BCH碼的定義

BCH碼是由Bose、Chandhari 和 Hocquenhem 分別獨立提出的一種能夠糾正多個隨機錯誤的循環(huán)碼。
BCH 碼的定義：給定任一有限域 GF(q)及其擴域 GF(q^m)（其中 q 為素數(shù)或素數(shù)冪），m 為某一正整數(shù)，若碼元取自 GF(q) 循環(huán)碼的生成多項式 g(x) 的根集合 R 中有 σ-1 個連續(xù)根 α^m0， α^m0+1， α^m0+σ-2，則該循環(huán)碼稱為 q 進制 BCH 碼。其中 α∈GF(q^m) 是域中的 n 級元素，α^m0+i∈GF(q^m)(0 ≤ i≤ σ-2)，m0 是任意整數(shù)，通常取值為 0 或 1，當(dāng) m0=1 時生成的 BCH 碼為狹義 BCH 碼。如果在生成多項式 g(x) 的根中有 GF(q^m) 的本原元，則 BCH 碼的碼長 n=q^m-1，相應(yīng)的 BCH 稱為本原 BCH 碼。
設(shè) m_i(x) 和 e_i 分別是 α^m0+i(i = 1,2,…,σ-2) 元素的最小多項式和級，則 BCH 碼的生成多項式和碼長分別為：

BCH碼的性質(zhì)

對于 BCH 碼，有如下性質(zhì)和結(jié)論。
①（BCH 限）BCH 碼的最小距離 d 至少為 σ；若 BCH 碼的生成多項式 g(x) 的根集合為 R = {α^m0， α^m0+c，α^m0+(σ-2)c} 且 (n,c) = 1，則其最小距離 d ≥ σ。
②（HT 限）如果 BCH 碼的生成多項式 g(x) 的根集合 R 中有 s 組 σ-1 個 α 的連續(xù)元素（α∈GF(q^m) 是 n 級元素），即 R = {α^m0+σi+j ,i = 0,1,…,s-1; j = 0,1,…,σ-2} 且 (n,α) = 1 ，則 BCH 碼的最小距離 d ≥ σ + s - 1。類似的，（GHT 限）如果 BCH 碼的生成多項式 g(x) 的根集合為 R= {α^m0+σ1i+σ2j ,i = 0,1,…,s-1; j = 0,1,…,σ-2} 且 (n,σ1) < σ，σ ≥ 2 ，則 BCH 碼的最小距離 d ≥ σ + s - 1。
③如果二進制本原 BCH 碼的碼長 n = 2^m-1 ，設(shè)計距離為 σ = 2t+1 ，則如果滿足 ：

則，當(dāng) t --> 0 時 BCH 碼的實際距離等于設(shè)計距離。
④若二進制 BCH 碼的碼長 n = ab 且設(shè)計距離為 σ = a ，則碼的實際距離就為 a 。
⑤如果 GF(q) 上 BCH 碼的碼長為 n = q^m-1 ，設(shè)計距離 σ = q^h-1 ，則碼的實際距離為 σ 。
⑥ GF(q) 上設(shè)計距離為 σ 的本原 BCH 碼的實際最小距離 d ≤ qσ +q-2 。
在我們平時的編碼中，主要討論的是 q = 2 的二進制狹義 BCH 碼。

BCH的構(gòu)造

對于二進制 BCH 碼，其碼元取自 GF(2) 。根據(jù) BCH 碼的定義，若設(shè) m₀=1， σ=2t+1，α 為 GF(2^m) 上的本原元【0、1】，若碼以 α，α²，…，α^2t 為根，每個根對應(yīng)的最小多項式為 m_i(x)，i = 1，2，…，2t，則二進制 BCH 碼的生成多項式為：

該 BCH 碼能夠糾正 t 個錯誤。
在特征為 2 的 GF(2^m) 上 （αⁱ）² 和 αⁱ 的最小多項式相同，因此 BCH 碼以 α ，α³，…，α^2t-1 為根，其生成多項式可以寫成：

相應(yīng)的碼長為：

其中，e_i(i = 1，3，…，2t-1) 為 αⁱ(i = 1，3，…，2t-1) 的級。
根據(jù)生成多項式以及循環(huán)碼（https://blog.csdn.net/weixin_45115771/article/details/125571083?spm=1001.2014.3001.5501）的循環(huán)移位特性可以構(gòu)造 BCH 碼的生成矩陣 G。若設(shè) C(x) = q(x)g(x) 是 BCH 碼的任一碼字，則 α ，α³，…，α^2t-1 為碼多項式 C(x) 的根，即若碼多項式為：

