八度音階和頻率的關(guān)系

Frequency in hertz (semitones above or below middle C)

Octave→

Note↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C 16.352 (?48) 32.703 (?36) 65.406 (?24) 130.81 (?12) 261.63 (0) 523.25 (+12) 1046.5 (+24) 2093.0 (+36) 4186.0 (+48) 8372.0 (+60)

C?/D? 17.324 (?47) 34.648 (?35) 69.296 (?23) 138.59 (?11) 277.18 (+1) 554.37 (+13) 1108.7 (+25) 2217.5 (+37) 4434.9 (+49) 8869.8 (+61)

D 18.354 (?46) 36.708 (?34) 73.416 (?22) 146.83 (?10) 293.66 (+2) 587.33 (+14) 1174.7 (+26) 2349.3 (+38) 4698.6 (+50) 9397.3 (+62)

D?/E? 19.445 (?45) 38.891 (?33) 77.782 (?21) 155.56 (?9) 311.13 (+3) 622.25 (+15) 1244.5 (+27) 2489.0 (+39) 4978.0 (+51) 9956.1 (+63)

E 20.602 (?44) 41.203 (?32) 82.407 (?20) 164.81 (?8) 329.63 (+4) 659.26 (+16) 1318.5 (+28) 2637.0 (+40) 5274.0 (+52) 10548 (+64)

F 21.827 (?43) 43.654 (?31) 87.307 (?19) 174.61 (?7) 349.23 (+5) 698.46 (+17) 1396.9 (+29) 2793.8 (+41) 5587.7 (+53) 11175 (+65)

F?/G? 23.125 (?42) 46.249 (?30) 92.499 (?18) 185.00 (?6) 369.99 (+6) 739.99 (+18) 1480.0 (+30) 2960.0 (+42) 5919.9 (+54) 11840 (+66)

G 24.500 (?41) 48.999 (?29) 97.999 (?17) 196.00 (?5) 392.00 (+7) 783.99 (+19) 1568.0 (+31) 3136.0 (+43) 6271.9 (+55) 12544 (+67)

G?/A? 25.957 (?40) 51.913 (?28) 103.83 (?16) 207.65 (?4) 415.30 (+8) 830.61 (+20) 1661.2 (+32) 3322.4 (+44) 6644.9 (+56) 13290 (+68)

A 27.500 (?39) 55.000 (?27) 110.00 (?15) 220.00 (?3) 440.00 (+9) 880.00 (+21) 1760.0 (+33) 3520.0 (+45) 7040.0 (+57) 14080 (+69)

A?/B? 29.135 (?38) 58.270 (?26) 116.54 (?14) 233.08 (?2) 466.16 (+10) 932.33 (+22) 1864.7 (+34) 3729.3 (+46) 7458.6 (+58) 14917 (+70)

B 30.868 (?37) 61.735 (?25) 123.47 (?13) 246.94 (?1) 493.88 (+11) 987.77 (+23) 1975.5 (+35) 3951.1 (+47) 7902.1 (+59) 15804 (+71)

一些解釋：

Octave 0-9 表示八度區(qū)。C-D-E-F-G-A-B 為 C 大調(diào)七個(gè)主音：do re mi fa so la si(簡(jiǎn)譜記為 1 到 7)。科學(xué)音調(diào)記號(hào)法(scientific pitch notation)就是將上面這兩者合在一起表示一個(gè)音，比如 A4 就是中音 la，頻率為 440 Hz。C5 則是高音 do(簡(jiǎn)譜是 1 上面加一個(gè)點(diǎn))。

升一個(gè)八度也就是把頻率翻番。A5 頻率 880 Hz，正好是 A4 的兩倍。一個(gè)八度區(qū)有 12 個(gè)半音，就是把這兩倍的頻率間隔等比分為 12，所以兩個(gè)相鄰半音的頻率比是 2 開 12 次方，也即大約 1.05946。這種定音高的辦法叫做 twelve-tone equal temperament，簡(jiǎn)稱 12-TET。

兩個(gè)半音之間再等比分可以分 100 份，每份叫做一音分(cent)。科學(xué)音調(diào)記號(hào)加上音分一般足夠表示準(zhǔn)確的音高了。比如 A4 +30 表示比 440 Hz 高 30 音分，可以算出來具體頻率是 447.69 Hz。

