python123高次方程求根_GitHub - loveunk/math-advanced-algebra-notes: 根据丘维声的《高等代数》整理...
丘維聲《高等代數》學習筆記
《高等代數》，丘維聲，北京大學，視頻：共151講，B站視頻鏈接
前言
視頻1、2
n元線性方程組和其解法
矩陣的定義(由n元線性方程組的系數得到)
通常由 A 表示
對于線性方程組，可以得到增廣矩陣
高等代數研究對象：
n元線性方程組
研究解的情況的判別和解集的結構
矩陣
n維向量空間
線性空間(由n維向量空間抽象而來)
線性映射(研究線性空間，就離不開線性映射)
雙線性函數
具有度量的線性空間
歐幾里得空間
酉空間
等等
與度量有關的線性變換
正交變換
對稱變換
酉變換
Hermite變換
線性代數的主線：
線性空間
線性映射
一元高次方程的求根
一元多項式環
環的概念
域的概念
群的概念
數學的思維方式
觀察客觀現象
提出研究的問題
抓住主要特征
抽象出概念或建立模型
探索
運用直覺、類比、歸納、聯想、推理
猜測(可能的規律)
論證
深入分析
運用定義、公理、已證明的定理進行推理
揭示事物內在規律
第一章 線性方程組的解法
1. .1 解線性方程組的矩陣消元法
視頻3、4、5
加減消元法
不同方程的乘以系數后和其他方程加減，以消除方程中某個(些)系數
如果以矩陣方式來寫，把矩陣轉換為階梯型矩陣，即左下角的元素全為0
首先針對矩陣第一列，其次第二列，直到最后一列
當主元全是1，其他元素都是0 時，增廣矩陣的最后一列即為X的解
矩陣的初等行變化
把一行的倍數加到另外一行
兩行互換
一行乘以一個非零系數
結論：矩陣的初等行變換得到的解與原方程組同解
作業，習題1.1的1和2
在有理數集內解線性方程組
有且只有如下三種情況：
無解：階梯形方程組無解，從而原方程組無解
視頻中的例子是最后一行：0 x3= -2
有無窮多個解，從而原方程有無窮多個解
視頻的例子是最后一行：0 x2 = 0
x2 是自由未知量(主變量以外的未知量)
x1, x3 是主變量(以主元為系數的未知量)
有唯一的解
當有解的時候，要么有一個解，要么有無窮多個解。
從兩條直線來考慮這個問題，它們要么相交，要么重疊，要么平行。
方程組是否有解的總結：
如果線性方程的增廣矩陣經過初等變換成階梯矩陣后
相應的階梯矩陣方程組如果出現 0 = d (其中 d 是非零數)，那么原方程組無解，否則有解。
當有解時
若階梯形矩陣的非零行的數目 r = n (未知量數目)，那么方程有唯一解
如 r < n，那么方程有無窮多個解。
1.2 線性方程組解的情況及其判別情況
視頻5、6
證明：n元線形方程組的增廣矩陣經過初等行變換成階梯矩陣有 r 個非零行，顯然有 n + 1 列。
情況1： "0 = d"，無解
情況2： 不出現*"0 = d"*
由于 J 的第 r 個主元 brt 不能位于第 n+1 列，因此 t ≤ n
因為只能位于對角線的右上方，所以有 t ≥ r
情況 2.1：r = n
J1 有n個主元，最后一列的 (C1, C2, ..., Cn) 是方程唯一解
情況 2.2：r < n
有 _n - r_個自由未知量
1.3 數域
視頻7
定義1：復數集的一個非空子集K，如果滿足：
(1)0， 1 ∈ K
(2)a，b ∈ K → a ± b, ab ∈ K
(3)a，b ∈ K，且 b ≠ 0 → a/b ∈ K
上面 K 是一個數域
數域舉例：
有理數域 Q (最小的數域)
實數域 R
復數域 C (最大的數域)
對于例子：
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
其增廣矩陣轉化為階梯矩陣后可得
$$
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1\ 0 & a_{22} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12} & b_2 - \frac{a_{21}}{a_{11}}b_1 \end{pmatrix}
$$
所以需要第二行第二個元素部位0，意味著
(a11a22 - a21a12/a11) ≠ 0，即
a11a22 - a21a12 ≠ 0
表達式_a11a22 - a21a12 ≠ 0_ 用 |A| 來表示，稱為行列式，這里是二階行列式
習題1.3 思路
令 Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}, 證明 Q(i) 是一個數域
證明思路：
0 = 0 + 0i ∈ Q(i), 1 = 1 + 0 i ∈ Q(i)
α = a + bi, β = c + di
α ± β = (a ± c) + (b ± d)i ∈ Q(i)
αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i ∈ Q(i)
β ≠ 0，則c、d不全為0，則$ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}i \in Q(i) $
令 $F={\frac{a_0+a_1e+\cdots+a_ne^n}{b_0+b_1e+\cdots+b_ne^n}$ ，n、m為任意非負整數，ai，bi 數域 Z，0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m。證明F是一個數域，其中e是自然對數的底。
證明思路：
對于 0、1∈ F的思路同上題目
對于F中的兩個數 α、β
令$\alpha=\frac{a_0+a_1e+\cdots+a_{n_\alpha}e^{n_\alpha}}{b_0+b_1e+\cdots+b_{n_\alpha}e^n_{n_\alpha}}, \beta=\frac{a_0+a_1e+\cdots+a_{n_\beta}e^{n_\beta}}{b_0+b_1e+\cdots+b_{n_\beta}e^n_{n_\beta}}$
則 $\alpha\beta=\frac{a_0^2+2a_0a_1e+\cdots+a_{n_\alpha}a_{n_\beta}e^{n_\alpha+n_\beta}}{b_0^2+2b_0b_1e+\cdots+b_{n_\alpha}b_{n_\beta}e^n_{n_\alpha+n_\beta}}$，所以 αβ ∈ F
同樣的思路 α ± β ∈ F，α/β ∈ F
第二章 行列式
先研究屬于 K 上二元一次方程組，例子：
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
在 1.3節中討論過 當 _a11a22 - a21a12 ≠ 0_時方程有唯一解；_a11a22 - a21a12 = 0_是有無窮多個解，為了方便記憶，把表達式 _a11a22 - a21a12_寫作：
$$
\left|\begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
$$
這是2階行列式。把系數矩陣記作_A_，那么它對應的行列式記作 |A| 或 det(A)。
數域 K 上的系數矩陣 A 有唯一解 <==> |A| ≠ 0
2.1 n元排列
_n_元排列：1, 2, ..., n 的一個全排列。排列個數有 n! 個。
排列方法：
順序：數字從小到大排列(對 a1, a2, ..., an，任取一對數_aiaj，如果_ai
逆序：數字從大到小排列(對 a1, a2, ..., an，任取一對數_aiaj，如果_ai>aj，則稱這一對數構成一個逆序
逆序數：一個 n 元排列中逆序的總數稱為逆序數，記作_τ(a1, a2, ..., an)_。
例如_τ(2431) = 2_，因為有24、31這兩個逆序數對。
偶(奇)排列：逆序數個數為偶(奇)數，那么這個排列稱為偶(奇)排列。
