Ch1 基本概念

x1

1.多元總體：該總體有多個(gè)屬性，可表示為X=…，考察一個(gè)P元總體即是考察這個(gè)總體中每

xp個(gè)對(duì)象的P個(gè)屬性。

x11,x12,…,x1n

…2.多元樣本數(shù)據(jù)：X= x1,x2…xn = xp1,xp2,…,xpn

3.多元總體的樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)： 3.1 單總體

3.1.1 分屬性行樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù) 樣本平均值向量：

中心化數(shù)據(jù)：原始數(shù)據(jù)-平均數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)=中心化數(shù)據(jù)/該行樣本標(biāo)準(zhǔn)差

樣本離差矩陣Q：Q=XX’,即兩兩中心化屬性行乘積和，qαβ= nx xβi?x (1≤αβ1 xαi? α,β≤p)

樣本協(xié)方差矩陣S：S=Q/n=XX’/n(n為樣本數(shù))

樣本相關(guān)矩陣R：用X中的兩行計(jì)算兩屬性間的相關(guān)，rαβ=

=

3.1.2 樣本間統(tǒng)計(jì)參數(shù)

各種距離：歐氏距離，馬氏距離，B模距離，絕對(duì)距離，切比雪夫距離 相似系數(shù)：

定量：用X中的兩列算出的相關(guān)系數(shù)；夾角余弦cαβ=′p 1

xαi2 1

xαj

2

定性：首先轉(zhuǎn)化為0,1型定性數(shù)據(jù)；對(duì)于p元總體的變量α，兩樣本單元i,j配對(duì)情況有四種

(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)，分別用a,b,c,d表示所有變量中這四種情況出現(xiàn)的次數(shù)。顯然a,d出現(xiàn)的次數(shù)越多，兩樣本越接近。由此定義匹配系數(shù)：fij=fij=

a+dp

=1?

絕對(duì)距離

p

3.2 兩總體(樣本數(shù)均為n)

c11,c12,…,c1q

…兩組樣本的協(xié)方差矩陣：Yp×n,Xq×n,Y與X的協(xié)方差矩陣cov y,x ==cp1,cp2,…,cpq′Y,X中心化數(shù)據(jù))，其中cαβ=n ny xβi?x (α≤p,β≤q),注意αβ1 yαi? 兩個(gè)樣本的協(xié)方差一般不對(duì)稱，即cαβ≠cβα。

1

Ch2 主分量分析 2.1主分量分析

2.1.1原理:從變量著手分析，將原來(lái)多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)相互獨(dú)立的綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)方法。

2.1.2數(shù)學(xué)表示：原變量X經(jīng)正交變換U得到Y(jié)，Y=UX，使y1,yi,…,yn獨(dú)立，且yi在所有與y1,y2,…,yi?1獨(dú)立的隨機(jī)變量中，yi具有最大方差。至于如何求U，事實(shí)上，所謂的最大方差即D x =n n xβi?x 的特征根，U’的第j列向量即為λjαβ1 xαi?x的特征向量。

2.1.3 求解正交變換：實(shí)際中無(wú)法得到D(x)，而是利用樣本方差Sx來(lái)求正交變換。

2.1.4 貢獻(xiàn)率：代表樣本點(diǎn)在這個(gè)主分量方向上的分散程度，若其值很小，表示樣本在該方向上的分散很小，這個(gè)主分量在分析樣本數(shù)據(jù)時(shí)所起作用不大。ηj=

λj

S11+S22+。。。+Spp

λj

λ1+λ2+。。。+λp

1

=

j=1,2,…,p (Sii為Sx主對(duì)角線上元素)

2.1.5 因子負(fù)荷量：主分量yk與原分量xj相關(guān)系數(shù)稱為第j因子在第k個(gè)主分量上的負(fù)荷量。幾何解釋為原坐標(biāo)上單位長(zhǎng)度在某個(gè)主坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度。其樣本估計(jì)值為r(λk?xj)=

2.2 R分析：從標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)出發(fā)的主分量分析。 2.3 q分析：從樣本著手分析，

2.3.1原理 ：壓縮樣本，找出典型的綜合樣本

′X= p2.3.2 數(shù)學(xué)表示：仍然先求樣本間的相似系數(shù)，Qnn i,j =X i xαj?x j 1 xαi?x

p

1

再找V使得VQV’為對(duì)角矩陣，令Y=x v′即得綜合樣本中的主分量。

2.4 R型分析與Q型分析的聯(lián)系

令R=XX’,Q=X’X，u,v分別為R,Q對(duì)應(yīng)λ的單位特征向量 2.4.1 R,Q的非零特征根相同 2.4.2 v=αX’u, u=βXv

