母函数算法入门
在數(shù)學(xué)中，某個序列的母函數(shù)(Generatingfunction，又稱生成函數(shù))是一種形式冪級數(shù)，其每一項的系數(shù)可以提供關(guān)于這個序列的信息。使用母函數(shù)解決問題的方法稱為母函數(shù)方法。
母函數(shù)可分為很多種，包括普通母函數(shù)、指數(shù)母函數(shù)、L級數(shù)、貝爾級數(shù)和狄利克雷級數(shù)。對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數(shù)。構(gòu)造母函數(shù)的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函數(shù)視乎序列本身的特性和問題的類型。
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這里先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：
1.“把組合問題的加法法則和冪級數(shù)的乘冪對應(yīng)起來”
2.“母函數(shù)的思想很簡單 —就是把離散數(shù)列和冪級數(shù)一一對應(yīng)起來，把離散數(shù)列間的相互結(jié)合關(guān)系對應(yīng)成為冪級數(shù)間的運算關(guān)系，最后由冪級數(shù)形式來確定離散數(shù)列的構(gòu)造. “
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我們首先來看下這個多項式乘法：
母函數(shù)圖(1)
由此可以看出:
1.x的系數(shù)是a1,a2,…an的單個組合的全體。
2. x^2的系數(shù)是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。
………
n. x^n的系數(shù)是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。
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進(jìn)一步得到：
母函數(shù)圖(2)
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母函數(shù)的定義
對于序列a0，a1，a2，…構(gòu)造一函數(shù)：
母函數(shù)圖(3)
稱函數(shù)G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函數(shù)。
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這里先給出2個例子，等會再結(jié)合題目分析：
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第一種：
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？
考慮用母函數(shù)來解決這個問題：
我們假設(shè)x表示砝碼，x的指數(shù)表示砝碼的重量，這樣：
1個1克的砝碼可以用函數(shù)1+1*x^1表示，
1個2克的砝碼可以用函數(shù)1+1*x^2表示，
1個3克的砝碼可以用函數(shù)1+1*x^3表示，
1個4克的砝碼可以用函數(shù)1+1*x^4表示，
上面這四個式子懂嗎？
我們拿1+x^2來說，前面已經(jīng)說過，x表示砝碼，x的指數(shù)表示砝碼的重量！初始狀態(tài)時，這里就是一個質(zhì)量為2的砝碼。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其實應(yīng)該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數(shù)量為0個。
所以這里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態(tài)，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2
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不知道大家理解沒，我們這里結(jié)合前面那句話：
“把組合問題的加法法則和冪級數(shù)的乘冪對應(yīng)起來“
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接著討論上面的1+x^2，這里x前面的系數(shù)有什么意義？
這里的系數(shù)表示狀態(tài)數(shù)(方案數(shù))
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態(tài)；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態(tài)。(分析！)
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所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？
幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函數(shù)的乘積表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 +2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
從上面的函數(shù)知道：可稱出從1克到10克，系數(shù)便是方案數(shù)。（！！！經(jīng)典！！！）
例如右端有2^x^5項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案數(shù)有2種，稱出10克的方案數(shù)有1種。
接著上面，接下來是第二種情況：
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第二種：
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數(shù)值的方案數(shù)：
大家把這種情況和第一種比較有何區(qū)別？第一種每種是一個，而這里每種是無限的。
母函數(shù)圖(4)
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以展開后的x^4為例，其系數(shù)為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數(shù)為4；
即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
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這里再引出兩個概念"整數(shù)拆分"和"拆分?jǐn)?shù)"：
所謂整數(shù)拆分即把整數(shù)分解成若干整數(shù)的和（相當(dāng)于把n個無區(qū)別的球放到n個無標(biāo)志的盒子，盒子允許空，也允許放多于一個球）。
整數(shù)拆分成若干整數(shù)的和，辦法不一，不同拆分法的總數(shù)叫做拆分?jǐn)?shù)。
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現(xiàn)在以上面的第二種情況每種種類個數(shù)無限為例，給出模板：
[cpp] view plain copy
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我們來解釋下上面標(biāo)志的各個地方：(***********！！！重點！！！***********)
①?、首先對c1初始化，由第一個表達(dá)式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把質(zhì)量從0到n的所有砝碼都初始化為1.
②?、 i從2到n遍歷，這里i就是指第i個表達(dá)式，上面給出的第二種母函數(shù)關(guān)系式里，每一個括號括起來的就是一個表達(dá)式。
③、j從0到n遍歷，這里j就是(前面i個表達(dá)式累乘的表達(dá)式)里第j個變量，(這里感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤，大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系數(shù)，i=2執(zhí)行完之后變?yōu)?/span>
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應(yīng)該指示的是合并后的第一個括號的四個變量的系數(shù)。
④、 k表示的是第j個指數(shù)，所以k每次增i（因為第i個表達(dá)式的增量是i）。
⑤?、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從一個表達(dá)式中開始的。
咱們趕快趁熱打鐵，來幾道題目：
（相應(yīng)題目解析均在相應(yīng)的代碼里分析）
1.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=587
這題大家看看簡單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!
看看這題：
2.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=590
要說和前一題的區(qū)別，就只需要改2個地方。 在i遍歷表達(dá)式時（可以參考我的資料—《母函數(shù)詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數(shù)時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~
3.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=592
這題終于變化了一點，但是萬變不離其中。
大家好好分析下，結(jié)合代碼就會懂了。
4.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代碼：http://www.wutianqi.com/?p=594
還有一些題目，大家有時間自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
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附：
1.在維基百科里講到了普通母函數(shù)、指數(shù)母函數(shù)、L級數(shù)、貝爾級數(shù)和狄利克雷級數(shù)：
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函數(shù)：
http://www.matrix67.com/blog/archives/120
3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函數(shù)那篇，我這里的圖片以及一些內(nèi)容都引至那。
如果大家有問題或者資料里的內(nèi)容有錯誤，可以留言給出，博客: http://www.wutianqi.com/
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總結(jié)
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