對換：一個排列里的兩個數字互換位置，稱為一次對換。
定理1：對換會改變數列奇偶性。
定理2：任一n元排列與排列123...n可經過一系列對換互變，并且所做對換的次數與這個n元排列有相同的奇偶性。
習題 2.1
2. (1) $\tau = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$, (2) $\tau=n-1$
4. (1) k - 2, (2) n - k - 1
6. $|A| = 2*4 + 15 = 23$，因此有唯一解$x_1 = 2, x_2 = -1$
2.2 n階行列式的定義
定義1：n階行列式
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1n}} \
{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2n}} \
{\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \
{a_{n1}} & {a_{n2}} & {\cdots} & {a_{mn}}
\end{array}
\right|
= \sum_{j_1j_2\vdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
$$
簡記作$|A|$或 $\mathbb{det} A$。
命題1：n階上三角形行列式的值等于它的主對角線上n個元素的乘積。
習題2.2
2. (1) -49, (2) 103, (3) $a_{11}a_{22}a_{33}$, (4) $ca_1b_2 - ca_2b_1$
可以用下面的Python代碼來驗證結果：
import numpy as np
A = np.array([[1, 4, 2],[3, 5, 1],[2, 1, 6]])
print(np.linalg.det(a))
4. 不是
5. 四次，5和5
6. 如果元素相同，|A| = 0，為偶數
2.3 行列式的性質
性質1：行列互換(矩陣轉置)，行列式的值不變。
$$
|A| = |A^T|
$$
性質2：行列式一行的公因子可以提出去。即為
$$
\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{nn}}\end{array}\right|=k \left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{nn}}\end{array}\right|
$$
性質3：行列式中若有某一行是兩組數的和，則此行列式等于兩個行列式的和，這兩個行列式的這一行分別是第一組數和第二組數，而其余各行于原來行列式的相應各行相同，即
$$
\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {b_{1} + c_1} & {b_{2}+c_2} & {\cdots} & {b_{n}+c_n} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{nn}}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{nn}}\end{array}\right| + \left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {c_1} & {c_2} & {\cdots} & {c_n} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{nn}}\end{array}\right|
$$
性質4：兩行互換，行列式反號，即
$$
\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{k 1}} & {a_{k 2}} & {\cdots} & {a_{k n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right| = -
\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{k 1}} & {a_{k 2}} & {\cdots} & {a_{k n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right|
$$
性質5：兩行相同，行列式的值為0。即
$$
\left|\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{i 1}} & {a_{i 2}} & {\cdots} & {a_{i n}} \ {\vdots} & {\vdots} & & {\vdots} \ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{m}}\end{array}\right| = 0
$$
性質6：兩行成比例，行列式的值為0。
性質7：把一行的倍數加到另一行上，行列式的值不變。(根據性質3和性質5可以證明)
上述七個行列式性質可以總結為如下的圖：
習題 2.3
2. (1) $(a + n-1)(a - 1)^{n-1}$，思路為把所有行加到第一行，第一行的每一個元素相同，可以提取出一個倍數$(a+n-1)$，第一行元素全為1，再把所有行減去第一行，因此僅剩右對角線上元素為$a-1$，可得
2. (2) $\left((\sum_{i=1}^na_i)-b\right)(-b)^{(n-1)}$，同上，把所有的列加到第一列
3. (1) 所有列相加得0，所以為0
3. (2) 利用性質7，做列的加減
4. (1) $a_1 - \sum_{i=2}^{n}a_ib_i$，利用性質7做列加減，讓第一列除了第一個元素外其他元素都為0
4. (2) 0，利用性質3，把第一行的每個元素拆分為2個，因此有兩個行列式，發現兩個行列式的除了第一行外都成比例，根據性質6，分別為0。
2.4 行列式按一行(列)展開
定義1：n階行列式$|A|$中，花去第$i$行和第$j$列，剩下的元素按原來次序組成的$n-1$階行列式稱為矩陣$A$的$(i, j)$的余子式，記作$M_{ij}$。令
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
$$
稱為$A_{ij}$是$A$的$(i, j)$的代數余子式。
對于一個$n=3$的矩陣有，$|A| = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$，可以推廣得到
定理1：n階行列式$|A|$等于它的第$i$行元素與自己的代數余子式的乘積之和，即
$$
|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}
$$
定理2：n階行列式$|A|$等于它的第$j$列元素與自己的代數余子式的乘積之和，即
$$
|A| = \sum_{l=1}^{n} a_{lj}A_{lj}
$$
定理3：n階行列式$|A|$的第$i$行元素與第$k$行相應元素的代數余子式的乘積之和等于0，即
$$
a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0，當k\neq i.
$$
定理4：n階行列式$|A|$的第$j$列元素與第$l$列($l \neq j$)相應元素的代數余子式的乘積之和等于0，即
$$
a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+\cdots+a_{nj}A_{nl}=0，當l\neq i.
