母函數(shù)（Generating function）詳解

在數(shù)學(xué)中，某個(gè)序列的母函數(shù)是一種形式冪級(jí)數(shù)，其每一項(xiàng)的系數(shù)可以提供關(guān)于這個(gè)序列的信息。使用母函數(shù)解決問(wèn)題的方法稱為母函數(shù)方法。

母函數(shù)可分為很多種，包括普通母函數(shù)、指數(shù)母函數(shù)、L級(jí)數(shù)、貝爾級(jí)數(shù)和狄利克雷級(jí)數(shù)。對(duì)每個(gè)序列都可以寫出以上每個(gè)類型的一個(gè)母函數(shù)。構(gòu)造母函數(shù)的目的一般是為了解決某個(gè)特定的問(wèn)題，因此選用何種母函數(shù)視乎序列本身的特性和問(wèn)題的類型。

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這里先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過(guò)頭來(lái)看：

"把組合問(wèn)題的加法法則和冪級(jí)數(shù)的t的乘冪的相加對(duì)應(yīng)起來(lái)"

"母函數(shù)的思想很簡(jiǎn)單—就是把離散數(shù)列和冪級(jí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，把離散數(shù)列間的相互結(jié)合關(guān)系對(duì)應(yīng)成為冪級(jí)數(shù)間的運(yùn)算關(guān)系，最后由冪級(jí)數(shù)形式來(lái)確定離散數(shù)列的構(gòu)造. "

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我們首先來(lái)看下這個(gè)多項(xiàng)式乘法：

由此可以看出:

1. x的系數(shù)是a₁,a₂,…a_{n的單個(gè)組合的全體。}

2. x²的系數(shù)是a₁,a₂,…a_n的兩個(gè)組合的全體。

………

n. xⁿ的系數(shù)是a₁,a₂,….a_n的n個(gè)組合的全體（只有1個(gè)）。

由此得到：

?

母函數(shù)的定義：

對(duì)于序列a₀，a₁，a₂，…構(gòu)造一函數(shù)：

稱函數(shù)G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函數(shù)

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這里先給出2個(gè)例子，等會(huì)再結(jié)合題目分析：

第一種：

?

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？?

考慮用母函數(shù)來(lái)接吻這個(gè)問(wèn)題：

我們假設(shè)x表示砝碼，x的指數(shù)表示砝碼的重量，這樣：

1個(gè)1克的砝碼可以用函數(shù)1+x表示，

1個(gè)2克的砝碼可以用函數(shù)1+x²表示，

1個(gè)3克的砝碼可以用函數(shù)1+x³表示，

1個(gè)4克的砝碼可以用函數(shù)1+x⁴表示，

上面這四個(gè)式子懂嗎？

我們拿1+x²來(lái)說(shuō)，前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，x表示砝碼，x的指數(shù)表示重量，即這里就是一個(gè)質(zhì)量為2的砝碼，那么前面的1表示什么？1代表重量為2的砝碼數(shù)量為0個(gè)。（理解！）

不知道大家理解沒(méi)，我們這里結(jié)合前面那句話：

"把組合問(wèn)題的加法法則和冪級(jí)數(shù)的t的乘冪的相加對(duì)應(yīng)起來(lái)"

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1+x²表示了兩種情況：1表示質(zhì)量為2的砝碼取0個(gè)的情況，x²表示質(zhì)量為2的砝碼取1個(gè)的情況。

這里說(shuō)下各項(xiàng)系數(shù)的意義：

在x前面的系數(shù)a表示相應(yīng)質(zhì)量的砝碼取a個(gè)，而1就表示相應(yīng)砝碼取0個(gè)，這里可不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為相應(yīng)砝碼取0個(gè)就該是0*x²(想下為何？結(jié)合數(shù)學(xué)式子)。

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所以，前面說(shuō)的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個(gè)函數(shù)的乘積表示：

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰?

從上面的函數(shù)知道：可稱出從1克到10克，系數(shù)便是方案數(shù)。（！！！經(jīng)典！！！）

??? 例如右端有2x⁵?項(xiàng)，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

??? 故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1。

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接著上面，接下來(lái)是第二種情況：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數(shù)值的方案數(shù)：

大家把這種情況和第一種比較有何區(qū)別？第一種每種是一個(gè)，而這里每種是無(wú)限的。

以展開(kāi)后的x⁴為例，其系數(shù)為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分?jǐn)?shù)為4；

即?：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這里再引出兩個(gè)概念整數(shù)拆分和拆分?jǐn)?shù)：

?

所謂整數(shù)拆分即把整數(shù)分解成若干整數(shù)的和（相當(dāng)于把n個(gè)無(wú)區(qū)別的球放到n個(gè)無(wú)標(biāo)志的盒子，盒子允許空，也允許放多于一個(gè)球）。

整數(shù)拆分成若干整數(shù)的和，辦法不一，不同拆分法的總數(shù)叫做拆分?jǐn)?shù)。

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現(xiàn)在以上面的第二種情況每種種類個(gè)數(shù)無(wú)限為例，給出模板：

[cpp]?view plaincopyprint?

