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大津法是一種灰度圖像自適應閾值分割算法，是日本學者Ostu于1979年提出，又稱類間方差閾值分割法。大津法根據圖像的灰度分布將圖像分為前景和背景兩部分，前景是我們分割出來的部分。前景和背景的分割值就是我們要通過類間方差法求出的閾值。

一、算法原理

設圖像灰度級為L，灰度級為i的像素點數為ni，那么直方圖分布為：
$$p_i=n_i/N，\sum _{i=0}^{L?1}{p}_i=1$$
按灰度級用閾值t劃分為兩類：C_0=(0,1,…,t)和C_1=(t+1,t+2…,L-1)。因此C_0類和C_1類的概率級均值分別由一下各式給出：
$$w_0=Pr(C_0)=\sum _{i=0}^k{p}_i$$

$$w_1=Pr(C_1)=\sum _{i=k+1}^{L?1}{p}_i=1?w_0$$

$$u_0=\sum _{i=0}^{k}iPr(i|C_0)=\sum _{i=0}^{k}i{p}_i/w_0$$

$$u_1=\sum _{i=k+1}^{L?1}iPr(i|C_1)=\sum _{i=k+1}^{L?1}i{p}_i/w_1$$

$$u_T=\sum _{i=0}^{L?1}i{p}_i$$

可以看出，對任何t值，下式都能成立：
$$w_o{u}_0+w_1{u}_1=u_T,w_0+w_1=1$$
C_0和C_1類的方差可由下式求得：
$${\sigma }_0^2=\sum _{i=0}^t(i?u_0{)}^2{p}_i/w_0$$

$${\sigma }_1^2=\sum _{i=t+1}^{L?1}(i?u_1{)}^2{p}_i/w_1$$

由此便可定義，類內方差(within)：
$${\sigma }_w^2=w_0{\sigma }_0^2+w_1{\sigma }_1^2$$
類間方差(Between):
$${\sigma }_B^2=w_0(u_0?u_T{)}^2+w_1(u_1?u_T{)}^2=w_0{w}_1(u_1?u_0{)}^2$$
總體方差：
$${\sigma }_T^2={\sigma }_B^2+{\sigma }_w^2$$
何為類間方差？我們將灰度級L按t非為兩類，反應在直方圖上就是兩類灰度。我們要做的就是找到能使兩邊灰度差的最大的閾值，根據這個閾值對灰度圖像進行分割。因此我們要做的就是找到能使類間方差最大的t值。

二、類間方差推導

$$\begin{gathered} {{\sigma }_B}^2=w_0({\mu }_0?{\mu }_T{)}^2+w_1({\mu }_1?{\mu }_T{)}^2 \\ =w_0[{\mu }_0?w_0{\mu }_0?w_1{\mu }_1{]}^2+w_1[{\mu }_1?w_0{\mu }_0?w_1{\mu }_1{]}^2 \\ =w_0[(1?w_0){\mu }_0?w_1{\mu }_1{]}^2+w_1[(1?w_1){\mu }_1?w_0{\mu }_0{]}^2 \\ =w_0[w_1{\mu }_0?w_1{\mu }_1{]}^2+w_1[w_0{\mu }_1?w_0{\mu }_0{]}^2 \\ =w_0{w}_1({\mu }_0?{\mu }_1{)}^2+w_0{w}_1({\mu }_1?{\mu }_0{)}^2 \\ =({\mu }_1?{\mu }_0{)}^2{w}_0{w}_1(w_0+w_1) \\ =w_0{w}_1({\mu }_1?{\mu }_0{)}^2 \end{gathered}$$

三、c++實現（核心代碼）

auto tempImage = originImage.clone();std::vector<int> countPixel(256, 0);//直方圖灰度分布概率std::vector<float> pixelProb;std::vector<int> pixel(256);for(int i = 0; i < 256; i++){pixel[i] = i;}for(int i = 0; i < tempImage.rows; i++){for(int j = 0; j < tempImage.cols; j++){countPixel[tempImage.at<uchar>(i, j)]++;}}//計算直方圖分布float sum_pixel = tempImage.rows * tempImage.cols;for(auto iter = countPixel.begin(); iter != countPixel.end(); iter++){pixelProb.push_back(*iter / sum_pixel);}//類內方差std::vector<float> class_within_variance_vec;//類間方差std::vector<float> class_between_variance_vec;for(int k = 0; k < 256; k++){//類0的概率float class_0_prob = 0;//類1的概率float class_1_prob = 0;for(int i = 0; i <= k; i++){class_0_prob += pixelProb[i];}class_1_prob = 1 - class_0_prob;//std::cout<<"class_0_prob:"<<class_0_prob<<" class_1_prob:"<<class_1_prob<<std::endl;//類0（前景）灰度均值float class_0_average = 0;//類1（背景）灰度均值float class_1_average = 0;for(int i = 0; i <= k; i++){class_0_average += i * (pixelProb[i] / (class_0_prob+0.000001));}for(int i = k+1; i <= 255; i++){class_1_average += i * (pixelProb[i] / (class_1_prob+0.000001));}//類0（前景）方差float class_0_variance = 0;//類1（背景）方差float class_1_variance = 0;for(int i = 0; i <= k; i++){class_0_variance += std::pow((i-class_0_average),2)*(pixelProb[i]/(class_0_prob+0.000001));}for(int i = k+1; i <= 255; i++){class_1_variance += std::pow((i-class_1_average),2)*(pixelProb[i]/(class_1_prob+0.000001));}//類內方差float class_within_variance = class_0_prob*std::pow(class_0_variance,2) + class_1_prob*std::pow(class_1_variance,2);class_within_variance_vec.push_back(class_within_variance);//類間方差float class_between_variance = class_0_prob * class_1_prob * std::pow((class_1_average-class_0_average),2);class_between_variance_vec.push_back(class_between_variance);}auto max_value_iter = std::max_element(class_between_variance_vec.begin(), class_between_variance_vec.end());//得到類間方差最大值int k_value = std::distance(class_between_variance_vec.begin(), max_value_iter);std::cout<<"k_value:"<< k_value<<" max_var:"<<*max_value_iter<<std::endl;/* auto min_value_iter = std::min_element(class_within_variance_vec.begin(), class_within_variance_vec.end());int kk_value = std::distance(class_within_variance_vec.begin(), min_value_iter);std::cout<<"kk_value:"<< kk_value<<" max_var:"<<*min_value_iter<<std::endl;*/for(int i = 0; i < tempImage.rows; i++){for(int j = 0; j < tempImage.cols; j++){if(tempImage.at<uchar>(i, j) <= k_value)tempImage.at<uchar>(i, j) = 0;elsetempImage.at<uchar>(i, j) = 255;}}

四、效果對比

下圖從左到右依次為，原灰度圖、OpenCV提供OSTU算法分割結果、自己實現的OSTU分割效果。

下圖為調用matlab函數實現的大津法閾值分割效果

必不可少的Lenna。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的大津阈值分割（OSTU）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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