Ch3 其他簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及樣本排序方法 3.1 主坐標(biāo)分析

3.1.1 原理：構(gòu)造坐標(biāo)系，任兩個(gè)樣本在主坐標(biāo)系中的歐氏距離等于事先給定的抽象距離。 3.1.2 數(shù)學(xué)方法：有原始點(diǎn)對(duì)間的距離mij出發(fā)，根據(jù)兩者變換關(guān)系，計(jì)算出每一樣本點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為aij的矩陣A；求出A的特征根與特征向量Vi；令C= V 3.2 主坐標(biāo)分析與距離的關(guān)系

并非任意給定的距離矩陣M均可找到其主坐標(biāo)。 3.2.1 歐氏距離

從原始數(shù)據(jù)出發(fā)，采用歐氏距離計(jì)算M，主坐標(biāo)分析與主分量分析相同 3.2.2 絕對(duì)距離

從原始0,1數(shù)據(jù)出發(fā)，按匹配系數(shù)決定的距離構(gòu)成M，主坐標(biāo)與主分量相同 3.2.3 B模距離：主坐標(biāo)分析總有解。 3.3 數(shù)量化方法:

3.3.1 原理：方差分析的方法(總方差固定條件下樣本間方差最大化)同時(shí)排列樣本與變量 3.3.2 數(shù)學(xué)方法：有原始陣求行和gj,列和fi 按公式計(jì)算Xji,A=XX’ 求特征根，特征向量，

按公式計(jì)算變量得分與樣本得分，所謂得分即是新坐標(biāo)下的坐標(biāo)值。

Ch4 聚類分析 4.1 聚類方法 兩種分類方案：

系統(tǒng)聚類方法：n個(gè)樣本分n類，找最相近的合并至只有k個(gè)類。 系統(tǒng)分類法見(jiàn)表

最優(yōu)分割法：類似于離差平方和法

Step1:定義類的直徑——該類樣本的離差平方和 Step2:定義誤差函數(shù)：各類直徑之和D Step3:最小化誤差函數(shù)下的遞推公式：f(p(m,n))=min(f(p(m-1,j-1))+D(j,n)),n個(gè)樣本分成m類的最優(yōu)分法，可看成j-1樣本分成m-1類的最優(yōu)分法再加上最后(n+1-j)樣本形成的m類樣本合并而成。j可由m一直變到n，從中挑選出最優(yōu)的j。 Step4:聚類。

最優(yōu)分割法需要兩張表：類直徑一覽表D；最小誤差函數(shù)表f,根據(jù)類別數(shù)，i可分別取到2,3，。。。，m.總樣本數(shù)j為2,3,4….n。根據(jù)遞推公式求出不同配對(duì)(i,j)下的f(p(I,j))進(jìn)行不同i下的分類。

Ch5 兩組變量之間關(guān)系

5.1 典型相關(guān)分析：把原來(lái)較多變量化為少數(shù)幾個(gè)典型變量，通過(guò)這幾個(gè)典型變量間典型相關(guān)系數(shù)來(lái)綜合描述兩個(gè)多元隨機(jī)變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。 給出計(jì)算方法；

Step1：將n個(gè)樣本得到的二組原始矩陣Xpn,Yqn標(biāo)準(zhǔn)化，計(jì)算X,Y的相關(guān)矩陣Sxx,Syy,Sxy Step2:計(jì)算Sxx?1Sxy,Syy?1Syx Step3:D=Syy?1SyxSxx?1Sxy

Step4:求D的前k個(gè)特征根λj和特征向量v ，令歸一化后為vj=Step5:令uj=

1λj

1cj

v j，其中cj=v j′Syyv j

Sxx?1Sxyvj, uj,vj為相應(yīng)于λj的一對(duì)典型變量的系數(shù)。

Step6:計(jì)算典型變量：zj=u′jx,wj=vj′y,(j=1,2,…,k)

