一.連續性
1.函數在1點的連續性
(1)增量:

(2)連續性的定義(3種):




2.左(右)連續性:

3.函數連續的充要條件(定理4.1):

函數f在點x₀處連續的充要條件是:f在x₀處既是左連續的,又是右連續的

4.間斷點
(1)定義:

(2)分類:

函數f的間斷點x₀的情況必為下述3種之一::
①f在x₀處無定義
②f在x₀處有定義但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在
③f在x₀處有定義且$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在(指有限極限,不包括非正常極限),但$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$≠$f(x_0)$
據此,可對函數的間斷點進行分類

①第一類間斷點:左/右極限均存在,僅包括以下2類
–i.可去間斷點

可去間斷點可通過下述方法轉換成連續點:

–ii.跳躍間斷點

第二類間斷點:左/右極限至少有1個不存在(即其他形式的間斷點),除以下2類還有很多類
–i.無窮間斷點
–ii.震蕩間斷點

5.連續函數:

二.連續函數的性質
1.連續函數的局部性質
(1)局部有界性(定理4.2):

若函數f在點x₀處連續,則f在某U(x₀)上有界

(2)局部保號性(定理4.3):

若函數f在點x₀處連續,且f(x)>0(或<0),則對?0<r<f(x₀)(或0<r<-f(x₀),?某U(x₀),使對?x∈U(x₀),有f(x)>r(或f(x)<-r)
在具體應用局部保號性時,常取r=$\frac{1}{2}f(x_0)$,則當$f(x_0)>0$時,?某U(x₀),使在其上有f(x)>$\frac{1}{2}f(x_0)$

(3)有限次四則運算不改變連續性(定理4.4):

若函數f,g在點x₀處連續,則$f\pm g,f?g,\frac{f}{g}(g(x_0)=0)$也都在x₀處連續

(4)有限次復合運算不改變連續性(定理4.5):

若函數f在點x₀處連續,g在點u₀處連續,$u_0=f(x_0)$,則復合函數$g○f$在點x₀處連續
根據連續性的定義,結論也可表示為$\underset{x\to x_0}{\lim }g(f(x))=g(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x))=g(f(x_0))$

擴展到可去間斷點處:

2.閉區間上連續函數的性質
(1)最大值與最小值:

(2)最大/最小值定理(定理4.6):

若函數f在閉區間[a,b]上連續,則f在[a,b]上有最大值和最小值

引理(有界性定理):若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上有界

定理4.6的證明:

(3)介值性定理(定理4.7):

設函數f在閉區間[a,b]上連續,且f(a)≠f(b),若μ為介于f(a)與f(b)間的任何實數(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b)),則至少?1點x₀∈(a,b),使f(x₀)=μ
這個定理表面:若f在[a,b]上連續,不妨設f(a)<f(b),則f在[a,b]上必能取得區間[f(a),f(b)]上的一切值,即[f(a),f(b)]?f([a,b])
該命題的幾何意義如圖4-2;下面的推論是定理4.7的等價命題

推論(根的存在定理):若函數f在閉區間[a,b]上連續,且f(a)·f(b)<0,則至少?1點x₀∈(a,b),使f(x₀)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上至少有1個根
這個推論的幾何解釋如圖4.3

由定理4.7可得性質:若f在區間I上連續且不為常量,則值域f(I)也是1個區間
特別地,若I為閉區間[a,b],f在[a,b]上的最大值/最小值為M/m,則f([a,b])=[m,M]
又若f為[a,b]上的遞增(或減)連續函數且不為常函數,則f([a,b])=[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])

3.反函數的連續性

定理4.8:若f在[a,b]上嚴格單調并連續,則其反函數f^-1在其定義域[f(a),f(b)] (或[f(b),f(a)])上連續

三.一致連續性
1.定義:


2.一致連續性與連續性:

比如y=$\frac{1}{x}$在(0,1]上連續但不一致連續

3.一致連續性定理(定理4.9):

若f在閉區間[a,b]上連續,則f在[a,b]上一直連續

4.任意區間上一致連續性的充要條件:

若f(x)定義在區間I上,f(x)在I上一致連續的充要條件是:對?數列{x’_n},{x’'_n}?I,若$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }?x_n^{\prime \prime })=0$,則$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(x_n^{\prime })?f(x_n^{\prime \prime })]=0$


如:$f(x)=\frac{1}{x}(0<x\le 1)$,取$x_n^{\prime }=\frac{1}{n^n}\le 1$,$x_n^{\prime \prime }=\frac{1}{n}\le 1$,則$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }?x_n^{\prime \prime })=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^n}?\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$,但$\underset{n\to \infty }{\lim }[f(x_n^{\prime })?f(x_n^{\prime \prime })]=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^n?\underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty =0$,故$f(x)=\frac{1}{x}$在(0,1]上不一致連續

四.初等函數的連續性
1.初等函數的連續性
(1)基本初等函數的連續性(定理4.12):

一切基本初等函數都是其定義域上的連續函數

(2)初等函數的連續性(定理4.13):

任何初等函數都是其定義區間上的連續函數

2.證明
(1)三角函數連續性:

(2)反三角函數的連續性:

(3)冪函數:

–i.對多項式函數:

–ii.對具有整數次冪的冪函數:

–iii.對具有有理數次冪的冪函數:

–iv.對具有實數次冪的冪函數:

(4)指數函數:

–i.定理4.10:設a>0,α,β為?2個實數,則有a^α·a^β=a^α+β,(a^α)^β=a^αβ

–ii.定理4.11:指數函數a^x(a>0)在R上是連續的

(5)對數函數:

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学分析 函数的连续性(第4章)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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