應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課后答案朱建平版

1第二章2.1.試敘述多元聯(lián)合分布和邊際分布之間的關(guān)系。解：多元聯(lián)合分布討論多個(gè)隨機(jī)變量聯(lián)合到一起的概率分布狀況， 的聯(lián)12(,)pX???合分布密度函數(shù)是一個(gè) p 維的函數(shù)，而邊際分布討論是 的子向量的概率12(,)p??分布，其概率密度函數(shù)的維數(shù)小于 p。2.2 設(shè)二維隨機(jī)向量 服從二元正態(tài)分布，寫(xiě)出其聯(lián)合分布。12()X?解：設(shè) 的均值向量為 ，協(xié)方差矩陣為 ，則其聯(lián)合12???12???μ21???????分布密度函數(shù)為。1/2 12 21 1() exp()()f???? ???????????????????????????x μxμ2.3 已知隨機(jī)向量 的聯(lián)合密度函數(shù)為12()X?121212[()()](,)dcxabxcaxcfxd?????其中 ， 。求1ab?2?(1)隨機(jī)變量 和 的邊緣密度函數(shù)、均值和方差；X(2)隨機(jī)變量 和 的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；12(3)判斷 和 是否相互獨(dú)立。(1)解：隨機(jī)變量 和 的邊緣密度函數(shù)、均值和方差；1X221 12122[()()()]()dxcxabxcaxcf dd??????1221222)([()()]dc xbabac?12 12 20()[()()]dcdcxtxtd?????1212 20()[()()]cdcabattbdba?所以由于 服從均勻分布，則均值為 ，方差為 。1X2ba???21?同理，由于 服從均勻分布 ，則均值為 ，2 ??2 ,()0 xxcdfd??????其 它 2dc?方差為 。??21dc?(2)解：隨機(jī)變量 和 的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；1X212cov(,)x 121212 12[()()()]dbca dcxabxcaxcx dd????????????????????()36db12cov,x???(3)解：判斷 和 是否相互獨(dú)立。1X2和 由于 ，所以不獨(dú)立。1212(,)()xff?2.4 設(shè) 服從正態(tài)分布，已知其協(xié)方差矩陣?為對(duì)角陣，證明其分量是相互(,p???3獨(dú)立的隨機(jī)變量。解： 因?yàn)?的密度函數(shù)為12(,)pX??? 1/ 11(,.)ex()()2pfx????????????????ΣμΣx又由于212p???????221p?Σ?21221p???????????Σ?則 1(,.)pfx 211/22 21 2exp() ()1p p??? ???? ???? ????? ?????? ????? ??? ???? ?ΣμΣxμ? ??? 2221 3112 ()()()1exp.p pxx??????? ?????? ??? ?????? ?? 211()e().pii pii f?? ?????則其分量是相互獨(dú)立。42.5 由于多元正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望向量和均方差矩陣的極大似然分別為 1?nii??μX1?()niii n????ΣX3560.2?7.1??????μ2058.390.837250.-73680.39615?7.119.-6-5-9? ?? ??? ?Σ注：利用 , S 其中 1pn??X1()nn????XI 01n????????I在 SPSS 中求樣本均值向量的操作步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng) Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打開(kāi) Descriptives 對(duì)話(huà)框。將待估計(jì)的四個(gè)變量移入右邊的 Variables 列表框中，如圖 2.1。圖 2.1 Descriptives 對(duì)話(huà)框2. 單擊 Options 按鈕，打開(kāi) Options 子對(duì)話(huà)框。在對(duì)話(huà)框中選擇 Mean 復(fù)選框，即計(jì)算樣本均值向量，如圖 2.2 所示。單擊 Continue 按鈕返回主對(duì)話(huà)框。5圖 2.2 Options 子對(duì)話(huà)框3. 單擊 OK 按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出樣本均值向量，如表 2.1，即樣本均值向量為(35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2) 。表 2.1 樣本均值向量在 SPSS 中計(jì)算樣本協(xié)差陣的步驟如下：1. 選擇菜單項(xiàng) Analyze→Correlate→Bivariate，打開(kāi)Bivariate Correlations 對(duì)話(huà)框。將三個(gè)變量移入右邊的 Variables 列表框中，如圖2.3。圖 2.3 Bivariate Correlations 對(duì)話(huà)框2. 單擊 Options 按鈕，打開(kāi) Options 子對(duì)話(huà)框。選擇Cross-product deviations and covariances 復(fù)選框，即計(jì)算樣本離差陣和樣本協(xié)差陣，如圖 2.4。單擊 Continue 按鈕，返回主對(duì)話(huà)框。6圖 2.4 Options 子對(duì)話(huà)框3. 單擊 OK 按鈕，執(zhí)行操作。則在結(jié)果輸出窗口中給出相關(guān)分析表，見(jiàn)表 2.2。表中 Covariance 給出樣本協(xié)差陣。 (另外，Pearson Correlation 為皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣，Sum of Squares and Cross-products 為樣本離差陣。 )2.6 漸近無(wú)偏性、有效性和一致性；2.7 設(shè)總體服從正態(tài)分布， ，有樣本 。由于 是相互獨(dú)立的正態(tài)~(,)pNXμΣ12,.nXX分布隨機(jī)向量之和，所以 也服從正態(tài)分布。又 ??111()nnni iii iEE??????????μ22111()nnni ii i iDD????ΣXX所以 。~(,)pNμΣ72.8 方法 1： 1?()niii????ΣX1nii???1?()()niiE????ΣX??1nii E???????????。1(1)ni n??????ΣΣ方法 2： 1()niii??SX-1((ni ii? ????????????-μ)-μX)11()2()()nnii ii i n??? ? ???X--μ)X1()()()niii?????-μXμ1()()niii n????X-1()()()niiiEn?? ????? ??? ?S-μXμ。1()()niii E????X- Σ故 為 的無(wú)偏估計(jì)。?SΣ2.9.設(shè) 是從多元正態(tài)分布 抽出的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試求(1)2()n,., ~(,)pNμ的分布。證明： 設(shè)8為一正交矩陣，即 。**()11ijnn???????????Γ???? ??ΓI令 ，???1212nΖ=(Ζ)=X? ?,34,i?XΓ?由 于 獨(dú) 立 同 正 態(tài) 分 布 且 為 正 交 矩 陣所以 。且有12()n???? 獨(dú) 立 同 正 態(tài) 分 布， ， 。1nnii??ΖΧ1(()niiEn?ΖΧμ()Var?nZΣ1())(,23,)naajEr? ??1naj?μ10najir???1()()naajVr?ΖΧ??2211nnajjajr??Σ所以 獨(dú)立同 分布。2n?Ζ? (0,)N又因?yàn)?1()njj???iSX1njj????因?yàn)?11nni ini i???????? ?????????XXZ9又因?yàn)??????????????nnjj XX?? 21211???????????1212nnΓ? ????????????1212nZZ? ?所以原

總結(jié)

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