則有：

根據(jù) CH^T = 0，可知 BCH 碼的校驗矩陣 H 為：

對于二進制 BCH 碼，有如下結(jié)論：
對于任意正整數(shù) m 和 t，一定存在一個二進制 BCH 碼，以 α ，α³，…，α^2t-1 為根，碼長為 n = 2^m-1 或 2^m-1 的因子，能夠糾正 t 個錯誤，碼中校驗元的個數(shù)為 mt 個（生成多項式 g(x) 的次數(shù)）。

例：對于定義在 GF(2⁴) 上的本原 BCH 碼，m = 4，α 為 GF(2⁴) 上的本原元，GF(2⁴) 上的本原多項式 p(x) = x⁴+x+1，則針對不同的 t 值，可以構(gòu)造不同碼參數(shù)的 BCH 碼（假設(shè)碼長 n = 2^m-1 = 15）。
①如果 t = 1，則構(gòu)造的 BCH 碼以 α 為根，同時 α²，α⁴，α⁸ 也是該 BCH 碼的根，α 的最小多項式就是本原多項式，所以生成多項式為 g(x) = x⁴+x+1，校驗元的個數(shù)為 mt = 4，得到的是糾錯能力 t=1 的（15，11，4）BCH 碼。
參考下表：

冪次表示二進制表示 十進制表示

0	0000	0
1	0001	1
α1	0010	2
α2	0011	3
α3	0100	4
α4=α+1	0101	5
α5=α2+α	0110	6
α6 =α3+α2	0111	7
α7= α3+α+1	1000	8
α8 = α2+1	1001	9
α9=α3+α	1010	10
α10=α2+α+1	1011	11
α11=α3+α2+α	1100	12
α12 =α3+α2+α+1	1101	13
α13=α3+α2+1	1110	14
α14 =α3+1	1111	15

根據(jù)表中 GF(2⁴) 的元素列表及 BCH 碼校驗矩陣的形式，可以寫出該 （15，11，4）BCH 碼的檢驗矩陣 H 為：
![在這里插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/83f409fd6bab41a8afa97db4aec53f5d.png
根據(jù)校驗矩陣 H 和生成矩陣 G 的對偶關(guān)系或者根據(jù)生成多項式 g(x) 及循環(huán)碼生成多項式矩陣的構(gòu)造方法可以寫出該 BCH 碼的生成矩陣 G。

②如果 t = 2，則構(gòu)造的 BCH 碼以 α ，α³ 為根，α 的最小多項式為 m₁(x) = x⁴+1，α³ 的最小多項式為 m₃(x) = x⁴+ x³+ x²+x+1，所以生成多項式為：g(x) = m₁(x) m₃(x) = x⁸+ x⁷+ x⁶+x⁴+1，校驗元的個數(shù)為 mt = 8，得到的是糾錯能力 t = 2 的（15，7，5）BCH 碼。參考上表中 GF(2⁴) 的元素列表及 BCH 碼校驗矩陣的形式，可以寫出該 （15，7，5）BCH 碼的校驗矩陣 H 為：

根據(jù)校驗矩陣 H 和生成矩陣 G 的對偶關(guān)系或者根據(jù)生成多項式 g(x) 及循環(huán)碼生成多項式矩陣的構(gòu)造方法可以寫出該 BCH 碼的生成矩陣 G。
③如果 t = 3，則構(gòu)造的 BCH 碼以α ，α³， α⁵ 為根，α 的最小多項式為 m₁(x) = x⁴+1，α³ 的最小多項式為 m₃(x) = x⁴+ x³+ x²+x+1，α⁵ 的最小多項式為 m₅(x) = x²+x+1，所以生成多項式為：g(x) = m₁(x) m₃(x)m₅(x) = x¹⁰+ x⁸+ x⁵+x⁴+x²+x+1，校驗元的個數(shù)為 mt = 12，得到的是糾錯能力 t = 3 的（15，5，7）BCH 碼。參考上表中 GF(2⁴) 的元素列表及 BCH 碼校驗矩陣的形式，可以寫出該 （15，5，7）BCH 碼的校驗矩陣 H 為：