5.2 多元線性回歸

X ′, Lxy=X Y ′=Lxy′, X ,Y 為中心化數(shù)據(jù) Step1:離差矩陣Lxx=X

Step2:計(jì)算系數(shù)矩陣B和常數(shù)項(xiàng)向量b0: LxxB′=Lxy,b0=y ?Bx ,y ,x 分別為X，Y的平均數(shù)。 Step3:計(jì)算剩余離差矩陣Q=Lyy?BLxy,計(jì)算剩余協(xié)方差矩陣S=Q/(n-q-1);

Ch6 特殊分布

6.1 多元正態(tài)分布和χ2分布

明確幾個(gè)從一維到多維推廣的基本概念

6.1.1多維正態(tài)變量的定義是從一維正態(tài)分布定義而來(lái)的：x是p維隨機(jī)變量，對(duì)任意p維向量a, x的線性函數(shù)y=a’x是遵從一維正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則稱x是遵從p維正態(tài)分布的隨機(jī)變量。記平均向量為u，協(xié)方差矩陣為 σ2的p維正態(tài)變量x為x~Np(μ, σ2). 多維正態(tài)分布的性質(zhì)：

1.若x~Np(μ, σ2)，則對(duì)任意p維常向量a,有

a′x~N1 a′μ,a′ σ2 a ;

2.若x~Np(μ, σ2)，A是qp矩陣，則

Ax~Nq Aμ,A σ2 A′

3. 若x~Np(μ, σ2)，對(duì)p維常向量a,有

x?a~Np μ?a, σ2

4. Ax與Bx相互獨(dú)立的充要條件是cov(Ax,Bx)=A σ2 B’=0

5.若x1,x2,..,xk是相互獨(dú)立的p維正態(tài)變量，xi~Np μi, σi2 ,則對(duì)任意常數(shù)

kk22

a1,a2,..,ak, k1aixi~Np 1aiμi, 1aiσi

6.1.2 正態(tài)樣本矩陣

x1,x2,..,xn是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)變量，服從同一正態(tài)分布，則Xpn=[x1,x2,..,xn]稱為正態(tài)樣本矩陣

定理6.1：對(duì)于Xpn，若其中各向量滿足xi~Np μi, σi2 ，則有以下兩個(gè)性質(zhì)：

1.對(duì)任意p維向量a,X′a~Nn a′μ1n,a′ σ2 aIn , ,X′a為n個(gè)樣本的各指標(biāo)間的線性組合，其各分量相互獨(dú)立。

2.對(duì)任意n維向量b, Xb~Np (1n′b)μ,bb′ σ2 ，Xb為p個(gè)指標(biāo)各樣本間的線性組合，其各分量一般不相互獨(dú)立。

6.1.3 多元正態(tài)分布與χ2分布的關(guān)系

定理6.2：xi~Np 0, σi2 ，則二次型x′ σ2 ?1x~χ2(p)

6.1.4 χ2分布的幾條重要定理

定理6.3：若x′=[x1,x2,..,xn]~N1(0,σ2I)，A是nn對(duì)稱冪等陣，秩為r,則x′Ax~σ2χ2(r) 定理6.4：若x′= x1,x2,..,xn ~N1 0,σ2I ，若A是對(duì)稱冪等陣，B為任意矩陣，BA=0，則正態(tài)分布Bx和χ2分布x′Ax相互獨(dú)立；若AB都是冪等陣，AB=0，則x′Ax與x′Bx相互獨(dú)立。 6.2維希特分布：χ2分布在多元統(tǒng)計(jì)變量中的推廣

6.2.1 維希特分布定義：n個(gè)p維變量x1,x2,..,xn~Np(0,σ2I)，Xpn=[x1,x2,..,xn]是樣本矩

2

陣，則Wpp= n1xjxj′=XX′的分布為自由度為n的p維維希特分布，記為Wp(n, σ ) 6.2.2 維希特分布與χ2分布的關(guān)系

x~Np 0, σ2 x1,x2,..,xn是其n個(gè)樣本，任取一個(gè)p維向量a，則定義y=a′x~N1 0,a′ σ2 a ,則有y1=a′x1,y2=a′x2,…,yn=a′xn是總體y的n個(gè)樣本。按χ2分布

n22′22′22

的定義：Q= n。 1yj~a σ aχ(n)，而Q= 1yj=a’XX’a=a’Wa,故a’Wa~a σ aχ(n)，定理6.5：W服從維希特分布W(n, σ2 )的充要條件是對(duì)任意p維向量a,二次型Q=a’Wa~a′ σ2 aχ2(n) 6.2.3維希特分布的性質(zhì)

