生成函數生成果，生成數下你和我。
生成函數太美妙，蒟蒻一看被難倒。
$\mathcal{B}y——\mathcal{C}halotto$

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目錄

• 生成函數
• • 概念
  • 普通型生成函數
  • 指數型生成函數
  • 例子
  • 經典題目
  • • 1、求 Fibonacci 通項公式

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生成函數

概念

*度娘定義：

生成函數又叫 母函數 ( 個人不太喜歡這個叫法 )，是組合數學中尤其是計數方面的一個重要理論和工具。
生成函數分為 普通型生成函數 和 指數型生成函數 兩種，前者使用較多。形式上說，普通型生成函數用于解決多重集的組合問題，而指數型母函數用于解決多重集的排列問題。

生成函數的應用簡單來說在于研究未知（通項）數列規律，用這種方法在給出遞推式的情況下求出數列的通項，生成函數是推導 $Fibonacci$ 數列的通項公式方法之一，另外組合數學中的 $Catalan$ 數也可以通過生成函數的方法得到。

另外生成函數也廣泛應用于編程與算法設計、分析上，運用這種數學方法往往對程序效率與速度有很大改進。

普通型生成函數

定義：

對于任意數列 $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ 用下面這個函數來表示這個數列：$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+?+a_n{x}^n\dots$$這個函數就叫做數列的 生成函數 ( $generatingfunction$ ) 。

指數型生成函數

定義：

對于任意數列 $h_0,h_1,h_2,\dots ,h_n$ 用下面這個函數來表示這個數列：$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{h}_i\frac{x^i}{i!}=h_0+h_1+h_{2}x+h_3\frac{x^2}{2!}+?+h_n\frac{x^n}{n!}+\dots$$

$\mathcal{T}ips:$在研究生成函數時，我們都假設級數收斂，因為生成函數中的 $x$ 沒有實際意義。

例子

我們先來考慮這樣的一個問題：一個班上有四個 $MM$ ，現在要從其中選出 $n$ 個做自己的老婆，請問有多少種選法？ 答案很簡單， $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{n}\right)$ 對吧。也就是說從 $i=0$ 開始， 問題的答案分別是 $1,4,6,4,1,0,0,0,\dots$ 那么它的生成函數應該為 $G(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ 。誒，這不就是二項式展開嗎？ 于是就有 $G(x)=(1+x{)}^4$ 。

這里有個廣義的推論： $(1+x{)}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1})x^1+?+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k})x^k+\dots$ ，其中，廣義的組合數 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)=\frac{k(k?1)(k?2)\dots (k?i+1)}{i!}$ 且 $k$ 為 實數 。
舉個例子： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{6}\right)=\frac{4\times 3\times 2\times 1\times 0\times (?1)}{6!}=0，\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{?1.4}{2}\right)=\frac{(?1.4)\times (?2.4)}{2!}=1.68$
這個推論就是經典的 牛頓二項式定理 。

接下來我們再來考慮一個更復雜的生成函數： 求出 $x_1+x_2+?+x_k=n$ 有多少個非負整數解。這道題在 $Chty\_syq$ 的課件中有詳細解答過。

把每組解的每個數加 $1$ ，就變成了 $x_1+x_2+?+x_k=n+k$ 的正整數解的個數了，這時候我們就可以用 隔板法 來做： 把 $n+k$ 個東西排成一排，在 $n+k?1$ 個間隔中插入 $k?1$ 個 “隔板” ，所以答案就是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k?1}{k?1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k?1}{n}\right)$ ，則它關于 $n$ 的生成函數是 $G(x)=(1?x{)}^{?k}$ 。

推導：
將 $(1?x{)}^{?k}$ 按照牛頓二項式展開后可以得到 $x^n$ 的系數恰好是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k?1}{n}\right)$
因為展開后第n+1項： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{?k}{n}\right)(?x{)}^n=[(?1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k?1}{n})][(?1{)}^n{x}^n]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k?1}{n})x^n$

經典題目

1、求 Fibonacci 通項公式

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在接下來的講解之前，我們還需要知道一個公式：$$\sum _{i=0}^{\infty }{x}^i=\frac{1}{1?x}$$這個公式在之前我已經證明過了，再證一遍：$$\begin{array}{rl}& 已知等比數列求和公式：\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{1?x^{n+1}}{1?x}\\ & \because ?1<x<1\\ & \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }{x}^{n+1}=0\\ & \therefore \sum _{i=0}^{\infty }{x}^i=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^n{x}^i=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1?x^{n+1}}{1?x}=\frac{1}{1?x}\end{array}$$證畢。

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已知 $Fibonacci$ 遞推數列為：$$\begin{array}{rl}& F(n)=F(n?1)+F(n?2)(n?3)\\ & F_2=F_1=1\end{array}$$設它的生成函數為 $g(x)$ ，則 $g(x)$ 為：$$\begin{array}{rl}g(x)& =x+x^2+2x^3+3x^4+\dots \\ & =F_1+F_2{x}^2+F_3{x}^3+\dots \end{array}$$兩邊同時乘以 $x$：$$x?g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+\dots$$用上式減下式可得：$$g(x)?x?g(x)=x+x^3+x^4+2x^5+3x^6+?=x+x^2?g(x)$$解得， $g(x)=\frac{x}{1?x?x^2}$ 。

由于這個式子不是之前我們見過的 $x$ 成等比關系的式子，再根據這是個分式，于是我們可以把它裂項成等比數列無窮級數求和的式子，將下半部分因式分解可得：$$g(x)=\frac{x}{(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}$$再轉變成和的形式：$$\begin{array}{rl}& 設g(x)=\frac{x}{(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}=\frac{a}{(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)}+\frac{b}{(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}\\ & 通分一下得到，\\ & g(x)=\frac{(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)b}{(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}\\ & \therefore (1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)b=x\\ & 又根據g(x)=0可以得到方程組：\\ & \{\begin{array}{ll}(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)a+(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)b=x& ???????①\\ a+b=0& ???????②\end{array}\\ & 將②帶回到①中可以得到，a=?\frac{1}{\sqrt{5}}\\ & \therefore b=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ & ?g(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(1?\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}?\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{(1?\frac{1?\sqrt{5}}{2}x)}\\ & 將其還原成數列展開得，\\ & g(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^2{x}^2+?+(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n{x}^n+\dots )?\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1?\sqrt{5}}{2}x+(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^2{x}^2+?+(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^n{x}^n+\dots )\\ & g(x)=F_1+F_2{x}^2+F_3{x}^3+?+F_n{x}^n+\dots \\ & 于是我們可以得到Fibonacci的通項公式：\\ & F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n?\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1?\sqrt{5}}{2}\right)}^n\end{array}$$哎呦臥槽，這可把我碼的累死了！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的生成函数学习笔记心得的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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