NTT性質

令時域$v=(v_i)\in GF(q{)}^n$，其中$i$是時間，滿足$gcd(n,q)=1$。那么$?m\le n,n|q^m?1$，令$w\in GF(q^m)$滿足$w^n=1$，即$w$是$n$階單位根。做NTT變換得到頻域$V=(V_j)\in GF(q^m{)}^n$，而$s_j(i):=(w^j{)}^i$是函數空間的一組頻率漸變的正交基。

NTT公式：
$$V_j=\sum _{i=0}^{n?1}{w}^{ij}{v}_i=v(w^j),j=1,?,n$$
INTT公式：
$$v_i=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n?1}{w}^{?ij}{V}_j=\frac{V(w^{?i})}{n},i=1,?n$$
域$F$上的線性遞歸式（linear recursion）：
$$V_k=?\sum _{j=1}^L{\Lambda }_j{V}_{k?j},k=L,L+1,?$$
線性遞歸式完全由長度$L$和連接權重（connection weights）$\Lambda$決定，記做$(\Lambda ,L)$。多項式$\lambda (x)=1+{\sum }_{j=1}^L{\Lambda }_j{x}^j$叫做連接多項式（connection polynomial），$\mathrm{deg}\lambda (x)\le L$。

給定一個序列$V_0,?,V_{n?1}\in F$，我們將能夠生成這個序列的最短線性遞歸式的長度叫做$V$的線性復雜度（linear complexity）。

一些性質：

可加（Additivity）：$\lambda v+\mu v^{\prime }?\lambda V+\mu V^{\prime }$

調制（Modulation）：$(v_i{w}^{il})?(V_{(j+l)})$

轉換（Translation）：$(v_{(i?l)})?(V_j{w}^{jl})$

卷積（Convolution）：$e(x)=f(x)g(x)\mathrm{mod}{x}^n?1?E_j=F_j{G}_j$

零點（Zero）：$v(w^j)=0?V_j=0$

抽取（Decimation）：$(v_{bi})?(V_{Bj}),Bb\equiv 1\mathrm{mod}n$

有限長度序列$V$的線性復雜度，等于做INTT后$v$的漢明重量。反之亦然。

循環碼$\mathcal{C}$的生成多項式為$g(x)$，碼字為$c(x)=a(x)g(x)$。令$G=NTT(g),A=NTT(a)$，那么$C_j=A_j{G}_j?C=NTT(c)$。假設$B=\{j_1,?,j_{n?k}\}$是$g(x)$的零點$w^j$的指標，那么$A_j{G}_j=0,?j\in B$。

因此，循環碼也可以被定義為：空間$GF(q{)}^n$中那些做NTT變換后在$B$指定位置的頻譜分量為$0$的向量的集合，這些置零的頻譜分量叫做校驗頻率（check frequencies）

共軛約束

對于$GF(q^m)$上的向量$V$，做INTT后得到的$v$不一定會落入空間$GF(q{)}^n$。

令$V\in GF(q^m{)}^n$，且$n|q^m?1$，令$v:=INTT(V)$，那么
$$v\in GF(q{)}^n?V_j^q=V_{(qj)},j=0,?,n?1$$
我們對$Z_n$中元素做劃分，得到共軛類（$q?$ary conjugacy classes）：
$$B_j=\{j,jq,j{q}^2,?,j{q}^{m_j?1}\}$$
其中$m_j$是使得$j{q}^{m_j}\equiv j\mathrm{mod}n$的最小的正整數，它一定存在（$gcd(n,q)=1$）。我們說大小為$m_j$的共軛類$B_j$由$j$代表。

根據定義易知，$C_{j{q}^{m_j?1}}^q=C_j$，于是
$$(C_j^{q^{m_j?1}}{)}^q=C_j^{q^{m_j}}=C_j$$
因此，由$B_j$指定的那些頻譜值應落在擴域$GF(q^{m_j})$內。