A4 又稱 A440，是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音高。鋼琴調(diào)音師或者大型樂隊(duì)樂器之間調(diào)音都用這個(gè)頻率。

C4 又稱 Middle C，是中音八度的開始。有一種音高標(biāo)定方法是和 C4 比較相隔的半音數(shù)，比方 B4 就是 +11，表示比 C4 高 11 個(gè)半音。

MIDI note number p 和頻率 f 轉(zhuǎn)換關(guān)系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。這實(shí)際上就是把 C4 定為 MIDI note number 60，然后每升降一個(gè)半音就加減一個(gè)號(hào)碼。

可以看到 E-F 和 B-C 的間隔是一個(gè)半音，而七個(gè)主音別的間隔都是兩個(gè)半音，也叫一個(gè)全音。

標(biāo)準(zhǔn)鋼琴琴鍵有大有小，大的白色琴鍵是主音，小的黑色琴鍵是主音升降一個(gè)半音后的輔音(圖)。一般鋼琴是 88 個(gè)琴鍵，從 A0 到 C8。知道了上面這些，看到鋼琴鍵盤應(yīng)該就馬上能找到 Middle C 了，如下

音高間隔(音程)有各類說法，某些間隔的兩個(gè)音同時(shí)發(fā)出來會(huì)比較令人身心愉快，比如頻率比 3:2 的 perfect fifth 在各類樂曲都會(huì)廣泛用作和弦。具體音高間隔名稱：

間隔半音數(shù) 間隔名 大致頻率比

0 perfect unison 完全一度 1:1

1 minor second 小二度 16:15

2 major second 大二度 9:8

3 minor third 小三度 6:5

4 major third 大三度 5:4

5 perfect fourth 完全四度 4:3

6 augmented fourth 增四度

diminished fifth 減五度 45:32

64:45

7 perfect fifth 完全五度 3:2

8 minor sixth 小六度 8:5

9 major sixth 大六度 5:3

10 minor seventh 小七度 16:9

11 major seventh 大七度 15:8

12 perfect octave 完全八度 2:1

人的聽覺和很多音樂設(shè)備的頻率范圍是 20 Hz - 20000 Hz，但是成年人一般只能聽到 30 - 15000 Hz，所以上面表格的頻率范圍已經(jīng)足夠用了。

上次說到現(xiàn)在最通用的音階是把一個(gè)八度的倍頻等比分為 12 份，那么為什么要這么做呢？在開始講這個(gè)之前，先看兩條人民群眾總結(jié)的規(guī)律：

人耳對(duì)音高的感覺主要取決于頻率比，而不是頻率差。比如 220 Hz 到 440 Hz 的音差，和 440 Hz 到 880 Hz 的音差，一般人認(rèn)為是一樣大的音差。

如果兩個(gè)音的頻率比值很接近小整數(shù)比，那么這兩個(gè)音同時(shí)發(fā)出來人會(huì)感覺很和諧。比如 440 Hz 和 660 Hz 的兩個(gè)音，頻率比值是 2:3，一般叫做完全五度，同時(shí)發(fā)出來很和諧。

至于為什么有以上的規(guī)律，這個(gè)問題太深刻了，折磨了一代又一代的音樂家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、心理學(xué)家、生理學(xué)家、哲學(xué)家……這里不深入說了，就把它們當(dāng)作公理好了。下面是某個(gè)測(cè)試人對(duì)各種頻率比評(píng)價(jià)的結(jié)果，峰越高表示人覺得越和諧。可以看見，1:1 1:2 是很和諧的，接下來是 2:3 3:5 3:4 等小整數(shù)比。(這張圖的出處不祥，應(yīng)該是某個(gè)論文或者教科書。)

有了上述公理，怎么樣來定音階？早在公元前，偉大的畢達(dá)哥拉斯就發(fā)現(xiàn)了小整數(shù)頻率比很和諧的規(guī)律。首先最簡(jiǎn)單的整數(shù)比是 1:2，接下來分別是 2:3 和 3:4，于是他先定出四個(gè)音(按照現(xiàn)在的寫法)：F:C=4:3，G:C=3:2，高八度C’:C=2:1。然后他把 F 和 G 之間的間隔 9:8 叫做一個(gè)全音，按照 9:8 全音間隔填補(bǔ)空檔他定下來這樣的音階：