④如果 t = 4，則構(gòu)造的 BCH 碼以α ，α³， α⁵ ， α⁷為根，α 的最小多項式為 m₁(x) = x⁴+1，α³ 的最小多項式為 m₃(x) = x⁴+ x³+ x²+x+1，α⁵ 的最小多項式為 m₅(x) = x²+x+1，α⁷ 的最小多項式為 m₇(x) = x⁴+ x³+1，所以生成多項式為：g(x) = m₁(x) m₃(x)m₅(x)m₇(x) = x¹⁴+ x¹³+x¹²+x¹¹+x¹⁰+x⁹+ x⁸+x⁷+x⁶+ x⁵+x⁴+x³+ x²+x+1，得到的是（15，1，15）BCH 碼，也即重復(fù)碼。該碼的設(shè)計距離為 σ = 2t+1 = 9，可以計算該碼的實際最小距離 d = 15。在此情況下，設(shè)計距離不等于實際最小距離，碼設(shè)計太過度了，該碼實際可糾 (d-1)/2 = 7個隨機錯誤。
與線性分組碼和循環(huán)碼類似，也可以通過增加全校驗位實現(xiàn)擴展 BCH 碼。

BCH碼編碼

BCH 碼編碼的關(guān)鍵是生成多項式的選取，或者說生成矩陣 G 和校驗矩陣 H 的構(gòu)造。對于定義在 GF(q^m) 上分組長度 n = q^m-1、可糾正 t 個錯誤的 BCH 碼，編碼步驟如下：
①選取一個次數(shù)為 m 的既約多項式并構(gòu)造 GF(q^m) 。
②求 αⁱ，i = 1，3，…，2t-1的最小多項式 m_i(x)。
③構(gòu)造可糾 t 個錯誤的碼生成多項式 g(x) = m₁(x) m₃(x)… m_2t-1(x)。
④按照循環(huán)碼的編碼方法和編碼電路及逆行編碼（所有加法運算和乘法運算都在 GF(q^m)。
在MATLAB中提供了 BCH 碼的編碼和譯碼相關(guān)函數(shù)和 Simulink 仿真模塊，具體說明如下：
—bchgenpoly—：該函數(shù)根據(jù)碼長 n 和信息組長度 k 計算狹義 BCH 碼的生成多項式。語法結(jié)構(gòu)為：

genpoly = bchgenpoly(n,k) genpoly = bchgenpoly(n,k,prim_poly) [genpoly,t] = bchgenpoly(……)

其中，輸入?yún)?shù) n 為碼長，k 為信息組長度，碼長 n 必須等于 2^m-1，3 ≤ m ≤ 16，輸入 prim_poly 為按冪次下降順序排列的整數(shù)，表示本原多項式的系數(shù)。輸出 genpoly 是 GF(2) 上按冪次下降順序排列的生成多項式系數(shù)，輸出 t 表示該碼的糾錯能力。
例：生成糾錯能力為 3 的（15，5）BCH 碼的生成多項式。

m = 4; n = 2^m-1; % 碼長 k = 5; % 信息組長度 [genpoly,t] = bchgenpoly(n,k) % 計算生成多項式和糾錯能力 disp(genpoly); % 顯示 genpoly disp(t); % 顯示 t

輸出結(jié)果：

genpoly:1×11 gf 數(shù)組 - 屬性:x: [1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1]m: 1prim_poly: 3 t:3

有了生成多項式，就可以進行 BCH 碼的編碼和譯碼了。

—bchnumerr—：該函數(shù)計算給定參數(shù)條件下 BCH 碼的可糾正錯誤數(shù)，語法結(jié)構(gòu)為：

T = bchnumerr(N) T = bchnumerr(N,K)

語法結(jié)構(gòu) 1 表示在給定碼長 N 的條件下返回所有可能的信息組長度 K 組成不同 (N,K) BCH 碼時的可糾正錯誤數(shù) T，其返回值 T 為一個包含 3 列元素的矩陣，第 1 列為碼長 N ，第 2 列為可能的信息組長度 K，第３列為糾錯能力T。
例：當(dāng)N＝15時，輸出結(jié)果Ｔ為：

T = bchnumerr(15)； T = 15 11 115 7 215 5 3

也即對于N＝15的情況，可以生成信息組長度K分別為 11 , 7 和 5 的 BCH 碼，其糾錯能力分別為 1、2 和 3。
語法結(jié)構(gòu) 2 要求輸入信息組長度 K，函數(shù)執(zhí)行后返回 (N,K) BCH 碼的糾錯能力 T。

—bchenc—：該函數(shù)為 BCH 碼的編碼函數(shù)，語法結(jié)構(gòu)為：

code = bchenc(msg,n,k) code = bchenc(……,paritypos)