$$
范德蒙行列式：
$$
\left| \begin{array}{ccccc}{1} & {1} & {1} & {\cdots} & {1} \ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} & {\cdots} & {a_{n}} \ {a_{1}^{2}} & {a_{2}^{2}} & {a_{3}^{2}} & {\cdots} & {a_{n}^{2}} \ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & { } & {\vdots} \ {a_{1}^{n-2}} & {a_{2}^{n-2}} & {a_{3}^{n-2}} & {\cdots} & {a_{n}^{n-2}} \ {a_{1}^{n-1}} & {a_{2}^{r-1}} & {a_{3}^{n-1}} & {\cdots} & {a_{n}^{n-1}}\end{array}\right|
= \prod_{1 \leq j
$$
習題2.4
1. (3) $(\lambda^2+\lambda-10)(\lambda-1)$
2. $-(n-1)!\sum_{i=1}^{n}a_i$ (第一列加到第二列，依次類推，第i列加到第i+1列)
7. $x\left[\sum_{i}^{n-1}(-1)^i(x-y)^{n-1-i}(z-x){i}\right]$
12. 參考例題7的思路：
$$
\begin{align*}
D_{1}&=1+x^{2} \
D_{2}&=\left(1+x^{2}\right)^{2}-x^{2}\
\Rightarrow D_2 - D_1 &= x^4\
\
D_{n}&=\left(1+x^{2}\right) D_{n-1}-x^{2} D_{n-2}\
\Rightarrow D_{n}-D_{n-1} &= x^{2}\left(D_{n-1}-D_{n-2}\right)\
\Rightarrow D_{n}-D_{n-1} &=x^{2(n-2)}\left(D_{2}-D_{1}\right)\
\Rightarrow D_{n}-D_{1}&=\sum_{i=2}^{n} x^{2 i}
\
\Rightarrow D_{n}=1+\sum_{i=1}^{n} x^{2 i}
\end{align*}
$$
13. $\prod_{1 \leq j
2.5 克萊姆法則
定理1：數域$K$上$n$個方程的$n$元線性方程組有唯一解的充分必要條件是它的系數行列式(即系數矩陣$A$的行列式$|A|$)不等于0。
推論1：數域$K$上$n$個方程的$n$元齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是它的系數行列式不等于0.它有非零解的充分必要條件是它的系數行列式等于0。
習題2.5
2. 有唯一解
4. a = 1 或 b = 0
2.6 行列式按k行(列)展開
概念類似于行列式按一行(列)展開。
定義1：$n$階行列式$|A|$中任意取定$k$行、$k$列($1\leq k
定理1(拉普拉斯定理)：在$n$階行列式$|A|$中，取定第$i_1, i_2, \cdots, i_k$行($i_1
$$
|A|=\sum_{1 \leqslant j_{1}
$$
推論1：下式成立：
$$
\left| \begin{array}{ll}{A} & {0} \ {C} & {B}\end{array}\right|=|A||B|
$$
第三章 線性空間
3.1 線性空間的定義
令$K^n:={(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_k \in K, i=1,2,\cdots,n}$ 是數域$K$上的一個線性空間。稱作數域$K$的$n$維空間。
規定：$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \Longleftrightarrow a_i = b_i$
加法：$(a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n)$
數量乘法：$k(a_1, a_2, \cdots, a_n) = (ka_1, ka_2, \cdots, ka_n)$
若對應法則 $f: A \longrightarrow B$，對于每一個$a \in A$都有唯一的$b \in B$，則稱$f$是$A$到$B$的一個映射。其中A為定義域(domain)，B為培域(co-domain)。
$f$的值域或像$f(A):={f(a) | a \in A}$
若$f(A)=B$，則$f$稱為滿射。
若A中不同元素在$f$下的像不同，則稱$f$是單射。
若$f$既是單射，又是滿射，則$f$稱為一個雙射(或一一對應)
$S \times M:={(a, b) | a \in S, b \in M}$稱為$S$與$M$的笛卡爾積。
定義1：非空集合$S$上一個代數運算時指$S\times S$到 $S$的一個映射。
定義3：設$V$是一個非空集合，$K$是一個數域
如果$V$上有一個運算，稱為加法，即$(\alpha, \beta) \rightarrow \alpha + \beta$；
$K$與$V$之間有一個運算稱為數量乘法，即$K\times V \rightarrow V:(k, \alpha)\rightarrow k\alpha$.
且滿足如下8條運算法則：
$\alpha + \beta = \beta + \alpha, \forall \alpha, \beta \in V$
$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma), \forall \alpha, \beta, \gamma \in V$
把元素(0, 0, ..., 0)記作0, 它使得 $\textbf{0} + \alpha = \alpha + \textbf{0} = \alpha$
$\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=0$，稱$-\alpha$是$\alpha$的負元素。
$1\alpha=\alpha, \forall \alpha \in V$
$(kl)\alpha=k(l\alpha), \forall k, l \in K, \alpha \in V$
$(k+l)\alpha=k\alpha + l\alpha, \forall k, l \in K, \alpha \in V$
$k(\alpha + \beta)=k\alpha + k\beta, \forall k \in K, \alpha, \beta \in V$
$\mathbb{R}^X:={$非空集合$X$到$\mathbb{R}$的映射$}$，定義為$X$上的一個實值函數。
規定:
$(f+g)(x):=f(x)+g(x), \forall x \in X$;
$(kf)(x) := kf(x), \forall x \in X$.
零函數 $0(x)=0, \forall x \in X$.
運算性質：
設$V$是數域$K$上的一個線性空間，$V$的零元唯一。
每個$\alpha \in V$的負元唯一。
$0\alpha=0, \forall \alpha \in V$
$k0=0, \forall k \in K$
若$k \alpha=0$，則$k=0$或$\alpha=0$。
$(-1)\alpha=-\alpha$
習題3.1
1. (1)[0 0 0 0]T (2)[0 0 0 0]0
2. (-21 7 15 13)
3. (2)不能
6. 加法和乘法后仍屬于$U$
7. 是
3.2 線性子空間
這部分內容對應下冊8.2節
定義：設$V$是數域$K$上的一個線性空間。$U$是$V$的一個非空子集。如果$U$對于$V$的加法和數量乘法也稱為數域$K$上的一個線性空間，那么稱$U$是$V$的一個線性子空間。
定理1：設$U$是域$F$上線性空間$V$的一個非空子集，則$U$是$V$的一個子空間的充分必要條件是：$U$對于$V$的加法和純量乘法都封閉，即
$\alpha, \beta \in U \Rightarrow \alpha + \beta \in U$
$\alpha \in U, k \in F \Rightarrow k \alpha \in U$
在$K^n$中，給定向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$, $\beta \in K^n \Leftrightarrow$存在$K$中一組數$l_1, l_2, \cdots, l_s$，使得$\beta = l_1\alpha_1 + \cdots + l_s\alpha_s$，此時稱$\beta$可以由向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$線性表出。
數域$K$上的$n$元線性方程組
$$
\left{\begin{array}{l}{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}} \ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}} \ {\cdots} \ {a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}}\end{array}\right.
