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编程问答

数字信号处理——DFT

發布時間：2024/8/1 编程问答 40 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了数字信号处理——DFT 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

作者：BerenCamlost

參考資料：

老師PPT：百度網盤鏈接提取碼: dhn4

數字信號處理課本

超星視頻：B站視頻鏈接

第三章 DFT

3.1 各種傅里葉變換

傅里葉變換前（時域）傅里葉變換后（頻域）

非周期連續	非周期連續
周期連續	非周期離散
非周期離散	周期連續
周期離散	周期離散

一個域的離散對應另外一個域的周期
一個域的連續對應另外一個域的非周期

3.2 DFS——離散傅里葉級數

3.2.1 一個重要的算子

$WN=e?j(2π/N)W_N=e^{-j(2\pi /N)}$

3.2.2 計算公式

$X~[K]=∑n=0N?1x~[n]e?j(2π/N)kn=∑n=0N?1x~[n]WNkn\tilde{X}[K]= \sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j(2\pi/N)kn}= \sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]W_N^{kn}$

3.3 DFT——（有限長序列的）離散傅里葉變換

3.3.1 主值序列和周期延拓

$x[n]={x~[n]0?n?N?10othersx[n]=\left\{\begin{matrix} \tilde{x}[n] & 0\leqslant n\leqslant N-1\\ 0 & others \end{matrix}\right.$
$x[n]=x~[n]RN[n]x[n]=\tilde{x}[n]R_N[n]$

3.3.2 計算公式

$X[K]=DFT[x[n]]=∑n=0N?1x[n]WNkn,0?k?N?1X[K]=DFT[x[n]]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn},0\leqslant k\leqslant N-1$
$x[n]=IDFT[X[k]]=∑n=0N?1X[k]WN?kn,0?k?N?1x[n]=IDFT[X[k]]=\sum_{n=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn},0\leqslant k\leqslant N-1$

將這個公式和上面的DFS公式相對比，可以發現DFT是DFS的主值序列

3.3.3 DFT和DTFT的關系

N點離散傅里葉變換X[k]是以 $2π/N2\pi /N$ 為采樣間隔，對該序列的離散時間傅里葉變換 $X(ejω)X(e^{j\omega })$ 在一個周期內 $(0?ω<2π)(0\leqslant \omega < 2\pi )$ 的等頻率間隔采樣。
對于Z變換，就是單位圓上等間隔取樣。

3.3.4 頻域采樣

頻域采樣定理：如果序列x[n]長度為M，若對其 $X(ejω)X(e^{j\omega })$ 在 $(0?ω<2π)(0\leqslant \omega < 2\pi )$ 進行等間隔采樣，采樣間隔為 $Δω=2π/N\Delta \omega =2\pi /N$ ，采樣點頻率為 $ωk=2πk/N\omega _k=2\pi k/N$ ，得到N點的Y[k]，僅當采樣點數N>=M
時，才能由Y[k]恢復x[n]，即x[n]=IDFT [Y[k] ]，否則將產
生時域的混疊失真，不能由Y[k]無失真的恢復原序列

3.4 DFT性質

3.4.1 線性

3.4.2 循環移位

周期延拖，周期為N

時移

取主值區間

具體圖示如下圖所示：

循環移位也稱為圓周移位，原因可以由下圖解釋：
循環移位定理：
$DFT[x[<n-m>_N]R_N[n]]=W_N^{km}X[k]$

3.4.3 圓周共軛對稱

圓周偶對稱：x[n]=x[N-n]

圓周奇對稱：x[n]=-x[N-n]

圓周偶對稱性圓周奇對稱性

X[k]的實部	X[k]的虛部
$∣X[k]∣\begin{vmatrix}X[k]\end{vmatrix}$	arg[X[k]]

3.4.4 循環卷積

$y[n]=∑m=0N?1x1[m]x2[<n?m>N],0?n?N?1y[n]=\sum_{m=0}^{N-1}x_1[m]x_2[<n-m>_N],0\leqslant n\leqslant N-1$
記作:

循環卷積定理：
循環卷積和線性卷積的關系：兩個有限長序列的N點循環卷積y_c[n]，是這兩個有限長序列的線性卷積y₁[n]以N為周期進行周期延拓后的主值序列。

循環卷積的一種簡單算法

在我們計算循環卷積的時候，通常是先移位再相乘，然后求和。這種簡單算法的思路是，先相乘，再移位，最后求和。這種方法類似于計算線性卷積時的列表法，或者是豎式法。這里用一個例子來說明：

【例】：設x₁[N]={1,2,3,4}, x₂[N]={2,1,3}, 求4點循環卷積
【答】：
先對x₂[N]補1個零，然后列式：
1，2，3，4；；前兩行是源數據
2，1，3，0
2，4，6，8；；先使2和{1，2，3，4}相乘
4，1，2，3；；然后讓1和{1，2，3，4}相乘，但是起始位置和第二行的1對齊，并且將最后的4移動到最前面
9，12，3，6；；然后讓3和{1，2，3，4}相乘，但是起始位置和第二行的3對齊，并且將最后的9，12移動到最前面
0，0，0，0
；；縱向求和，結果為
15，17，11，17

3.4.5 帕斯瓦爾定理

x[N]和y[N]的N點DFT分別為X[k]、Y[k]，則有
$∑n=0N?1x[n]y?[n]=1N∑n=0N?1X[k]Y?[k]\sum_{n=0}^{N-1}x[n]y^*[n]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X[k]Y^*[k]$
當x[n]=y[n]時，有
$∑n=0N?1∣x[n]∣2=1N∑n=0N?1∣X[k]∣2\sum_{n=0}^{N-1}\begin{vmatrix} x[n] \end{vmatrix}^2=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\begin{vmatrix} X[k] \end{vmatrix}^2$

3.5 DFT實現線性卷積

兩個有限長序列x₁[n],x₂[n]進行線性卷積，長度最長為N₁+N₂-1

兩個有限長序列x₁[n],x₂[n]進行循環卷積，兩個序列均需要補0，使得其長度等于N，

兩個有限長序列的N點循環卷積y_c[n]，是這兩個有限長序列的線性卷積y₁[n]以N為周期進行周期延拓后的主值序列。

兩個有限長序列的循環卷積和線性卷積相等的前提條件是：

N?N1+N2?1N\geqslant N_1+N_2-1

3.6 連續信號的DFT分析

3.6.1 非周期連續信號的頻譜分析

3.6.2 利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題

混疊：
當采樣頻率不能滿足奈奎斯特采樣定理時，即fT<2fm，會發生頻譜混疊

頻譜泄漏：
截短后的信號頻譜是原信號頻譜與矩形窗譜卷積的結果，在卷積過程中使得信號的譜峰展寬，這種信號頻譜的擴展現象，稱為頻譜泄漏。就是濾波的窗太小了

柵欄效應

頻率分辨率：

F=fTNF=\frac{f_T}{N}

F越小，頻率分辨率越高
這里的N指的是信號x_N[n]的有效長度，而不是補零后的長度
f_T是采樣頻率

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字信号处理——DFT的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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