19.10.14馬上YC了，感覺自己看到簡單網絡流題，都不敢以信心滿滿穩切的心態去看題。
題目均來自洛谷網絡流24題。
題目列表：這里。

具體復雜度依照具體情況

• 最大流=最小割
• 二分圖最大匹配=最大流
• 二分圖的最小點覆蓋數=該二分圖的最大匹配數(最小點權覆蓋集==最小割)
• 二分圖的最小邊覆蓋數=圖中的頂點數-（最小點覆蓋數）該二分圖的最大匹配數
• 二分圖的最大點權獨立集=總權-最小點權覆蓋集(總點數-匹配數)
• DAG最小無相交路徑覆蓋=原圖的結點數-新圖(拆點變成二分圖)的最大匹配數(如果求相交，那么floyd求出所有閉包，轉換為無相交）
• 最大權閉合子圖=正權值之和-最小割

以下S為源點，T為匯點。

P2756 飛行員配對方案問題 //二分圖匹配

二分圖匹配板子，跑完后，看看$match$的值就好了。

P4016 負載平衡問題 //費用流

把大于平均值的放左邊，小于平均值的放右邊。
左邊右邊根據要轉移的數量拆點限流，費用為0。
左向右連邊費用為$min(順時針，逆時針)，$容量為無窮大。
在連上S和T。

P2763 試題庫問題 //最大流

把種類到題目連起來流量為1，
題目到T流量為1，
S到種類流量為需要的題數。
跑最大流后看種類結點的出邊的$cap$有沒有被用掉就好(注意有到S的反向邊)。

P4014 分配問題 //費用流

人到工作流量為1費用為$C_{i,j}$，S到人流量為1費用為0，工作到T流量為1費用為0，可以求最小。
將費用取相反數，就可以求最大

P4015 運輸問題 //費用流

倉庫到商店連接起來容量$inf$，倉庫和商店拆點限流（或者直接通過連接源點匯點限流

P2765 魔術球問題 //二分圖匹配(最小路徑覆蓋

這題難度+++
假設現在有$x$個點，如果兩個點可以相加是平方數，那么小的向大的引一條邊。
問題就轉換成了求DAG最小無相交路徑覆蓋（拆點二分匹配）。
DAG最小無相交路徑覆蓋$Z$：一個點拆成入點和出點，求最大二分圖匹配數，$Z$=頂點數-匹配數。
對于此題，可以二分，可以暴力逐個加點。
最后輸出的時候，因為當前網絡流里已經把DAG分割成了$n$份，那么在DAG上面走，每次看網絡流里cap是否為零（是夠有匹配到），然后不停跳到匹配到的點。
其實用HA算法也OK的。

P2764 最小路徑覆蓋問題

模板題，上一題K過了，這題就是順手…

P3358 最長k可重區間集問題//費用流處理區間

這題思路巧啊。
大致知道是費用流。
考慮將區間端點離散化，然后從小到大連成一條線$L$。
在$L$的前兩個點間限流$k$,其他可以不限流。
對于每一個開區間，$id[l]$到$id[r]$費用為$?(r?l)$容量為1。
最后跑$min\_cost\_flow(L起點，L終點)$。
保證$k$大小的流，且保證區間要么全取，要么一點都不取。

P3357 最長k可重線段集問題 //費用流處理區間

這題和上一題不一樣的地方就是會有垂直于$x$軸的點，那么就會產生自環，那么這里考慮拆點。
拆成入點和出點，對于垂直于$x$的線段，入點到出點容量為1費用為長度，其他的都是出點到入點。
（得考慮建圖符合實際情況

P4011 孤島營救問題 //bfs+狀壓

原本的意思是：分層圖+最短路
BFS狀壓爆搜復雜度好像還低一點。（貪心撿所有鑰匙）$O(n?m?(1<<s))$

P3254 圓桌問題 //最大流

隊伍和餐桌限流，然后構建完全二分圖，跑完后看所有隊伍到餐桌的$cap$就行了

P4009 汽車加油行駛問題 //分層最短路

$bfs$復雜度會爆炸，考慮分層建圖然后跑$dijkstra$，分成$k$層($1?n?n,n?n+1?n?n?2...$
每一層的層數表示當前的油量，暴力建圖，連一個源點匯點跑最短路。
復雜度$O(n?n?k?log(n?n?k))$

P2762 太空飛行計劃問題 //最大權閉合子圖

考慮 將所有與實驗對應的儀器向實驗引一條邊，構成一張DAG
那么答案就是最大權閉合子圖。
考慮用最小割求最大權閉合子圖：
S到每個正權點容量為權值，每個負權點到T容量為權值的絕對值，有向圖原來的邊容量全部為無限大，然后求最大流。
然后所有正權值的和-最小割就是答案(正權點-不要的正權點-要的負權點)。詳細見這里
最后輸出的時候，看是否和S聯通即可，如果和S聯通（存在流量>0的路徑），說明是要做的實驗和遺棄。

P2774 方格取數問題 //最大點權獨立集

可以發現把所有點分成二分圖。(所有回路都是偶數
發現這題求的就是二分圖最大點權獨立集(任意兩點不相鄰）= 點權和 - 最小點權覆蓋(最大匹配)(最小割)
假設全都取，再去掉最小割（使得沒有聯通）

P2766 最長不下降子序列問題//最大流

第一問：暴力$lis$
第二問：根據$dp$方程，從$dp[i]==1$的點作為源點，$dp[i]==s$的點作為匯點，對于每一個點拆點限流（保證只用一次。
根據轉移方程，對于$dp[i]+1==dp[j]\cap a[i]<=a[j]$的，引$i+n$到$j$容量為1的邊，這樣就保證到$dp[i]==s$的點長度是$s$。
第三問：放掉對點的限流（多加一條邊，再找殘余網絡）

P4012 深海機器人問題

這里是邊上只能用一次（我想當然的考慮把邊看成點，然后拆點限流，給我寫?了）
邊上只能用一次，那么將點連起來限流就好了…
最后對于出發和結束點連源點匯點限流。

P3355 騎士共存問題 //最大點權獨立集

和方格取數差不多，這里求的也是最大獨立集。
這里先建圖(相互攻擊的連邊)。
可以發現所有攻擊回路都需要轉折偶數次，那么這是一個二分圖。
最大獨立集=點數-二分圖匹配數。
進行二分染色，然后建最大流。
或者直接HA二分匹配。
答案就是$n?n?m?匹配數$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网络流(17/24)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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