$$
可以寫成$x_{1} \boldsymbol{\alpha}{1}+x{2} \boldsymbol{a}{2}+\cdots+x{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\beta}$，其有解
$\Longleftrightarrow$有$K$種一組數$c_1, c_2, \cdots, c_n$使得下式成立：
$$
c_{1} \boldsymbol{a}{1}+c{2} \boldsymbol{a}{2}+\cdots+c{n} \boldsymbol{a}{n}=\boldsymbol{\beta}
$$
$\Longleftrightarrow \beta$可以由$\boldsymbol{\alpha}{1}, \boldsymbol{\alpha}{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}{n}$線性表出。
習題8.1
1. (1) Yes (2) Yes (3) Yes (4) No (5) Yes
2.
3. (1) Yes (2) Yes (3) Yes
7.
8. 線性相關
9. (1)相關：$cos2x = 2cos^2x-1$(2)相關：$cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cosx$ (3)無關 (4) 有關 (5) 有關 (6)有關 (7)有關
習題 8.2
(1) 不是，例如 (1, ..., 1)、(-1, ..., 1)的和即不符合(2) 是
3.3 線性相關與線性無關的向量組
視頻23，對應教材3.2節
$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$共線 $\Longleftrightarrow$ 有不全為0的實數$k_1$, $k_2$使得 $k_1\overrightarrow{c}+k_2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$；
$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$不共線 $\Longleftrightarrow$ $k_1\overrightarrow{c}+k_2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ 可推出$k_1$, $k_2=0$。
定義1：設$V$是數域$K$上的一個線性空間，$V$中的一個向量組$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s (S \geq 1)$，如果有$K$中不全為0的書$k_1, \cdots, k_s$，使得
$$
k_{1} \boldsymbol{\alpha}{1}+\cdots+k{s} \boldsymbol{\alpha}{s}=\mathbf{0}
$$
則稱向量組$\boldsymbol{\alpha}{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}(s \geqslant 1)$線性相關(否則稱線性無關)
$\Longleftrightarrow$ 齊次線性方程組 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}{1}+\cdots+x{s} \boldsymbol{a}_{s}=\mathbf{0}$ 有非零解。
$\Longleftrightarrow$以$\alpha_1, \cdots, \alpha_n$為列向量的矩陣$A$的行列式等于0。
$K^s$中，列向量方程組$\alpha_1, \cdots, \alpha_n$線性無關
$\Longleftrightarrow$ 線性方程組$x_{1} \boldsymbol{\alpha}{1}+\cdots+x{s} \boldsymbol{a}_{s}=\mathbf{0}$ 只有零解。
設$V$施數域$K$上的一個線性空間：
$\alpha$線性相關$\Longleftrightarrow$有$k \neq 0$使得$k\alpha=0$ $\Longrightarrow \alpha=0$
$\alpha$線性無關$\Longleftrightarrow \alpha \neq 0$
向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$如果有一個部分組線性相關，那么$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性相關。從而，如果$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性無關，任何一個部分組都線性無關。
凡是含有$0$的向量組，都是線性相關。
向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s} (s \ge 2)$線性相關$\Longleftrightarrow$其中至少有一個向量可以由其余的向量線性表出。
證明：有$K$中不全為0的數$k_1, \cdots, k_s$，使得$k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$，設$k_i \neq 0$，由(1)式得$\alpha_i=-\frac{k_1}{k_i}\alpha_1-\cdots-\frac{k_{i-1}}{k_i}\alpha_{i-1}-\frac{k_{i+1}}{k_i}\alpha_{i-1}-\cdots-\frac{k_{s}}{k_i}\alpha_{s}$
向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s} (s \ge 2)$線性無關$\Longleftrightarrow$每一個向量不可以由其余的向量線性表出。
命題1：設$\beta$可以由$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性表出，則表出方式唯一$\Longleftrightarrow$$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性無關。
命題2：設$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性無關，$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}, \beta$線性相關$\Longleftrightarrow$設$\beta$可以由$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性表出。
習題 3.2
1. (1) No (2) No (3) Yes
2. (2) 線性相關，行列式為0
5. 線性無關，行列式不為0
9.行列式為23
12. 范德蒙行列式 $\prod_{1 \leq j
3.4 極大線性無關組和向量組的秩
視頻25第20分鐘起
$={k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s|k_i \in K, i=1,\cdots,s}$
當$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性相關時
定義1：向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的一個部分組稱為，這個向量組的一個極大線性無關組，如果滿足：
這個部分組線性無關；
從向量組的其余向量(如果有的話)中，任取一個添進來，得到的新的部分組都線性相關。
定義3：向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的任意一個極大線性無關組所含向量的個數稱為向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的秩。記作：
$rank{\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}}$
只含0向量的向量的秩為0。
命題3：向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性無關$\Longleftrightarrow$那么$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$是向量$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的一個極大線性無關組。$\Longleftrightarrow$$rank{\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}} = s$。
命題4：若向量組($I$)可以由向量組($II$)線性表出，則$rank(I) \leq rank(II)$
推論4：等價的向量組有相等的秩。
3.5 基與維數
設$V$是數域$K$上的線性空間。
定義1：$V$的一個有限子集${\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}}$線性相(無)關$\Longleftrightarrow$$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性相(無)關。
$V$的一個無限子集$S$線性無關$\Longleftrightarrow$$S$有一個有限子集線性無關$\Longleftrightarrow$$V$的無線子集$S$線性無關。$\Longleftrightarrow$$S$任意一個有限子集線性無關。
空集$\phi$定義為線性無關。
定義2：設$V$是數域$K$上的線性空間，$V$的一個子集$S$如果滿足下述兩個條件：
$S$是線性無關的
$V$中任意一個向量可以由$S$中的向量線性表出
則稱$S$是$V$的一個基。
在定義2中，如果$S={\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}}$，則向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$是$V$的一個有序基。
${0}$的一個基規定為$\phi$(空集)。
定理1：任何一個數域上的任一個線性空間$K^n$都有一個基。
定義3：若$V$有一個基是有限子集，則稱$V$是有限維的。若$V$有一個基是無限子集，則稱$V$是無限維的。
定理2：若$V$是有限維的，則$V$的任意兩個基所含向量的個數相等。
定義4：$K^n$的非零子空間$U$的一個基所含向量的個數稱為$U$的維數，記作$\mathbb{dim}_kU$。
幾何空間中三個不共面向量是一個基，從而集合空間是三維的。
命題2：如果$\mathbb{dim} V=n$，則$V$中任意$n$個線性無關的向量都是$V$的一個基。
命題3：設$\mathbb{dim} V=n$，若$V$中每一個向量可以由向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{n}$線性表出，$\alpha_1, \cdots, \alpha_n$是$V$的一個基。
命題4：設$\mathbb{dim} V=n$，則$V$中任意一個線性無關的向量組都可以擴充成$V$的一個基。
習題3.3
${\alpha_1, \alpha_2}$, $rank{\dots}=2$.
