M/M/1 排隊論模型

1.M/M/1 模型簡單介紹

• 到達時間是泊松過程（Poisson process）；
• 服務時間是指數分布（exponentially distributed）；
• 只有一部服務器（server）
• 隊列長度無限制
• 可加入隊列的人數為無限

這種模型是一種出生-死亡過程，此隨機過程中的每一個狀態代表模型中人數的數目。因為模型的隊列長度無限且參與人數亦無限，故此狀態數目亦為無限。例如狀態0表示模型閑置、狀態1表示模型有一人在接受服務、狀態2表示模型有二人（一人正接受服務、一人在等候），如此類推。 此模型中，出生率（即加入隊列的速率）λ在各狀態中均相同，死亡率（即完成服務離開隊列的速率）μ亦在各狀態中相同（除了狀態0，因其不可能有人離開隊列）。故此，在任何狀態下，只有兩種事情可能發生：
有人加入隊列。如果模型在狀態k，它會以速率λ進入狀態k + 1
有人離開隊列。如果模型在狀態k（k不等于0），它會以速率μ進入狀態k ? 1
由此可見，模型的隱定條件為λ < μ。如果死亡率小于出生率，則隊列中的平均人數為無限大，故此這種系統沒有平衡點。

2.排隊模型示例

對于M ／M ／1 模型有如下公式

μ: 單位時間服務的顧客數，平均( 期望) 服務率；
λ: 單位時間前來的顧客數。
Ls ：隊長 ，系統中的顧客數（n）期望值
Lq：排隊長 ，系統中排隊等待服務的顧客數; 期望值記為Lq
Ws：逗留時間:—— 指一個顧客在系統中的全部停留時間 為 期望值，記為 Ws
Wq: 等待時間: —— 指一個顧客在系統中的排隊等待時間為 期望值，記為 Wq

Ws=Wq + E[ 服務時間]
s : 服務臺數目
服務強度：ρ = λ/sμ

3.M/M/1 模型例子

某醫院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數分布，每個病人平均需要 15 分鐘。病人按泊松分布到達，平均每小時到達3 3 人。試對此排隊隊系統進行分析。
解： 對此排隊隊系統分析如下：

代碼：

% =================================================================需要改的地方 s=1; %服務臺個數 mu=4; %單個服務臺單個時間內能服務的個數 lambda=3; %單位時間到達的顧客數 % =================================================================需要改的地方ro=lambda/mu; ros=ro/s; sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i); endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2); p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros); Lq=p.*ros/(1-ros); L=Lq+ro; W=L/lambda; Wq=Lq/lambda; fprintf('排隊等待的平均人數為%5.2f人\n',Lq) fprintf('系統內的平均人數為%5.2f人\n',L) fprintf('平均逗留時間為%5.2f分鐘\n',W*60) fprintf('平均等待時間為%5.2f分種\n',Wq*60)

結果：

排隊等待的平均人數為 2.25人 系統內的平均人數為 3.00人 平均逗留時間為60.00分鐘 平均等待時間為45.00分種

---

以上內容參考：https://blog.csdn.net/qq_39481214/article/details/82185050

總結

以上是生活随笔為你收集整理的M/M/1 排队论模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。