C:C = 1:1 = 1.0000

D:C = 9:8 = 1.1250

E:C = 81:64 = 1.2656

F:C = 4:3 = 1.3333

G:C = 3:2 = 1.5000

A:C = 27:16 = 1.6875

B:C = 243:128 = 1.8984

C’:C = 2:1 = 2.0000

可以看到 E:F 和 B:C’ 之間的間隔是 256:243 = 1.0535，差不多是 9:8 的一半，畢達(dá)哥拉斯把這種間隔叫做半音。這樣定出來的音階其實(shí)已經(jīng)蠻好用的了，現(xiàn)在把這種用整數(shù)比定音的方法叫做純律(just intonation)。純律的主要問題是有些音之間的比例很古怪，比如上面的 F:D 是 32:27，非常不和諧。另外，巴赫同學(xué)后來出了各種奇怪變調(diào)的鋼琴曲，而純律變調(diào)之后音階就變了，于是巴赫就開始鼓吹當(dāng)時(shí)已經(jīng)建立起來的平均律(equal temperament)了。

平均律沿用了這種七個(gè)基本音的全音階(diatonic scale)系統(tǒng)，但是讓全音剛好等于兩個(gè)半音，這樣無(wú)論如何變調(diào)，整個(gè)音階只要偏移一下即可，而各個(gè)音之間音程不變。我們知道，一個(gè)八度之間是 5 個(gè)全音間隔 + 2 個(gè)半音間隔，也就是 12 個(gè)半音間隔，于是就一刀切，直接把 2 等比分 12 份就是半音間隔了。下面是十二平均律(12-TET)和畢達(dá)哥拉斯的純律的對(duì)比：

音程 純律 十二平均律

C:C 1.0000 1.0000

D:C 1.1250 1.1225

E:C 1.2656 1.2599

F:C 1.3333 1.3348

G:C 1.5000 1.4983

A:C 1.6875 1.6818

B:C 1.8984 1.8877

C’:C 2.0000 2.0000

可以看到，十二平均律和純律很接近，特別是 F:C 完全四度和 G:C 完全五度非常接近應(yīng)有的整數(shù)比 4:3 和 3:2，只相差 2 個(gè)音分(cents)。一般沒有受過音樂訓(xùn)練的人對(duì) 20 音分以下的音差已經(jīng)不敏感；即使專業(yè)調(diào)音師，不靠?jī)x器的話 5 個(gè)音分也基本是分辨極限了。所以在實(shí)際使用中，十二平均律對(duì)完全五度這么小的誤差是完全可以忽略的。

理論上說，如果把 2 等比分為別的份數(shù)，也可以制造出可用的音階。一個(gè)例子是等比分為 29 份，這樣出來的音階比 12-TET 更接近 3:2，但是大三度 5:4 卻慘不忍睹，相差很大。一個(gè)小細(xì)節(jié)是有些音程是互補(bǔ)的，比如某個(gè)平均律如果很接近 G:C 3:2 完全五度，那么 C’:G 4:3 完全四度也同時(shí)被搞定。一般人們?cè)u(píng)價(jià)一個(gè)平均律，主要看它和大三度、完全五度、大六度的偏差總和(同時(shí)搞定的互補(bǔ)音程為小六度、完全四度、小三度)，計(jì)算表明，比十二平均律更好的下一個(gè)音律是十九平均律，接下去更好的分別是 31、34 和 53。可以想象，即使是十九平均律，鋼琴鍵盤也會(huì)復(fù)雜很多，而且由于多了很多音，不和諧的音高組合也會(huì)更多，所以非十二等分的平均律使用很有限，現(xiàn)在一般只局限在理論研究上。

中國(guó)古代各類弦樂器五聲音階宮商角徵羽按照五度相生律定音，演奏起來非常優(yōu)美。五度相生律可以算是純律的一種，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)這個(gè)小整數(shù)比的規(guī)律應(yīng)該比畢達(dá)哥拉斯早好多年。不過到了現(xiàn)代，特別是鍵盤樂器的普及以及大型樂隊(duì)的配合需要，最后還是十二平均律勝出了。