${\alpha_1, \alpha_3}$, $rank{\dots}=2$.
(1) $det([3,-1],[4,3]) != 0$ (2) ${\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4}$
設向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的一個極大線性無關組(不妨設)為：$\alpha_1, \cdots, \alpha_{m} (m \leq s)$。
由于$\alpha_j=0\alpha1+\cdots+0\alpha_{j-1}+1\alpha_j+0\alpha_{j+1}+\cdots+0\alpha_s$。因此，$\alpha_1, \cdots, \alpha_{m}$中的每一個向量都可以由向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性表出。
反之，$\alpha_j (1 \leq i \leq M)$，可由$\alpha_1, \cdots, \alpha_{m}$線性表出。對于$\alpha_j (M < i \leq s)$ ，根據定義，$\alpha_1, \cdots, \alpha_{m}, \alpha_j$是線性相關。因此，可由可由$\alpha_1, \cdots, \alpha_{m}$線性表出(根據上一節的命題2)。
定義2：若向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$中的每一個向量都可以由向量組$\beta_1, \cdots, \beta_{r}$線性表出，則稱$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$可由$\beta_1, \cdots, \beta_{r}$線性表出。若向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$與$\beta_1, \cdots, \beta_{r}$可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。
命題1：向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$與它的任意一個極大線性無關組等價。
向量組的等價具有性質：
每一個向量組與自身等價(反身性)
若$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s} \cong \beta_1, \cdots, \beta_{r}$，那么$\beta_1, \cdots, \beta_{r} \cong \alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$(對稱性)
$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s} \cong \beta_1, \cdots, \beta_{r}$，$\gamma_1, \cdots, \gamma_{s} \cong \beta_1, \cdots, \beta_{r}$，那么$\gamma_1, \cdots, \gamma_{s} \cong \alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$(傳遞性)
命題2：向量組$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$的任意兩個個極大線性無關組等價。
引理1：設$\beta_1, \cdots, \beta_{r}$可由$\alpha_1, \cdots, \alpha_{s}$線性表出，如果$r > s$，那么$\beta_1, \cdots, \beta_{r}$線性相關。
定義5：設$V$是數域$K$上的線性空間，$V$的一個非空子集$S$如果滿足兩個條件：
$S$線性無關，
對于$\beta \notin S$(若有的話)，有$S \cup{\beta}$線性相關，那么$S$是$V$的一個極大線性無關集。
當$V \notin {0}$，$S$是$V$的一個基 $\Longleftrightarrow$ $S$是$V$的一個極大線性無關集。
命題6：$={k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s|k_1,\dots,k_s \in K}$,則$\alpha_1, \dots, \alpha_s$的一個極大線性無關組是$$的一個基，從而$dim = Rank{\alpha_1, \dots, \alpha_s}$。
命題7：$= \Longleftrightarrow {\alpha_1, \dots, \alpha_s} \cong {\beta_1, \dots, \beta_r}$。
對于一個矩陣$A$，有
列秩等于列空間的維度，$rank{\alpha_1, \dots, \alpha_n} = dim$；
行秩等于行空間的維度，$rank{\gamma_1, \dots, \gamma_n}=dim$。
數域$K$上$S \times n$階梯矩陣$J$，設$J$的非零行的個數為$r$，從而$J$有$r$個主元。
$$J=\left(\begin{array}{cccccc}
{0} & \cdots & {c_{1j_1}} & \cdots & {c_{1j_2}} & {\dots} & {c_{1, j_{r}}} & \cdots & {c_{1 n}} \
{0} & \cdots & {0} & \cdots & {c_{23}} & {\dots} & {c_{2,n-1}} & \cdots & {c_{2 n}} \
{\vdots} & \cdots & {\vdots} & \cdots & {\vdots} & \cdots & {\vdots} & \cdots & {\vdots} \
{0} & \cdots & {0} & \cdots & {0} & {\cdots} & {0} & \cdots & {c_{n-1, n}} \
{0} & \cdots & {0} & \cdots & {0} & {\cdots} & {0} & \cdots & {0}\end{array}\right)$$
列向量表示為$\alpha_1, \dots, \alpha_{j_1}, \dots, \alpha_{j_2}, \dots, \alpha_{j_r}, \dots, \alpha_{n}$；行向量表示為$\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{r}$。
對于主元構成的列向量組，組成的矩陣式上三角矩陣，因此這些向量組線性無關。
它們的延伸組$\alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \dots, \alpha_{j_r}$也線性無關，從而$rank{\alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \dots, \alpha_{j_r}}=r$。
考慮集合
$$U=
\begin{Bmatrix}
\left.
