淺析BCH碼的編碼方法

淺析BCH碼的編碼方法0 引言數字信號在傳輸系統中傳輸時，不免會受到各種因素的干擾，使到達接收端的數字信號中混有噪聲，從而引發錯誤判決。為了抗擊傳輸過程中的干擾，必然要利用糾錯碼的差錯控制技術。BCH碼是糾錯碼中最重要的子類，其具有糾錯能力強，構造方便，編碼簡單，譯碼也較易實現一系列優點，在實際應用中被工程人員廣泛應用。1 BCH碼BCH碼是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的糾多個隨機錯誤的循環碼，這是迄今為止發現的最好的線性分組碼之一，它有嚴格的代數結構，它的糾錯能力很強，特別是在短和中等碼長下，其性能接近理論值，并且構造方便編碼簡單，特別是它具有嚴格的代數結構，因此它在編碼理論中起著重要的作用。BCH碼是迄今為止研究的最為詳盡，分析得最為透徹，取得成果也最多的碼類之一。該碼的生成多項式與最小距離d之間有密切關系，根據d的要求可以很容易地構造出碼，利用該碼的代數結構產生了多種譯碼方法。BCH碼可以采用查表編碼方法，這是一種利用BCH碼作為線性分組碼和循環碼的性質和結構特點來編寫編碼表，然后通過查表來編碼的一種方法，也可以采用編碼器進行編碼，還可以應用代數算法，在本文將分別介紹這些算法。2 BCH碼的級編碼器 BCH碼是一類循環碼，它的編碼方法和傳統的循環碼完全相同，根據循環碼的生成多項式或校驗多項式，可推出BCH碼的編碼電路是一個級或級移存器電路，在k>n-k時，一般采用級編碼電路。用于產生系統碼級編碼器的原理這樣的：將信息多項式乘以成為，然后用除得到余式, 的系數就是校驗位，因此這可以根據生成多項式反饋連接的移位寄存器構成的除法電路完成。見圖1。符號表示一個二進制移位寄存器，符號表示模2加法器，符號若=1，表示連線，若=0，表示斷開(對二進制而言)。從圖1可以看出，該n-k級移位寄存器編碼電路的硬件主要包括:1、級移位寄存器(譬如個觸發器)，2、大約個模2加法器，3、反饋連接中的門電路，4、一個控制輸出開關和反饋連接門的時鐘計數電路，可由級移位寄存器構成(是使的最小整數)。圖1 移位寄存器編碼電路3 BCH碼的代數編碼(1)共軛和最小多項式如果將看成是的一個階擴展，則映射稱為共軛。共軛是線性的，即 (1)的共軛類是序列中取值不同的元素。因此，如果是滿足的最小整數，則的共軛類是包括。這里是稱為的階數；由此可知是的因子，并且，而不能屬于其他任何一個更小的域。的最小多項式為系數屬于、階數最低、首項系數為1且滿足的多項式。在上是不可約的，但在更大的域中，可以進行線性因式分解： (2)如果是中的一個本原根，則的最小多項式稱為上的本原多項式。利用本原多項式可以來構造域，通過查表可以發現是上的一個本原多項式。即是中一個本原根的最小多項式。通過反復利用等式，可以將每個冪表示為的一個次數的多項式。例如:,可以得出表(1)：表(1) 將表示為的冪，其中00001100102010031000400115011061100710118010191010100111111110121111131101141001同理：是上一個本原根的最小多項式。反復應用等式，可以將每個冪表示為的一個次數的多項式。例如：，可以得出表(2)：表(2) 中的冪，其中0001101021003011411051116101(2)BCH碼生成多項式的求法每個BCH碼都以它的生成多項式為特征。根據生成多項式的定義知道是碼中次數最低的碼多項式，即滿足的最低次多項式。的系數在中，但是不同次數的冪在更大的域中。根據BCH碼的定義，若以中的元素為根，且 (3)其中分別為在上的最小多項式。在上是不可約多項式，但是在更大的域中可以分解為： (4)因此,是的子集在上的最小多項式的乘積。所以，如果定義中元素的共軛為，那么可以表示為： (5)即上述文字可以用如下結論總結:結論一：碼長為的糾正個錯誤的BCH碼，生成多項式由式(1)給出。而碼的維數為，即，其中是中的-共軛的集合。(3)利用歸納法驗證結論一所描述的求生成多項式方法的正確性可以通過查表的方法來驗證所求的生成多項式是否正確。表一給出了的二進制本原BCH碼表，可以根據此表查出碼長為，糾正個錯誤的BCH碼的生成多項式。表一n≤31的二進制本原BCH碼表(八進制表示)74113151112315727211553246731261453121235513116310765731115542332531673133650473126175312122303311631352

總結

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