PS：課上講的也是編解碼流程，也沒有原理，網上也沒找到每一步的原理，想要了解設計思路還是需要去找一下原版的論文。

參考blog：
【1】【舉例子詳細分析】BCH碼(BCH code)

目錄

• 1. 伽羅華域和多項式
• 2. 提出背景和思路
• 3. 案例：為什么需要本原多項式
• 4. BCH碼編碼過程
• 5. BCH碼譯碼過程

1. 伽羅華域和多項式

??見之前的blog伽羅華域GF

2. 提出背景和思路

??奇偶校驗碼只能檢查出錯誤而不知道具體是哪里出錯。
??hamming碼只能糾正 1 bit 錯誤。
??在GF$(2^q)$中，用多項式表示對應的有限域中的數值，多項式又可表示成二進制bit流的形式，等于二進制bit流與符號之間的一一映射，同時二進制多項式加法和二進制的按位異或等同（二進制流所受的干擾可用加法表示），多項式乘法及其逆運算能夠實現多項式的恢復，本原多項式能保證逆運算結果具有唯一性。

??現假設待傳輸的消息用二進制流對應的$m(x)$表示，乘上一個編碼多項式$p(x)$，傳輸過程收到干擾可表示為$e(x)$，則接受到：$$c(x)=m(x)p(x)+e(x)$$如果接受端也知道p(x)，那么就能得到$m(x)$和$e(x)$。

本原元→本原多項式：

GF$(2^q)$上的本原元是一個元素, 在域中的任何非零元素都可以表示為它的方冪

任意一個有限域 GF$(2^q)$必有一個本原元$\alpha$

本原元的階數為$2^q?1$，即${\alpha }^{2^q?1}+1=0$

本原多項式$p(x)$是以本原元$\alpha$為根的、首項系數為1的最低階不可約多項式

3. 案例：為什么需要本原多項式

對于GF$(2^4)$，有本原多項式$p(x)=x^2+x+1$
??$m(x)$是$1001$，而編碼多項式$p(x)$是$1101$，則$m(x)?p(x)=1100101$。若收到了干擾$e(x)=0000010$，則接受到$1100111$,

e(x)e(x)/p(x) 的余項

1000000	1000000
0100000	0100000
0010000	0010000
0001000	1100000
0000100	0110000
0000010	1110000
0000001	1010000

??從表中可看出，$e(x)$和所得余項一一對應，通過余項結果可找到對應的$e(x)$。如果采用$p(x)=10001=101?101$，1000000和0000100除以10001后余項均為1000000。

4. BCH碼編碼過程

??思想：一個本原多項式糾正一個錯誤，通過修正編碼多項式$$c(x)=m(x)Q(x)+e(x)$$令其中$Q(x)=p(x)p_3(x)p_5(x)?p_{2t?1}(x)$，p(x)是本原多項式，實現糾正多個錯誤。

??$p_{2t?1}(x)$的性質(a mod b=c，表明a除以b余數為c):

$p_{2i?1}(x)modp(x)=0，i=2,...,t$

本原BCH碼$p(\alpha )=p({\alpha }^3)=...=p({\alpha }^{2t?1})=0$

??以$n=2^4?1=15$, 糾錯數量$t=3$ 的本原BCH碼為例，設$\alpha$為GF$(2^4)$的本原元，本原多項式為$p(x)=x^4+x+1$，那么$Q(x)=p(x)p_3(x)p_5(x)$，現有$p(x)=x^4+x+1=(x?\alpha )(x?{\alpha }^2)(x?{\alpha }^4)(x?{\alpha }^8)$，畫表得到其共軛根為${\alpha }^3,{\alpha }^6,{\alpha }^{12},{\alpha }^9$，故$p_3(x)=(x?{\alpha }^3)\left(x?{\alpha }^6\right)\left(x?{\alpha }^2\right)\left(x?{\alpha }^9\right)=x^4+x^3+x^2+x+1$，剩余兩根構成$p_5(x)=\left(x?{\alpha }^5\right)\left(x?{\alpha }^{10}\right)=x^2+x+1$。此時$g(x)=p(x)p_3(x)p_5(x)=x^{10}+x^8+x^5+x^4+x^2+x+1$。

此時n=15，t=3，deg（g(x)）= 10, k=n-deg=5，t=3，設計的碼距d=2t+1，實際碼距和設計碼距相等

PS：（以上推導過程為法一，適合做題不適合編程）
法二：上圖中極小多項式是$x^{2^q?1}$的因式分解結果，一個BCH碼的生成多項式也可由$LCM[f_1(x),f_2(x),\dots ,f_{2t}(x)]$給出，詳細可見參考文獻【1】

5. BCH碼譯碼過程

由于$m(x)Q(x)$以${\alpha }^1,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{2t}$為根。想要知道錯誤圖樣，需要知道在位置i是否發生錯誤。
定義$e(x)={\sum }_{i=0}^{n?1}{e}_i{x}^i={\sum }_{l=1}^{\gamma }{Y}_l{x}^{i_l}$，$i_l$表示錯誤位置。
譯碼五步：

5.1 伴隨多項式的計算
法一：接收端知道$Q(x)$，能得到對應的$h(x)=\frac{x^n+1}{Q(x)}$，從而寫出H，即可計算s（x）
法二：

推導過程：

5.2 錯誤位置多項式系數的求解：

5.3 錯誤位置的確定

5.4 計算對應錯誤位置上的錯誤數值

5.5 得到e（x），輸出結果

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BCH码（能纠正多个随机错误的循环码）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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