\begin{pmatrix}
a_1\
\vdots\
a_r\
0\
\vdots\
0
\end{pmatrix} \right| a_1, \dots, a_r \in K
\end{Bmatrix} \subseteq K^s$$
對于其中的每個向量，可以表示為 $a_1\epsilon_1+\dots+a_r\epsilon_r$，那么$U$的一個基是$\epsilon_1, \dots, \epsilon_r$，從而$\mathbb{dim}U = r$。
3.6 矩陣的秩
定理1：階梯型矩陣$J$的行秩和列秩相等，它們都等于$J$的非零行個數；并且$J$的主元所在的列構成列向量組的一個極大線性無關組。
定理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。
定理3：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量的線性相關性，從而不改變矩陣的秩。即
設矩陣$C$經過初等行變換變成矩陣$D$，則$C$的列向量組線性相關當且僅當$D$的列向量組線性相關；
設矩陣$A$經過初等行變換變成矩陣$B$，并且設$B$的第$j_1, j_2, \dots, j_r$列構成$B$的列向量組的一個極大線性無關組，則$A$的第$j_1, j_2, \dots, j_r$列構成$A$的列向量的一個極大線性無關組；從而$A$的秩等于$B$的秩。
定理4：任意矩陣的行秩等于它的列秩。
定義1：矩陣$A$的行秩與列秩統稱為$A$的秩。
推論1：設矩陣$A$經過初等行變換化成階梯矩陣$J$，則$A$的秩等于$J$的非零行個數。設$J$的主元所在的列示第$j_1, \dots, j_r$列，則$j_1, \dots, j_r$列構成$A$的列向量組的一個極大線性無關組。
矩陣轉置不改變其秩：$$\mathtt{rank}(A)=\mathtt{rank}(A')$$
推論2：矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。
定理5：任一非零矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數。
推論3：設$s \times n$矩陣$A$的秩為$r$，則$A$的不等于零的$r$階子式所在的列(行)構成$A$的列(行)向量組的一個極大線性無關組。
滿秩矩陣：矩陣的秩等于級數時，其為滿秩矩陣。
推論1：$n$級矩陣$A$滿秩的充分必要條件是$|A| \neq 0$。
3.7 線性方程組有解的判別
定理1(線性方程組有解判別定理)：數域$K$上線性方程組有解的充要條件是：它的系數矩陣與增廣矩陣的秩相等。
定理2：數域$K$上$n$元線性方程組有解時：
如果系數矩陣$A$的秩等于$n$，那么方程組有唯一解；
如果$A$的秩小于$n$，那么方程組有無窮多個解。
3.8 齊次線性方程組解集的結構
數域$K$上的$n$元齊次線性方程組
$$
x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=0 \tag{1}
$$
的解集記作$W$。
設(1)有非零解，$W \subseteq K^n$
性質1：若$\gamma, \delta \in \boldsymbol{W}$，則$\gamma + \delta \in W$。
性質2：若$\gamma \in \boldsymbol{W}, k \in K$，則$k\gamma\in W$。
因此，齊次線性方程組的解集$W$是$K^n$的一個子空間，稱它為方程組(1)的解空間。
如果方程組的系數矩陣A的秩等于n，那么W={0}。
如果$\mathtt{rank}(A) < n$，那么$W$是非零子空間，此時把解空間$W$的一個基稱為齊次線性方程組的一個基礎解系。
定義1：齊次線性方程組有非零解時，如果它的有限多個解${\eta}{1}, {\eta}{2}, \cdots, {\eta}_{t}$滿足：
${\eta}{1}, {\eta}{2}, \cdots, {\eta}_{t}$線性無關
齊次線性方程組的每個解都可以由${\eta}{1}, {\eta}{2}, \cdots, {\eta}_{t}$線性表出。
那么${\eta}{1}, {\eta}{2}, \cdots, {\eta}_{t}$是齊次線性方程組的一個基礎解系。
定理1：數域$K$上$n$元齊次線性方程組的解空間W的維數為$\mathtt{dim} W = n - \mathtt{rank}(A)$。
3.9 非齊次線性方程組的解集結構
數域$K$上的$n$元齊次線性方程組
$$
x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1}
$$
的解集定義為$U$。上述非齊次方程組的導出組為：
$$
x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n = 0 \tag{2}
$$
的解空間記作$W$。
性質1：若$\gamma, \delta \in \boldsymbol{W}$，則$\gamma - \delta \in W$。
性質2：若$\gamma \in \boldsymbol{U}, \eta \in \boldsymbol{W}$，$\gamma=(a_1, \dots, a_n)', \eta=(c_1, \dots, c_n)'$, 則$\gamma + \eta \in \boldsymbol{U}$。
定理1：如果數域$K$上$n$元非齊次方程組(1)有解，那么它的解集$U$為：
$$
U = {\boldsymbol{\gamma}_0 + \boldsymbol{\eta} | \boldsymbol{\eta} \in W}
$$
其中$\eta_0$是非齊次線性方程組(1)的一個解(稱為特解)，$W$是方程組(1)的導出組的解空間。
3.10 子空間的運算
見教材下冊 8.2
定理1：設$V_1$與$V_2$都是V的子空間，則$V_1 \cap V_2$也是$V$的子空間。
多個子空間的交：
$$
V_1 \cap V_2 \cap \cdots \cap V_s
$$
記作$\bigcap_{i=1}^{s}$，其也是$V$的一個子空間。
但注意，并集$\cup$運算后的空間不是子空間，因為不滿足加法封閉。
可參考線性子空間的定義：3.2 線性子空間
定理2：設$V_1$與$V_2$都是V的子空間，則$V_1 + V_2$也是$V$的子空間，稱為子空間的和。
命題1：設$V_1, V_2, V_3$都是域$F$上線性空間$V$的子空間，則
$$
V_1 \cap (V_2 + V_3) \supseteq (V_1 \cap V_2) + (V_1 \cap V_3),\
V_1 + (V_2 \cap V_3) \subseteq (V_1 + V_2) \cap (V_1 + V_3)
$$
命題2：設$\alpha_1, \dots, \alpha_s$和$\beta_1, \dots, \beta_s$是域$F$上線性空間$V$的兩個向量組，則
$$
+ =
$$
定理4(子空間的維數公式)：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的有限子空間，則$V_1 \cap V2， V_1+V_2$也是有限維的，并且
$$
\dim V_1 + \dim V_2 = \dim(V_1 + V_2) + \dim(V_1 \cap V_2)
$$
推論1：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的有限子空間，則
