抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》
抽象代數(shù)學(xué)習(xí)筆記四《群：子群、同構(gòu)、同態(tài)》
學(xué)習(xí)筆記參考：《近世代數(shù)初步》第2版 高等教育出版社——石生明編著
注：本篇筆記根據(jù)博主個(gè)人數(shù)學(xué)的掌握情況整理
課后習(xí)題
1、H1,H2,?,Hk,?H_1,H_2,\cdots,H_k,\cdotsH1?,H2?,?,Hk?,? 都是群 GGG 的子群，證明：
（1）H1∩H2H_1\cap H_2H1?∩H2? 是子群；
（2）?i=1∞Hi\bigcap\limits_{i=1}^\infty H_ii=1?∞?Hi? 是子群；
（3）若 H1?H2???Hk?Hk+1??H_1\subset H_2\subset \cdots \subset H_k \subset H_{k+1} \subset \cdotsH1??H2????Hk??Hk+1??? ，則 ?i=1∞Hi\bigcup\limits_{i=1}^\infty H_ii=1?∞?Hi? 是子群；
2、設(shè) GGG 是群，令：Z(G)={a∈G∣ag=ga,?g∈G}Z(G)=\{a\in G\ |\ ag=ga,\ \forall \ g\in G \}Z(G)={a∈G?∣?ag=ga,???g∈G} 則 Z(G)Z(G)Z(G) 是 GGG 的子群，稱為 GGG 的中心；
3、GGG 是群，SSS 是 GGG 的非空子集，令：CG(S)={a∈G∣as=sa,?s∈S}C_G(S)=\{a\in G\ |\ as=sa,\ \forall \ s\in S\}CG?(S)={a∈G?∣?as=sa,???s∈S} NG(S)={a∈G∣aSa?1=S}N_G(S)=\{a\in G \ | \ aSa^{-1}=S\}NG?(S)={a∈G?∣?aSa?1=S} 則它們都是 GGG 的子群，其中 aSa?1={asa?1∣?s∈S}aSa^{-1}=\{asa^{-1} \ |\ \forall \ s\in S\}aSa?1={asa?1?∣???s∈S} CG(S)C_G(S)CG?(S) 和 NG(S)N_G(S)NG?(S) 分別稱為 SSS 在 GGG 中的中心化子和正規(guī)化子；
4、證明正三角形 A1A2A3A_1A_2A_3A1?A2?A3? 的對(duì)稱性群與 S3S_3S3? 同構(gòu)（將每個(gè)對(duì)稱性變換與它引起的頂點(diǎn)的置換相對(duì)應(yīng)）；
5、GGG 是群，SSS 是 GGG 的非空子集，令：H={t1?ti?tk∣?k是正整數(shù),ti或ti?1∈S}H=\{t_1\cdots t_i\cdots t_k\ |\ \forall \ k\ 是正整數(shù),\ t_i\ 或\ t_i^{-1}\in S\}H={t1??ti??tk??∣???k?是正整數(shù),?ti??或?ti?1?∈S}證明 HHH 是子群且 H=?S?H=\langle S\rangleH=?S?；
6、群 GGG 的全部自同構(gòu)在 GGG 上變換的乘法下成為群，稱為 GGG 的自同構(gòu)群，記為 AutGAut\ GAut?G 。
參考答案如下：
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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