該函數(shù)使用狹義（n，k）BCH 碼的生成多項式對輸入信息組 msg 進行 BCH 碼編碼。其中信息組 msg 定義在 GF(2) 上，可以是矩陣形式，每行包含 k 個元素作為一個信息組。最左邊為最高位符號。在輸出的 GF(2) 域上編碼碼字 code 中檢驗符號位于每個碼字的右端。
語法結(jié)構(gòu) 2 中參數(shù) paritypos 用于指定檢驗符號的位置，值可以是 “end” 或 “beginning”，分別表示校驗符號位于輸出碼字信息組的開始部分和結(jié)束部分，默認(rèn)值為 “end”。
例：假設(shè)對（15，5）BCH 碼進行編碼，輸入為：

code = bchenc(msg,n,k) code = bchenc(……,paritypos)

若輸入為：

msg = gf([1 0 1 0 1; 0 1 0 1 0 ]); code = bchenc(msg,15,5);

則輸出為：

code： 2×15 gf 數(shù)組 - 屬性:x: [2×15 uint32][1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0]m: 1prim_poly: 3

BCH碼譯碼

一、伴隨式譯碼
BCH 碼的伴隨式譯碼分為如下3個步驟：
①根據(jù)接收碼多項式 R(x) ，利用公式：

計算伴隨式 S(x)。
②根據(jù)伴隨式 S(x)，在碼字糾錯能力范圍內(nèi)得到錯誤圖樣 E(x) 的估計 E^(x)。
③估計發(fā)送碼字 C^(x) = R(X)+E^(x)。

二、迭代譯碼
BCH 碼伴隨式譯碼中最復(fù)雜的部分是錯誤位置多項式系數(shù)的計算和根的求解。Berlekamp 提出了一種通過迭代方式求解錯誤位置多項式根的方法（BM 算法），結(jié)合 Chien搜索電路，可以加快錯誤多項式的求解，簡化譯碼過程。
BCH 碼的迭代譯碼分為如下5個步驟：
①根據(jù)接收碼多項式 R(x)，利用公式：

計算伴隨式 S(x)。
②用 BM 算法求解錯誤位置多項式的系數(shù)。
③用 Chien 搜索法求錯誤位置多項式的根。
④計算錯誤值（對于二元碼，可以省略該步驟）。
⑤根據(jù)錯誤位置（和錯誤值）獲得錯誤圖樣 E(x) 的估計 E^(x)并譯碼， C^(x) = R(X)+E^(x)。

—bchenc—：該函數(shù)為 BCH 碼的譯碼函數(shù)，使用BM算法進行 BCH 碼的譯碼。語法結(jié)構(gòu)為：

decoded = bchdec(code,n,k) decoded = bchdec(……,paritypos) [decoded,cnumerr] = bchdec(……) [decoded,cnumerr,ccode] = bchdec(……)

其中，輸入?yún)?shù) n 和 k 分別表示碼長和信息組長度，code 為定義在 GF(2) 上的接受碼符號序列，paritypos 用于指定校驗符號的位置（與 bchenc 中相對應(yīng)）。
輸出參數(shù)中 decoded 表示譯碼輸出碼字，定義在有限域上，可以是矩陣形式，每一行對應(yīng)輸入 code 中一行碼字的譯碼輸出。如果 bchdec 函數(shù)檢測到在 code 的行中出現(xiàn)超過其糾錯能力 t 的錯誤（錯誤數(shù)大于 t），則譯碼失敗，這種情況下 bchdec 函數(shù)因輸出輸入 code 中每一行的前 k 個符號（默認(rèn) paritypos = “end”）。輸出參數(shù)中 cnumerr 返回的是列矢量，其中每個元素是對輸入 code 的每行譯碼時糾正的錯誤說，如果某行譯碼失敗，則 cnumerr 列矢量中相應(yīng)的元素值為 -1。輸出參數(shù)中 ccode 返回的是糾正了 code 中的錯誤之后的碼向量（或矩陣），其格式與輸入 code 相同。如果譯碼失敗，則直接輸出 code 中相應(yīng)的行。
例：對（15，5）BCH 碼進行編譯碼。

n = 15; k = 5; dat = randi([0,1],4,k); msg = gf(dat); code = bchenc(msg,n,k); decode = bchdec(code,n,k); % 檢查譯碼過程是否正確 chk = isequal(decode,msg);

在上述例子中，要求編碼函數(shù) bchenc 和譯碼函數(shù) bchdec 中參數(shù) paritypos 的值必須相同，才能正確譯碼。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BCH编码与译码（MATLAB实现）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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