$$
\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 \Longleftrightarrow V_1 \cap V_2 = 0
$$
子空間的直和
定義1：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的有限子空間，如果$V_1 + V_2$中每個向量$\alpha$都可以唯一的表示為
$$
\alpha = \alpha_1 + \alpha_2, \quad \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2,
$$
那么和$V_1 + V_2$稱為**直和，記作$V_1 \bigoplus V_2$。稱$V_1$為$V_2$的一個補空間**，反之亦然。
定理5：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的有限子空間，則下述命題互相等價：
和$V_1 + V_2$是直和；
和$V_1 + V_2$中零向量的表法唯一；
$V_1 \cap V_2 = 0$
設有$V1$的基$S_1$和$V2$的基$S_2$，如果任何一個$S_1 \cup S_2$的子集線性無關，那么$S_1 \cup S_2$線性無關。
定理6：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的有限維子空間，則下述命題互相等價：
和$V_1 + V_2$是直和；
$\dim (V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$；
$V_1$的一個基與$V_2$的一個基合起來是$V_1 + V_2$的一個基。
命題3：設$V$是域$F$上的n維線性空間，則$V$的每一個子空間$U$都有補空間。
定理7：設$V_1, V_2$都是域$F$上線性空間$V$的無限維子空間，則下述命題互相等價：
和$V_1 + V_2$是直和；
$V_1$的一個基與$V_2$的一個基合起來是$V_1 + V_2$的一個基。
命題4：設$V$是域$F$上的無線維線性空間，則$V$的每一個子空間$U$都有補空間。
定義2：設$V_1, V_2, \cdots, V_s$都是域$F$上線性空間$V$的子空間，如果$V_1 + V_2 + \cdots + V_s$中每個向量$\alpha$都可以唯一的表示為
$$
\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_s, \quad \alpha_i \in V_i, i=1, 2, \cdots, s,
$$
那么和$V_1 + V_2 + \cdots + V_s$稱為**直和**，記作$V_1 \bigoplus V_2 \bigoplus \cdots \bigoplus V_s$或$\bigoplus_{i=1}^s V_i$。
定理8：設$V_1, V_2, \cdots, V_s$都是域$F$上線性空間$V$的子空間，則下述命題互相等價：
和$V_1 + V_2 + \cdots + V_s$是直和；
和$\sum^s_{i=1} V_i$中零向量的表法唯一；
$V_i \cap (\sum_{j \neq i} V_j) = 0, i \neq 1,2,\cdots,s$。
定理9：設$V_1, V_2, \cdots, V_s$都是域$F$上線性空間$V$的有限維子空間，則下述命題互相等價：
和$V_1 + V_2 + \cdots + V_s$是直和；
$\dim (V_1 + V_2 + \cdots + V_s) = \dim V_1 + \dim V_2 + \cdots + \dim V_s$；
$V_1$的一個基，$V_2$的一個基，$\cdots$，$V_s$的一個基，合起來是$V_1 + V_2 + \cdots + V_s$的一個基。
3.11 線性空間的同構
設$V_1$和$V'$都是數域$K$上的線性空間，如果$V$到$V'$有一個雙射$\sigma$，并且滿足：
保持加法運算：$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
保持加法數乘：$\sigma(k\alpha) = k \sigma(\alpha)$
那么稱$\sigma$是$V$到$V'$的一個同構映射，此時稱呼$V$與$V'$是同構的，記作$V \cong V'$。
設$\sigma$是$V$到$V'$的一個同構映射，那么有：
性質1：$\sigma(0) = 0'$
性質2：$\sigma(-\alpha) = -\sigma(\alpha), \quad \forall \alpha \in V$
性質3：對于$V$中任一向量組$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$，$F$中任意一組元素$k_1, k_2, \cdots, k_s$，有
$$
\alpha(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s) = k_1\sigma(\alpha_1)+\cdots+k_s\sigma(\alpha_s)
$$
性質4：$V$中的向量組$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$線性相關當且僅當$\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_s)$是$V'$中線性相關的向量組。
性質5：如果$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$是$V$的一個基，那么$\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_s)$是$V'$的一個基。
定理1：域$F$上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們的維數相等。
推論1：數域$K$上任何一個$n$維的線性空間$V$與$K^n$同構。
命題1：設$\sigma$是域$F$上線性空間$V$到$V'$的一個同構映射，如果$U$是$V$的一個子空間，那么$\sigma(U)$是$V'$的一個子空間；如果$U$是有限維的，那么$\sigma(U)$也是有限維的，并且$\dim \sigma(U) = \dim U$。
3.12 映射的乘法，可逆映射
定義1(映射的乘法)：設$f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$，令$(gf)(a) := g(f(a)), \forall a \in A$，則稱$gf$為$g$與$f$的乘法。
可以理解為相繼做了兩次映射(或合成)
$h(gf) = (hg)f$
定義2(恒等變換)：線性空間$V$上的任意向量$\alpha$均映射成自身，那么這一線性變換為恒等變換，記作$I$。
命題1：假設$f: A \rightarrow B$，則$f I_A = f, I_B f = f$
可以理解恒等變換類似實數1，和任何數相乘仍為此數
定義3：設$f: A \rightarrow B$，如果存在$g: B \rightarrow A$，使得$gf = I_A$，且$fg=I_B$，那么稱$f$是可逆映射，把$g$稱為$f$的逆映射。
若$f$可逆，則$f$的逆映射唯一，把$f$的逆映射記作$f^{-1}$，此時有
$$