也就是說，如果一個向量$V\in GF(q^m{)}^n$對應的$v$落在$GF(q{)}^n$內部，那么向量$V$中由共軛類$B_j$所指定的那些分量都由頻譜值$V_j\in GF(q^{m_j})$所完全決定，而不能隨意選取。這就叫做共軛約束（conjugacy constraints）。

時域編碼和頻域編碼

循環碼有兩種編碼方式，

time-domain encoder：在時域上，利用生成多項式$g(x)$，使用系統編碼方式或者非系統編碼方式，詳見循環碼。

frequency-domain encoder：在頻域上，將$g(x)$的所有零點$\{w^i{\}}_I$對應的位置$\{C_i{\}}_I$置零，作為校驗符號。同時零點所在共軛類的位置也都置零。其他共軛類的代表元所指定位置作為數據符號，填入數據比特，而其他的位置要滿足共軛約束條件。

Reed-Solomen Code

定義

令$gcd(n,q)=1$，一個$GF(q)$上的長度為$n|q?1$的RS碼$\mathcal{C}$，定義為：空間$GF(q{)}^n$中那些做NTT變換后在特定的$d?1$個連續分量為零的所有的向量，這個連續分量記做$\{j_0,j_0+1,?,j_0+d?2\}$。

構造

由于$n|q?1$，因此一個碼字$c\in \mathcal{C}$做NTT變換后得到的$C$依然屬于$GF(q)$。由于$C_j=0?C_j{w}^j=0$，并且由于$(c_{(i?1)})?(C_j{w}^j)$，因此RS碼是循環碼。由于$C_j=0?c(w^j)=0$，因此
$$g(x)=(x?w^{j_0})(x?w^{j_0+1})?(x?w^{j_0+d?2})$$
容易看出，$\mathrm{deg}g=d?1=n?k$。由于$C$包含$d?1$個連續的零分量，利用調制將它們搬移到最高頻且不影響碼字的漢明重量。那么$C(x)={\sum }_{j=0}^{n?d}{C}_j{x}^j$至多有$n?d$個不同的零點，于是INTT后得到的$c$至少有$d$個分量，即$d_{min}\ge d=n?k+1$。

Singleton Bound：對于$(n,k)$線性碼，其最小距離滿足$d_{min}\le n?k+1$

于是
$$d_{min}=n?k+1=d$$
因此，RS碼是極大距離可分碼（maximum distance separable，MDS）。

構造方法：

確定 $n,q$ 使得$n|q?1$，計算$GF(q)$中的$n$階單位根$w$（如果$n=q?1$，那么叫做本原RS碼）

根據需要糾錯的數量$t$，計算$d=2t+1$，然后任意選取$j_0$（一般選取$j_0=1$）來確定使用哪些元素作為零點

我們得到了由$g(x)=(x?w^{j_0})(x?w^{j_0+1})?(x?w^{j_0+2t?1})$生成的$(n,n?2t,2t+1)$RS碼

若使用頻域編碼器，由于$n|q?1$使得時域頻域的有限域都是$GF(q)$，因此我們只需設置$V_{j_0}=?=V_{j_0+2t?1}=0$。其他的$n?2t$個位置的頻譜都作為數據符號（$q\equiv 1\mathrm{mod}n$，共軛類的大小都為$m_j=1$，不必考慮共軛約束）

將數據$a(x)$的系數按某種順序填入，做INTT得到碼字$c(x)$

BCH Code

定義

令$gcd(n,q)=1$，一個$GF(q)$上的長度為$n|q^m?1$、設計距離為$d$的BCH碼$\mathcal{C}$，定義為：空間$GF(q{)}^n$中那些做NTT變換后在特定的$d?1$個連續分量為零的所有的向量。

注意，這里是$n|q^m?1$，因此做NTT后的頻譜落在域$GF(q^m)$上。容易看出，RS碼是$m=1$時的BCH碼；同時，$GF(q)$上的BCH碼是$GF(q^m)$上的RS碼的子空間，因此前者的最小距離大于等于后者的最小距離。

