個偽隨機數R0
R0=（A*種子+C）mod M
接下來用R0生成R1，R1生成R2，遞歸即可

當a=0時為和同余法，當c=0時為乘同余法，c≠0時為混合同余法

常用的產生[0,1]均勻分布的隨機數的方法有乘同余法和混合同余法。

簡而言之，線性同余法就是將當前的偽隨機數值乘以A再加上C,然后將除以M得到的余數作為下一個偽隨機數。在線性同余法中，最近一次生成的偽隨機數的值就是內部狀態，偽隨機數的種子被用來對內部狀態進行初始化。

在線性同余法中，只要謹慎選擇A、C、M的值，就能夠很容易地生成具備隨機性的偽隨機數列。

由于偽隨機數是除以M得到的余數，因此其范圍必定是0~M-1，而且生成的隨機數會呈現一定周期（打個比方，x mod 12 代表的是鐘表刻度，它的值永遠在0-11之間,這個概念在數學里叫”同余”）。而且根據A、C、M的值，最終只能生成上述范圍中的一部分值（因此周期會縮短）。

線性同余法的最大周期是m，但一般情況下會小于m。要使周期達到最大，應該滿足以下條件：
(1) c和m互質；
(2) m的所有質因子的積能整除a-1；
(3) 若m是4的倍數，則a-1也是；
(4) a，c，r0（初值，一般即種子）都比m小；
(5) a，c是正整數。

線性同余方法速度快，如果對乘數和模數進行適當的選擇，可以滿足用于評價一個隨機數產生器的3 種準則：
(1)這個函數應該是一個完整周期的產生函數。也就是說，這個函數應該在重復之前產生出0 到m之間的所有數；
(2)產生的序列應該看起來是隨機的；
(3)這個函數應該用32bit 算術高效實現。

使用混合同余法
Ri+1=(a*Ri+c)mod(m)
Yi+1=Ri+1/m
在matlab中自己選取a,c,m與其內置函數rand比較：

function A = fakerand( a,c,m,r0 ) A=zeros(100,1); R=zeros(100,1); R(1)=mod((a*r0+c),m); A(1)=R(1)/m; for i=1:99R(i+1)=mod((a*R(i)+c),m);A(i+1)=R(i+1)/m; end mean(A)ans =0.5345 var(A)ans =0.0768

使用MATLAB內置函數rand:

mean(A)ans =0.4940>> var(A)ans =0.0835>>

其實兩者相差不大

總結

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