??有關(guān)模態(tài)邏輯的知識(shí)請(qǐng)看模態(tài)邏輯入門(mén)筆記，有關(guān)證據(jù)理論的知識(shí)請(qǐng)看證據(jù)理論入門(mén)筆記。本文主要記錄我對(duì)文獻(xiàn)[1]的理解，文獻(xiàn)[2]介紹了一種基于多值映射 (Multivalued mapping) 解釋證據(jù)理論的方法，多值映射類(lèi)似模態(tài)理論中的關(guān)系 $R$。

符號(hào)定義

$M=<W,R,V>$，模態(tài)邏輯的模型 $M$，模態(tài)邏輯采用系統(tǒng) T 或更強(qiáng)的模態(tài)邏輯系統(tǒng)，即 $R$ 滿(mǎn)足反身性 (reflexive)，每個(gè)可能世界能夠到達(dá)自身。

$||p|{|}^M$，命題 $p$ 的真集 (Truth set)，即 $||p|{|}^M=\{w|w\in W\wedge V(p,w)=T\}$。

$|A|$，集合 $A$ 的基數(shù)，即集合 $A$ 中元素的個(gè)數(shù)。例如，$A=\{1,2,3\},|A|=3$。

$X$，證據(jù)理論的辨識(shí)架構(gòu)。

$e_A$，一個(gè)命題，表示一個(gè)給定的研究元素被分類(lèi)到集合 $A$ 中。
$$e_A=\underset{x\in A}{?}{e}_{\{x\}},?A=?;e_{?}=\underset{x\in X}{?}?e_{\{x\}}$$

證據(jù)理論的模態(tài)邏輯解釋

信任函數(shù)：$$Bel(A)=\sum _{B?A}m(B)=\frac{|||\square e_A|{|}^M|}{|W|}$$

似然函數(shù)：$$Pl(A)=\sum _{B\cap A=?}m(B)=\frac{|||?e_A|{|}^M|}{|W|}$$

基本概率分配函數(shù)：$$m(A)=\frac{|||E_A|{|}^M|}{|W|}$$ $$E_A=\square e_A\wedge (\underset{B?A}{?}(?(\square e_B)))$$

??下面解釋上面幾個(gè)公式（可以參考下圖）。首先，假設(shè)在每一個(gè)可能世界 $w$ 中，有且僅有一個(gè) $x\in W$ 使命題 $e_{\{x\}}$ 為真 (Singleton Valuation Assumption)，我稱(chēng)之為可能世界 $w$ 對(duì)應(yīng)的 $x$。$w^{\prime }$ 是從一個(gè) $w$ 能夠到達(dá)的可能世界（可能有好幾個(gè) $w^{\prime }$），$w^{\prime }$ 對(duì)應(yīng)的 $x$ 構(gòu)成集合 $B$，我稱(chēng)之為 $w$ 對(duì)應(yīng)的集合 $B$。
??接下來(lái)，有一類(lèi) $w$ 的集合，其中 $w$ 對(duì)應(yīng)的集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集，即有 $(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }?V(e_A,w^{\prime })=T)$，則 $V(\square e_A,w)=T$，這類(lèi) $w$ 的集合即為 $||\square e_A|{|}^M$。
??還有一類(lèi) $w$ 的集合，其中的任意一個(gè) $w$ 能到達(dá)的可能世界 $w^{\prime }$，$w^{\prime }$ 對(duì)應(yīng)的 $x$ 構(gòu)成的集合 $B$ 包含集合 $A$，這類(lèi) $w$ 的集合為 $||{?}_{x\in A}?e_{\{x\}}|{|}^M$。
??另一類(lèi) $w$ 的集合，其中 $w$ 對(duì)應(yīng)的集合 $B$ 與集合 $A$相交不為空集，即 $B\cap A=?$，則有$(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\wedge V(e_A,w^{\prime })=T)$，這類(lèi) $w$ 的集合即為 $||?e_A|{|}^M$。
??定義一個(gè)集合 $B_w=\{x\in X|(?w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\wedge V(e_{\{x\}},w^{\prime })=T)\}$，其實(shí)就是上述 3 中的集合 $A$，對(duì)于每一個(gè)可能世界 $w$，這樣的集合有且只有一個(gè)，不同的 $w$ 可以有相同的 $B_w$， $B_w$ 由所有 $w$ 可以到達(dá)的 $w^{\prime }$ 對(duì)應(yīng)的 $x$ 構(gòu)成。
??由上述分析可以看出，可能世界 $w$ 對(duì)應(yīng)的集合 $B$ 和集合 $A$ 之間的關(guān)系是符合經(jīng)典 DS 證據(jù)理論的，這樣也就能更好的理解上述公式。
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Example

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證據(jù)理論的模態(tài)邏輯解釋的完整性 (Completeness)

??對(duì)于每一個(gè)由理數(shù)構(gòu)成的基本概率分配函數(shù)，都存在一個(gè)系統(tǒng) T 的模態(tài)邏輯模型 $M$ 能推導(dǎo)出該基本概率分配函數(shù)。看例子怎么找這個(gè)模型 $M$ 。

Example

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參考文獻(xiàn)

[1] Harmanec D , Klir G J , Resconi G . On modal logic interpretation of Dempster–Shafer theory of evidence[J]. International Journal of Intelligent Systems, 2010, 9(10):941-951. [2] Tsiporkova E , Boeva V , Baets B D . Dempster–Shafer theory framed in modal logic[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 1999, 21(2):157-175.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的证据理论的模态逻辑解释的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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