構造

BCH Bound：令$n|q^m?1$，在$GF(q{)}^n$中漢明重量至多為$d?1$的向量，如果它的頻譜包含$d?1$個連續的零分量，那么它就是零向量。這可以通過循環抽取來擴展，因為抽取不改變漢明重量。

因此，設計距離為$d$的BCH碼的最小距離$d_{min}$至少和$d$一樣大，并且往往有$d_{min}>d$。

構造方法：

確定 $n,q$ 使得$n|q^m?1$，然后將$Z_n$劃分為若干共軛類$B_{j_1},?,B_{j_r}$

根據需要糾錯的數量$t$，計算$d=2t+1$，然后選取某個$j_0$（一般選取$j_0=1$），將$d?1$個連續頻譜分量作為校驗頻率

將$\{j_0,j_0+1,?,j_0+d?2\}$所在的共軛類對應的頻譜值都置零

將剩余共軛類的代表$j_l$作為數據符號，有$C_{j_l}\in GF(q^{m_{j_l}})$，這可視作長度為$m_{j_l}$的$GF(q)$上向量。其他的$m_{j_l}?1$個位置按照共軛約束，由$C_{j_l}$來生成

假設作為數據符號的那些共軛類的總大小為$k={\sum }_l{m}_{j_l}$，那么可以將$GF(q{)}^k$上的向量分塊填充到那些數據符號上，因此我們得到了$(n,k)$BCH碼

最后，做INTT得到時域上的碼字多項式

觀察到校驗頻率以及它們的共軛頻率都被置零，而校驗頻率$w^j$的共軛類對應的頻率為$w^{jq},w^{j{q}^2},?$，這些就是$w^j$在$GF(q^m)$上的共軛元。因此，BCH碼的生成多項式為：
$$g(x)=lcm(f_1(x),?,f_{d?1}(x))$$
這里$f_j(x)$是$w^j$的極小多項式（以所有共軛元為單根）。如果$w$是$GF(q^m)$的本原根，那么$n=q^m?1$，此時叫做本原BCH碼。

Reed-Muller Code

定義

對于整數$j$，將它寫作$j=j_0+j_{1}2+?+j_{m?1}{2}^{m?1}$（radix-2 representation），定義二進制重量（radix-2 weight）為
$$w_2(j)=j_0+j_1+?+j_{m?1}$$
一個長度為$n=2^m?1$的$r$階（order）的循環RM碼$\mathcal{C}$，是定義集為$A=\{w^j:0<w_2(j)<m?r\}$的二元循環碼（binary cyclic code）。

構造

由于$d=2^{m?r}?1$的二進制表示就是$m?r$比特的全幺串，因此$?j=1,?,d?1,w_2(j)\le m?r?1$，從而$\{w,w^2,?,w^{d?1}\}$是RM碼的定義集的子集。但同時，這也是設計距離為$d$的BCH碼的定義集。所以，$r$階循環RM碼是設計距離為$d=2^{m?r}?1$的BCH碼的子空間。

易知，長度為$n=2^m?1$的$r$階循環RM碼的極小距離滿足$d_{min}\ge 2^{m?r}?1$

構造方法：

確定 $m,r$ ，令$n=2^m?1$，構造域$GF(2^m)$，找到本原元$w$

尋找所有的滿足$0<w_2(j)<m?r$的$m$比特的正整數$j$，那么其生成多項式為$g(x)=LCM(f_j(x))$，這里$f_j(x)$是$w^j$的極小多項式

將頻域上的$j$分量作為校驗頻率，同時將其共軛類所對應的頻譜值置零。剩余的共軛類的代表作為數據符號，其他位置要滿足共軛約束。

RM碼是BCH碼的子碼，因此擁有較低的碼率，在實際中用處不大。但它多余的零元使得其解碼更容易。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于NTT的循环码：RS码、BCH码、RM码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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