定理6.6：若Ann是對(duì)稱冪等陣，秩為r, x1,x2,..,xn~Np 0, σ2 且相互獨(dú)立，令Xpn=[x1,x2,..,xn]是樣本矩陣，則XAX’ ~WP(r, σ2 )

定理6.7：x1,x2,..,xn~Np 0, σ2 且相互獨(dú)立，Xpn=[x1,x2,..,xn]是樣本矩陣，對(duì)任意n維向量a與對(duì)稱冪等陣Ann，若Aa=0, 則正態(tài)分布Xa和維希特分布XAX′相互獨(dú)立；若AB都是冪等陣，AB=0，則XAX′與XBX′相互獨(dú)立。 6.2.4 樣本離差矩陣的分布

x~Np μ, σ2 x1,x2,..,xn是其n個(gè)樣本，Xpn=[x1,x2,..,xn]是樣本矩陣，樣本離差矩陣定

11′ (I?111′)X ′，其中 義為：Qpp=X(I?n11′)X′= XX=X?μ1,(I?11′)是對(duì)稱冪等陣，秩為nn

n-1，則由定理6.6有Qpp~Wp n?1, σ2 。即由p元正態(tài)總體中抽出n個(gè)樣本，則其樣本離差平方和矩陣Q服從自由度為n-1的p維維希特分布。 6.3 統(tǒng)計(jì)量T2和Λ

6.3.1 統(tǒng)計(jì)量T2是一元t分布的推廣：若W~WP(n, σ2 ), y~Np 0,c σ2 ,c為一正常數(shù)，W與y相互獨(dú)立，稱統(tǒng)計(jì)量T2=cy′W?1y是自由度為(p,n)的T2變量。 定理6.8：若T2變量服從T2(p,n),則有

n?p+1np

n

T2~F p,n?p+1

6.3.2 總體平均值的估計(jì)值與置信區(qū)域

x~Np μ, σ2 x1,x2,..,xn是其n個(gè)樣本，Xpn=[x1,x2,..,xn]是樣本矩陣，μ的無(wú)偏估計(jì)

σ 11

x =Xpn1, x ?μ= X1~Np 0,, Qpp~Wp n?1, σ2 ,且x ?μ與Q相互獨(dú)立，則 nnn

2

T2=n n?1 x ?μ ′Q?1(x ?μ) 自由度為(p,n-1)的T2變量,故中，

n?pp

n?1 ?p+1(n?1)p

T2~F p,n?p ,實(shí)際

x ?μ ′S?1(x ?μ)~F p,n?p ,其中S=Q/n是樣本協(xié)方差矩陣。

pF

應(yīng)用：給定置信度α，即可求置信區(qū)域?yàn)?x ?μ ′S?1(x ?μ)≤n?α p

6.3.3 廣義方差：p維隨機(jī)變量x的協(xié)方差矩陣為 σ2， σ2 為廣義方差。 6.3.4 Λ統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量的推廣

Λ統(tǒng)計(jì)量：W1~WP n1, σ2 ,W2~WP n2, σ2 ,Λ= W當(dāng)p=1時(shí)，Λ=Q

Q1

1+Q2

W1

1+W2

(p, n1,n2)的Λ分布

=

11+F

n1

Λ統(tǒng)計(jì)量的分布：當(dāng)p>8, n2

p+n2?1

2

v=?(n1+n2?

p+n2?1

2

Λ p,n1,n2

ch7 假設(shè)檢查和方差分析

7.1 兩總體平均向量的假設(shè)檢查

7.2 協(xié)方差矩陣的檢查

最大似然比：沒(méi)有限制條件時(shí)最大似然值為FΩ，增加假設(shè)參數(shù)間的關(guān)系也即增加了限制條件，在滿足限制條件下求最大似然值Fω，引入統(tǒng)計(jì)量λω=

FωFΩ

λω定義為最大似然比。Λω

越接近1，說(shuō)明在加上假設(shè)的限制條件后與不加假設(shè)一樣 ，說(shuō)明假設(shè)的限制條件是實(shí)際存在的，也即假設(shè)

的關(guān)系符合實(shí)際

總結(jié)

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