f^{-1}f = I_A, ff^{-1} = I_B
$$
因此$f^{-1}$也是可逆映射，并且$(f^{-1})^{-1} = f$。
定理1：$f: A \rightarrow B$是可逆映射 $\Longleftrightarrow$ $f$是雙射(單射+滿射)。
可以根據可逆映射的概念來理解，可逆且唯一
3.13 集合的劃分，等價關系
定義1：如果集合$S$是它的一些非空子集的并集，其中每兩個不相等的子集的交是空集(稱為不相交)，那么把這些子集組成的集合稱為$S$的一個劃分。
這里舉了個例子：日期以星期幾作為一個劃分
探索集合的劃分
a與b在同一個子集 $\Longleftrightarrow$ a與b模T同余，記作$a \equiv b \quad(\text{mod } T)$。
a與b模T同余$\Longleftrightarrow$$(a, b) \in (H_0 \times H_0)\cup(H_1 \times H_1)\cup \cdots \cup(H_6 \times H_6)$
定義2：設$S$是一個非空集合，$S \times S$的一個子集$W$稱為$S$上的二元關系：
若$(a, b) \in W$，則稱a與b有W關系，記作$a \widetilde{w} b$，或$a \sim b$；
若$(a, b) \notin W$，則稱a與b沒有W關系；
定義3：$S$上的一個二元關系$\sim$如果滿足如下性質：
$a \sim a, \forall a \in S$(反射性)
若$a \sim b$，則$b \sim a$(對稱性)
若$a \sim b$且$b \sim c$，則$a \sim c$(傳遞性)
那么稱$\sim$是S上的等價關系。
定義4：設$\sim$是S上的一個等價關系，任給$a \in S$，令$\bar{a} := {x \in S | x \sim a}$，則把$\bar{a}$稱為$a$的等價類。
由于$a \sim a$，因此$a \in \bar{a}$，把$a$稱為$\bar{a}$的一個代表。
性質1：$\bar{a} = \bar{b} \Longleftrightarrow a \sim b$。
性質2：若$\bar{a} \neq \bar{b}$，則$\bar{a} \cap \bar{b} = \phi$。
定理1：如果集合$S$上有一個等價關系，那么所有等價類組成的集合是$S$的一個劃分。
$U_{a \in S} \bar{a} := {x \in S| \exist c \in S, x \in \bar{c}}$
線性空間同構是一個等價關系。
3.14 商集
定義1：集合S的一個劃分也稱為S的一個商集。
定理1：設V是n維線性空間，W是V的一個子空間，
定理2：如果V/W的一個基為$\beta_1+W, \cdots, \beta_t+W$，令$U=$，則$V=W \bigoplus U$，且$\beta_1, \cdots, \beta_t$是$U$的一個基。
第四章 矩陣的運算
4.1 矩陣的運算
兩個矩陣相等 <==> 行數、列數和對應的元素相等。
定義1(矩陣加法)：設$A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$都是數域$K$上的$s\times n$矩陣，令
$$
C=(a_{ij} + b_{ij})_{s\times n}
$$
則稱矩陣$C$是矩陣$A$和$B$的和，記作$C=A+B$。
定義2(數量乘積)：設$A=(a_{ij})$是數域$K$上的$s\times n$矩陣，$k\in K$，令
$$
M=(ka_{ij})_{s\times n}
$$
稱矩陣$M$是$k$與矩陣$A$的數量乘積，記作$M=kA$。
定義3(矩陣乘法)：設$A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$都是數域$K$上的$s\times n$矩陣，令
$$
C=(a_{ij} + b_{ij}){s\times n}
$$
其中
$$
c{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum^{n}{k=1}a{ik}b_{kj}
$$
其中$i=1,2,\cdots,s; j=1,2,\cdots,m$。則稱矩陣$C$是矩陣$A$和$B$的乘積，記作$C=AB$。
定律
結合律：$(AB)C = A(BC)$
分配律：$A(B+C)=AB+AC$
單位矩陣：對角線的元素為1，其他為0，記作$I$，$IA=AI=A$
矩陣乘法與數量乘法：$k(AB)=(kA)B=A(kB)$
矩陣轉置
$(A+B)'=A'+B'$
$(kA)'=kA'$
$(AB)'=B'A'$
若$AB = C$，則$C$可由$A$線性表出，$Rank(AB) \le Rank(A)$。
4.2 特殊矩陣
對角矩陣：除對角線以外的所有元素全為0，記作$\text{diag}{d_1, d_2, \cdots, d_n}$。
基本矩陣：只有一個元素是1，其余元素全為0。
上(下)三角矩陣：主對角線下(上)的元素全為0。
兩個n級上三角矩陣A與B的乘積仍為上三角矩陣，并且AB的主對角線元等于A與B的相應主對角元的乘積。
初等矩陣：由單位矩陣經過一次初等行(列)變換得到的矩陣為初等矩陣。
定理1：初等矩陣左(右)乘一個矩陣A，就相當于A作了一次相應的初等行(列)變換。
對稱矩陣：如果一個矩陣滿足$A' = A$，那么為對稱矩陣
斜對稱矩陣：如果一個矩陣滿足$A' = -A$，那么為斜對稱矩陣
4.3 可逆矩陣
定義1：設$A \in M_n(K)$，如果存在$B \in M_n(K)$，使得
$$
AB=BA=I
$$
那么稱$A$是可逆矩陣，$B$稱為$A$的可逆矩陣。
把$A$的逆矩陣記作$A^{-1}$。
矩陣$A$可逆的必要條件是$|A| \neq 0$，滿秩$Rank(A)=n$。
伴隨矩陣：對于$A$有$AA^=|A|I$，那么$A^$為$A$的伴隨矩陣。
因此有
$$
A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*
$$
逆矩陣性質：
初等矩陣都可逆
單位陣可逆，$I^{-1} = I$
如果$A$可逆，那么$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1} = A$
如果n級矩陣A、B可逆，那么$AB$也可逆，并且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A')^{-1}=(A^{-1})'$
矩陣$A$可逆的充要條件是它可以表示成一些初等矩陣的乘積
用一個可逆矩陣左(右)乘一個矩陣$A$，不改變$A$的秩
一種求逆矩陣的方法，初等變換法
4.4 矩陣的分塊
分塊矩陣的初等行(列)變換不改變矩陣的秩。
4.5 矩陣乘積的行列式
定理1：$rank(AB) \le \min{rank(A), rank(B)}$
定理2：設$A=(a_{ij}){n\times n}, B=(b{ij})_{n\times n}$，則
$$
|AB|=|A||B|
$$
第五章 一元多項式
5.1 一元多項式
參考
總結
以上是生活随笔為你收集整理的python123高次方程求根_GitHub - loveunk/math-advanced-algebra-notes: 根据丘维声的《高等代数》整理...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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