#include<iostream>??

usingnamespace?std;??

???

constint?_max?=?10001;??

//c1是保存各項(xiàng)質(zhì)量砝碼可以組合的數(shù)目??

//c2是中間量，保存沒(méi)一次的情況??

intc1[_max],?c2[_max];????

intmain()??

{???//int?n,i,j,k;??

????int?nNum;??//??

????int?i,?j,?k;??

???

????while(cin?>>?nNum)??

????{??

???????for(i=0;?i<=nNum;?++i)???//?----?①?，（1+x+x^2...）

???????{??

???????????c1[i]?=?1;??

???????????c2[i]?=?0;??

???????}??

???????for(i=2;?i<=nNum;?++i)???//?-----?②? (第i個(gè)括號(hào))

???????{??

???

???????????for(j=0;?j<=nNum;?++j)???//?-----?③? (計(jì)算第i個(gè)括號(hào)與前面的乘積)

??????????????for(k=0;?k+j<=nNum;?k+=i)??//?----?④? //大于nNum沒(méi)有意義，即超過(guò)X^(nNum)沒(méi)意義

??????????????{??

??????????????????c2[j+k]?+=?c1[j];??

??????????????}??

???????????for(j=0;?j<=nNum;?++j)?????//?----?⑤? //把乘積保存下來(lái)，因?yàn)檫@是一個(gè)連乘

???????????{??

??????????????c1[j]?=?c2[j];??

??????????????c2[j]?=?0;??

???????????}??

???????}??

???????cout?<<?c1[nNum]?<<?endl;??

????}??

????return?0;??

}??

???

跑了一個(gè)nNum = 4的結(jié)果：

當(dāng)nNum = 4時(shí)，其實(shí)我們要計(jì)算這么一個(gè)多項(xiàng)式：

G（x）=（1+x+x^2+x^3+x^4）（1+x^2+x^4）（1+x^3）（1+x^4）

i = 2時(shí)：計(jì)算了（1+x+x^2+x^3+x^4）（1+x^2+x^4），并把結(jié)果存在C2中；

? ? ? ? ? ? ? ? 乘法他這么做的：1*（1+x^2+x^4）+x*(1+x^2+x^4)+x^2*(1+x^2+x^4)...

? ? ? ? ? ? ? ? 假如：（1+x^2）（1+x^2+x^4）=1*（1+x^2+x^4）+0*x*(1+x^2+x^4)+1*x^2*(1+x^2+x^4) ? （就是沒(méi)有系數(shù)也乘了，只不過(guò)乘以后的結(jié)果為0，累加的時(shí)候，加的0）

i = 3時(shí)：計(jì)算了（1+x+x^2+x^3+x^4）（1+x^2+x^4）（1+x^3），并把結(jié)果存在C2中，當(dāng)然（1+x+x^2+x^3+x^4）（1+x^2+x^4）這個(gè)結(jié)果在i=2時(shí)已經(jīng)算出來(lái)了；

i = 4時(shí)：就可以計(jì)算整個(gè)表達(dá)式的結(jié)果了。

我們來(lái)解釋下上面標(biāo)志的各個(gè)地方：

①?、首先對(duì)c1初始化，由第一個(gè)表達(dá)式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把質(zhì)量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

?

②?、 i從2到n遍歷，這里i就是指第i個(gè)表達(dá)式，上面給出的第二種母函數(shù)關(guān)系式里，每一個(gè)括號(hào)括起來(lái)的就是一個(gè)表達(dá)式。

?

?

③、j?從0到n遍歷，這里j就是只一個(gè)表達(dá)式里第j個(gè)變量，比如在第二個(gè)表達(dá)式里：(1+x²+x⁴....)里，第j個(gè)就是x^2*j.

?

③?k表示的是第j個(gè)指數(shù)，所以k每次增i（因?yàn)榈趇個(gè)表達(dá)式的增量是i）。

?

④?、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因?yàn)閏2每次是從一個(gè)表達(dá)式中開(kāi)始的

?

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咱們趕快趁熱打鐵，來(lái)幾道題目：

（相應(yīng)題目解析均在相應(yīng)的代碼里分析）

1.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=587

這題大家看看簡(jiǎn)單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!

?

看看這題：

2.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=590

要說(shuō)和前一題的區(qū)別，就只需要改2個(gè)地方。 在i遍歷表達(dá)式時(shí)（可以參考我的資料---《母函數(shù)詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數(shù)時(shí)把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說(shuō)來(lái)說(shuō)去還是套模板~~~

?

3.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=592

這題終于變化了一點(diǎn)，但是萬(wàn)變不離其中。

大家好好分析下，結(jié)合代碼就會(huì)懂了。

?

4.? 題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=594

?

?

?

還有一些題目，大家有時(shí)間自己做做：

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

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附：

1.在維基百科里講到了普通母函數(shù)、指數(shù)母函數(shù)、L級(jí)數(shù)、貝爾級(jí)數(shù)和狄利克雷級(jí)數(shù)：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函數(shù)：

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函數(shù)那篇，我這里的圖片以及一些內(nèi)容都引至那。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的母函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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