為什么小整數(shù)頻率比的兩個(gè)音比較和諧？這個(gè)問題，要從樂音的諧波說起。

一般樂器發(fā)出的音都不是純頻率的音，而是由好多諧波(harmonic)組成的；其中頻率最低的那個(gè)通常最強(qiáng)，叫做基音。比如小提琴發(fā)出音高 A4 的音，指的就是其基音是 440 Hz，而聲波頻譜里面同時(shí)有二次諧波 880 Hz、三次諧波 1320 Hz、四次諧波……等等。不同樂器發(fā)出的聲音，其諧波強(qiáng)度分布往往完全不同，因此音色(timbre)也就不同(比如高諧波強(qiáng)的話聽起來就亮一些)。樂音含有諧波這個(gè)特性和小整數(shù)比的和音規(guī)則有什么關(guān)系？以完全五度舉例，A4 和 E5 的兩個(gè)樂音，頻率比為 2:3，而 A4 的三次諧波和 E5 的二次諧波剛好重合，都是 1320 Hz。相隔完全五度的兩個(gè)樂音同時(shí)聽起來比較好聽，是不是因?yàn)樗鼈兇蟛糠值闹C波都重合了？

于是就有科學(xué)家做實(shí)驗(yàn)了。人們發(fā)現(xiàn)，把純頻率的音(不含諧波)A4 和 E5 同時(shí)發(fā)出來聽并不怎么好聽。還有人用電腦制作了扭曲的樂音，把 N 次諧波搞成 Nlog(2.1)/log(2) 倍(諧波從 2 倍拉寬到 2.1 倍，自然界是沒有這種聲音的)，然后發(fā)現(xiàn)諧波重合的扭曲樂音同時(shí)聽起來還比較和諧，而它們的基音卻不是小整數(shù)比了。還有一些別的實(shí)驗(yàn)，但是結(jié)論都是差不多的，就是兩個(gè)樂音和諧主要是因?yàn)樗麄兊闹C波重合，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，就是基音必須是小整數(shù)比。

為啥諧波重合就好聽呢？這是因?yàn)?#xff0c;如果諧波不重合但是距離很近，它們就會(huì)干涉形成低頻率的拍(beat)，這種低頻拍音嗡嗡作響，非常難聽。兩個(gè)頻率距離多近才會(huì)形成不好聽的拍？人們一般把這個(gè)臨界距離叫做臨界頻寬(critical bandwidth)，處于臨界頻寬之內(nèi)的兩個(gè)頻率就會(huì)互相干涉。這個(gè)臨界頻寬本身是頻率的函數(shù)，頻率越高，臨界頻寬帶也就越寬，如下圖所示：

可以看到，臨界頻寬在低頻區(qū)是 100 Hz 左右；高頻區(qū)大約是本身頻率的 1/6。比如，900 Hz 的臨界頻寬是 150 Hz，這就是說，750 - 1050 Hz 頻率范圍內(nèi)的音都會(huì)和 900 Hz 的音干涉。用音樂術(shù)語(yǔ)，1/6 頻寬介于大二度和小三度之間(上圖所示 2&3 semitones 之間)，所以在高頻區(qū)域里，間隔一個(gè)或者兩個(gè)半音的音就會(huì)相互干涉形成不愉悅的拍。

樂音的高諧波排列非常緊密，比如 A4 的 10 次諧波和 11 次諧波分別是 4.4 kHz 4.84 kHz，間隔不到兩個(gè)半音，所以高諧波之間就會(huì)相互干涉。如果對(duì)小提琴樂音做頻譜分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)它有很多諧波強(qiáng)度很弱，造成的結(jié)果是各個(gè)強(qiáng)諧波之間間隔都比較大，不在互相的臨界頻寬內(nèi)，所以小提琴樂音本身極少有難聽的拍，這也正是小提琴樂音很好聽的原因之一。有些樂器音高很準(zhǔn)，但是發(fā)出聲音很難聽，可能就是因?yàn)樗约河泻芏嘀C波互相打架，形成很多低頻拍，聽起來很難受。

