常用人口增長模型

????????如果已知今年人口為，年增長率為r，一般使用公式這是在增長率r保持不變的情況下做出的，但實(shí)際上，不可能不變，而且還有其他影響因素。說白了，這只是一個(gè)預(yù)測模型，需要我們考慮到會(huì)影響變量的各種因素去優(yōu)化已有模型。

人口增長模型的建立

一、初始模型

????????當(dāng)我們試圖考察一個(gè)國家或地區(qū)的人口隨著時(shí)間延續(xù)而變化的規(guī)律時(shí)，就可以利用微積分，將人口看作是連續(xù)時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)x(t)，記初始時(shí)刻（t=0）時(shí)的人口為，假設(shè)單位時(shí)間人口增長率為常數(shù)r，rx(t)就是單位時(shí)間內(nèi)x(t)的增長量。得到微分方程

易得出，此時(shí)，當(dāng)r>0，人口將呈指數(shù)增長，這個(gè)模型也被稱為Malthus人口模型。

????????那么，如何用python去解這樣一個(gè)微分方程呢？首先，我們設(shè)置初值，時(shí)間t為0，對應(yīng)的人口為6.0496（單位：百萬）使用python的scipy庫進(jìn)行求解，用matplotlib庫進(jìn)行展示。

from scipy.integrate import odeint import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pddata = pd.read_csv('data.csv') # 導(dǎo)入數(shù)據(jù)'''人口指數(shù)增長模型''' # 初級(jí)模型:dx/dt=rx,x(0)=x0（初始時(shí)刻）,x(t)表示t時(shí)刻下的人口 def expbase(x,t):r = 0.2020 # 把人口增長率看做常數(shù)return np.array(r*x+0*t)t = np.arange(0,25,1) # 設(shè)置時(shí)間序列 a = odeint(expbase,6.4096,t) # 設(shè)置初始值x0為6.4096 plt.plot(a) plt.scatter(data['t'],data['x'],c='r') plt.show()

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? ? ? 這里的r和是通過data里的數(shù)據(jù)，使用參數(shù)估計(jì)得出來的，常用的就是最小二乘估計(jì)，可以利用已知的數(shù)據(jù)來獲取，不過需要我們先把微分方程換成線性方程形式

????????觀察結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，在短期內(nèi)，對人口增長的預(yù)測還是比較準(zhǔn)確的，但人口不會(huì)一直指數(shù)增長，所以在時(shí)間后，就可以發(fā)現(xiàn)已經(jīng)明顯偏離，故需要對模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

二、對增長率進(jìn)行改進(jìn)的增長模型

????????結(jié)合實(shí)際，把r視為t的函數(shù)r(t)，假設(shè)（為什么要設(shè)置成這種形式，實(shí)際上需要我們對已有數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)行判斷）。所以，此時(shí)的指數(shù)增長模型為

? ? ?利用已知數(shù)據(jù)，使用最小二乘法估計(jì)出此時(shí)。

def change(x,t):r = 0.3252R = 0.0114return np.array(r-R*t)*xT = np.arange(0,30,1) x = odeint(change,3.9,T) plt.scatter(data['t'],data['x'],c='r') plt.plot(x) plt.show()

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????????此時(shí)，通過觀察縱坐標(biāo)的上限對比一二可以發(fā)現(xiàn)，精度確實(shí)比較高了一點(diǎn)（當(dāng)然縱軸區(qū)間都一致），在人口預(yù)測上，已經(jīng)較為擬合（當(dāng)然使用不同的參數(shù)估計(jì)方法，得出不一樣的值，或許可以更好的估計(jì)）。但是這還不夠，指數(shù)增長模型不能進(jìn)行長期的預(yù)測，而且影響人口增長率的因素有很多，需要知道阻滯作用較大的因素。

三、logistic模型

????????可以注意到，自然資源，環(huán)境因素對人口的阻滯影響較大，而且，人口越大，阻滯作用越大，此時(shí)，指數(shù)增長模型就不適用了，對于長期的預(yù)測，使用logistic模型。為此，設(shè)置最大人口數(shù)，當(dāng)達(dá)到資源與環(huán)境所能容納的最大人口時(shí)，人口數(shù)量不會(huì)再增長。

????????設(shè)置r隨人口增長而下降的減函數(shù)，令x=0時(shí)的增長率為r，即r(0)=r=a，當(dāng)達(dá)到最大人口時(shí)，，故此時(shí)。易得此時(shí)的微分方程為

? ? ? 通過以往數(shù)據(jù)和非線性最小二乘法估計(jì)得出

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? ? ? ? ?對比一二，就可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的預(yù)測就較為符合現(xiàn)實(shí)，logistic模型比指數(shù)增長模型作到更好的預(yù)測，適用于長期的預(yù)測。

? ? ? ? ?至于其他影響因素，需要我們查詢相關(guān)文獻(xiàn)資料，來探索，當(dāng)然，并非影響因素越多越好，總會(huì)出現(xiàn)一些意料之外的事。

? ? ? ? 本篇完結(jié)！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学模型——人口增长模型（基于python）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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