目錄

01 簡介

02 辨識框架

03 基本概率分配

1.BPA＆m函數

2.與傳統概率的區別：

04 信度函數與似然函數

1.函數定義

2.置信區間

05 Dempster合成規則

1.案例

2.“Zadeh 悖論”

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01 簡介

　　證據理論源于Dempster提出的上下概率，后經Shafer發展建立起一個比較完整的理論體系，因此常稱為D—S證據理論，又稱信任函數理論。一般認為證據理論是傳統概率理論的一種拓展，可在任意抽象層次上進行不精確推理；它可以區分無知與等可能性，在問題描述上更加靈活準確。

　　證據理論是一種不精確推理理論，屬于人工智能范疇，最早應用于專家系統中，具有處理不確定信息的能力。作為一種不確定推理方法，證據理論的主要特點是：滿足比貝葉斯概率論更弱的條件；具有直接表達“不確定”和“不知道”的能力·。

02 辨識框架

　　 在DS證據理論中，將所有命題組成的樣本空間定義為辨識框架，記為Θ，它是由一組相互排斥且構成完備集的命題所組成的集合，表示對某一問題的所有可能答案。辨識框架的定義完全取決于問題的特性，例如針對醫療診斷，其辨識框架應包含所有潛在的疾病，醫生診斷后得出的結果稱為證據。

　　假設辨識框架定義為,其中θ1,θ2,……θN就表示一組相互排斥且可以構成完備集的基本假設，

　　Θ的所有子集構成的集合稱為其冪集，記為。

03 基本概率分配

1.BPA＆m函數

　　基本概率分配（Basic probability assignment，BPA）指的是計算辨識框架Θ中每一條證據的基本概率的過程，這一過程用基本概率分配函數，又叫mass函數或m函數來完成（注：不等于概率）。ｍ函數反映命題信度的大小，記為m(x)且滿足：

? ? ? ? BPA可以賦予單個元素或辨識框架中元素的任意子集，賦予空集的BPA為0，賦予辨識框架的BPA表示全局不確定性，而賦予某一多元素子集的BPA表示局部不確定性，即只能區分該集合表示的命題，而不能進一步區分該集合中的元素所表示的命題。

? ? ? ?若某個BPA既不包括全局無知不確定性，也不包括局部物質不確定性，則該基本概率分配函數退化為傳統概率函數。

2.與傳統概率的區別：

??

??

? ? ? ? ?Bel(A)是對信任程度的下限估計。Pl(A)是對信任程度的上限估計。

04 信度函數與似然函數

1.函數定義

? ? ? ? 可以用信度函數Bel(A)和似然函數Pl (A)對證據的不確定性進行度量。它們是D-S證據理論種衡量證據不確定性的指標。信任函數值Bel(A)表示證據對命題A為真的信任程度,似然函數值Pl(A)表示證據對命題A不為假的信任程度。?

? ? ? ? 信任函數和似然函數的定義及關系定義如下：

? ? ? ? 下圖為兩函數之間的關系的可視化說明：

2.置信區間

? ? ? ?由上述說明可知：Bel(A)是對信任程度的下限估計，Pl(A)是對信任程度的上限估計。

? ? ? ?[Bel(A)，Pl(A)]是支持基本假設A的概率上下界或稱為置信區間，表示證據A的確定性程度。 若A的置信區間為[0，0]即Bel（）=1，表示完全信任；若A的置信區間為[1，1]即說明Bel（A）=1完全信任A；[0.2，0.4]表示以0.2的信度信任A，以0.6的信度信任。

05 Dempster合成規則

? ? ? ? D-S理論的核心是Depster合成規則，其假設所有的證據完全獨立且可靠。在Dempster合成規則中，如果任意一條證據否定了某個基本假設，不管其他證據以多大信度支持該基本假設，合成結果將完全否定該基本假設。Dempster合成規則如下：

1.案例

? ? ? ? 下面，運用Dempster合成規則對一個實例進行證據合成：

? ? ? ? 在某宗 “謀殺案”中, 根據兩個目擊證人e1和e2來判定三犯罪嫌疑人(Peter, Paul, Mary) 中誰是兇手. 兩條證據的基本概率質量如下表所示

基本概率質量	犯罪嫌疑人
	Peter	Paul	Marry
m1	0.99	0.01	0
m2	0	0.01	0.99? ?

? ? ? ? 針對此實例，辨識框架為Θ={Peter，Paul，Mary}，m1那一行代表第一個證人對三個嫌疑人的指證（BPA的過程），構成一條證據。? 用Dempster合成規則對上述兩條證據進行合成得到：

同理，對Paul和Marry，運用合成規則計算可得?m(Paul)=1；m(Mary)=0。

2.“Zadeh 悖論”

? ? ? ? 合成結果表明兇手就是Paul，而Peter、Mary不可能是兇手，顯然與常理有悖。

? ? ? ? 在Dempster合成規則中，如果任意一條證據否定了某個基本假設，不管其他證據以多大信度支持該基本假設，合成結果將完全否定該基本假設。且Dempster沒有定義如何合成兩條完全沖突的證據，若兩證據完全沖突，則有，合成表達式中的分母將為0。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的D-S证据理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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