那么為什么低頻的拍聽起來難聽呢？有人認(rèn)為這和人耳的解剖學(xué)結(jié)構(gòu)有關(guān)。匈牙利生物物理學(xué)家 Georg von Békésy 發(fā)現(xiàn)人的耳蝸里有很多小毛毛，功能是把外界聲波在內(nèi)耳液體中產(chǎn)生的振動(dòng)轉(zhuǎn)換為神經(jīng)電信號(hào)，而且耳蝸的特殊生理結(jié)構(gòu)導(dǎo)致每根小毛毛只對(duì)一小段頻率的振動(dòng)敏感。也就是說，耳蝸就是一個(gè)頻譜分析儀；而小毛毛的敏感頻率段，差不多就是相應(yīng)頻率的臨界頻寬。好的樂音因?yàn)闆]有互相打架的拍頻，小毛毛們都會(huì)做優(yōu)美的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，人就會(huì)覺得很愉快；相反，如果臨界頻寬內(nèi)有兩個(gè)頻率的聲音，有一些小毛毛就會(huì)受到兩種頻率的影響，運(yùn)動(dòng)起來比較別扭，所以人也覺得不怎么愉快。Békésy 這個(gè)發(fā)現(xiàn)是得了諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)的，不過后來進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)雖然他的理論基本成立，但是數(shù)據(jù)并不正確，主要是因?yàn)?Békésy 是拿死人耳朵做實(shí)驗(yàn)的，因?yàn)槭w失水，耳朵的頻率響應(yīng)也非常不同。不過炸藥獎(jiǎng)發(fā)了就發(fā)了，也收不回了，Békésy 本人在晚年也否定了自己早期的一些研究。

如果還有人偏要問到底，為什么耳蝸里小毛毛運(yùn)動(dòng)別扭，人就覺得難受呢？有些問題呢，它就是沒什么道理的。好不好聽這本身就是個(gè)主觀的問題，如果你偏要問為什么，那估計(jì)就只好把你的腦袋砸開來研究了……現(xiàn)代腦科學(xué)的研究已經(jīng)越來越科學(xué)，越來越定量化，但是像樂音和諧度這類宏觀問題上，基本上也只有一些假說，信仰假說的人多了，也就成了學(xué)派。有些哲學(xué)家對(duì)腦科學(xué)前景非常悲觀，認(rèn)為人自己的主觀意志去研究自己的主觀意志，是很難有結(jié)果的。這個(gè)說法倒是過于杞人憂天了，目前人類對(duì)腦子的了解還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，可以研究的東西還多得很，不過也許在遙遠(yuǎn)的未來，人就真的要面對(duì)無(wú)法繼續(xù)研究自己的問題了。

說了這么多，可千萬(wàn)不要以為知道了一個(gè)小整數(shù)比就可以譜曲了。翻開和聲學(xué)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)正統(tǒng)的和聲規(guī)則要復(fù)雜得多，甚至用什么樂器來演奏，調(diào)起多高，是小型音樂廳還是露天演奏，等等都是需要考慮的因素。幾百年前就有很多音樂家搞出各類奇奇怪怪的規(guī)則，而現(xiàn)代人類更是從胎教開始就逐漸接受正統(tǒng)的規(guī)則，作曲人即使沒有受過專業(yè)訓(xùn)練也會(huì)在潛移默化中將這些規(guī)律繼續(xù)發(fā)揚(yáng)光大。事實(shí)上音樂制作已經(jīng)在人類社會(huì)中形成了巨大的正反饋，某些和聲規(guī)則逐漸被強(qiáng)化。原始部落的人們聽到貝多芬的曲子，并不會(huì)神魂顛倒。所以說，可能也只有最樸素的小整數(shù)比和聲規(guī)律還有一定的生理基礎(chǔ)，現(xiàn)在復(fù)雜的和聲學(xué)則基本上算是美學(xué)，沒有道理可言。我曾經(jīng)看到有人對(duì)著樂譜做傅立葉分析，研究為什么某些和聲聽起來好聽。挺美好的音樂，偏偏硬要去扣個(gè)科學(xué)的帽子，我想說，你從小就是聽這些和聲規(guī)則長(zhǎng)大的，能不覺得好聽么……這個(gè)就跟我受了十多年政治教育就再也不會(huì)懷疑馬克思列寧主義了是一個(gè)道理。

Fang 在《寫作的重要性》一文中提到：看完書不寫讀后就好像做完題目不寫成 paper，不是好習(xí)慣。在這個(gè)方針的指引下，我在過去幾年看的音樂方面的書該摘錄的前面三篇差不多寫完了，這里補(bǔ)點(diǎn)小問題作個(gè)尾巴吧。

音高感知：比較流行的理論是，幾百赫茲以下大腦是直接數(shù)周期來確定音高的，1600 Hz 以上則主要靠?jī)?nèi)耳頻譜分析，中間頻率段兩種機(jī)制都在起作用。

聲源定位：人有倆耳朵，定位聲源主要靠分辨聲音到達(dá)耳朵的時(shí)間差。比較令人驚訝的是，雖然聲音感知的神經(jīng)脈沖有 100 微秒，但是人可以分辨的時(shí)間差在 10 微秒的量級(jí)。另外，左右耳的聲強(qiáng)和頻譜對(duì)比也對(duì)判斷聲源有幫助，比如，右邊來的聲音在右耳聽起來會(huì)亮一些，因?yàn)槁暡ń?jīng)過圓型頭部的時(shí)候高頻被吸收得多。

還有一個(gè)有趣的現(xiàn)象是聲源的上下定位。人即使不移動(dòng)腦袋，也是可以感覺到正前方聲源的上下位置的，而這種聲源對(duì)左右耳完全對(duì)稱，因此也不可能用左右耳差異來判斷位置。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果堵上耳朵或者改變耳廓形狀，人的聲源上下定位能力就會(huì)減弱或者消失。流行理論是人對(duì)預(yù)定聲音的頻譜會(huì)有記憶，而聲源上下移動(dòng)會(huì)在耳廓上產(chǎn)生不同的反射模式，特別會(huì)影響高頻部分的頻譜，人估計(jì)就是從高頻頻譜里得到聲源位置的暗示的。實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)，如果編造不熟悉的聲音，人對(duì)聲源高度的判斷就不會(huì)那么準(zhǔn)確了。

另外，一般在房間里聲源到接受者耳朵里不光有直接聲波還有大量墻壁和地面的反射波。首先，人會(huì)選取最先聽到的直接聲波判斷出聲源的位置；其次，人也會(huì)利用反射波的信息來感知房間大小。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果把房間墻壁搞成完全吸收聲波，哪怕再小的房間人也不會(huì)感覺到房間很小(當(dāng)然這個(gè)實(shí)驗(yàn)需要把人眼睛蒙起來)。

雞尾酒會(huì)效應(yīng)：Cocktail party effect，聽覺系統(tǒng)的一種選擇能力。在雞尾酒會(huì)上即使周圍噪聲很大，我們還是可以聽到朋友說的內(nèi)容。聽音樂時(shí)，人如果專注于一樣樂器，也可以跟隨那個(gè)樂器的聲音。這種能把注意力集中在某個(gè)聲音上的現(xiàn)象就是雞尾酒會(huì)效應(yīng)，這和視覺里人可以在紛亂的背景中看出熟悉的圖形可能是類似的機(jī)制。大凡自然界的聲音、人聲和樂器都會(huì)略有噪音和瑕疵，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)人對(duì)聲音里面這種瑕疵非常敏感，這也很可能是人分辨相近聲音的主要線索。兩個(gè)人說話或者兩種樂器演奏，頻譜一般有很明顯的不同，所以人能分辨出來并不奇怪；兩把幾乎相同的小提琴一起演奏，人還是可以聽出有兩把小提琴，這是因?yàn)閮蓚€(gè)樂器各有各的瑕疵，演奏的人也可能技巧略有不同。電子合成的樂音如果不加瑕疵，聽起來很機(jī)械，完全沒有美感，兩個(gè)不加瑕疵的電子小提琴一起演奏，人是分辨不出來的。可見完美的世界并不美好，我們需要一定的個(gè)性才能讓這個(gè)世界變得有趣。

最后推薦一本書 Music, Cognition, and Computerized Sound: An Introduction to Psychoacoustics，這本書是 Stanford Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA) 的一幫人根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷整理的。這個(gè)多學(xué)科研究中心集結(jié)了音樂、計(jì)算機(jī)、電子和機(jī)械工程、物理和心理方面的大牛，成立多年雖無(wú)重大突破，但是成功改變了過去各個(gè)學(xué)科獨(dú)自研究音樂的局面，算是在這個(gè)交叉學(xué)科領(lǐng)域走出了重要的一步。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的音阶频率对照表_八度音阶和频率的关的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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