琴生不等式，是由丹麥數學家約翰?延森（Johan Jensen）命名，也成為Jensen不等式或者詹森不等式。碼字不易，喜歡請點贊，謝謝！！！有問題隨時歡迎交流。

首先，對于如凸函數$f(x)$，對任意$0<=\alpha <=1$，有如下不等式成立：
$$\alpha f(x)+(1?\alpha )f(y)>=f(\alpha x+(1?\alpha )y)$$
如下圖所示。

現在我們證明對于凸函數$f(x)$來說，對任意${\lambda }_j>=0$，并且有${\sum }_{j=1}^J{\lambda }_j=1$，如下不等式成立：
$$\sum _{j=1}^J{\lambda }_{j}f(x_j)>=f(\sum _{j=1}^J{\lambda }_j{x}_j)$$
上面這個不等式就是著名的Jensen不等式。

證明：下面是Jensen不等式的證明
（1）首先對于$J=1$，很明顯不等式成立；
（2）對于$J=2$，由上面的凸函數圖可知，${\lambda }_{1}f(x_1)+{\lambda }_{2}f(x_2)>=f({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2)$，不等式成立；
（3）假設當$J=n$時，不等式成立，即${\sum }_{j=1}^n{\lambda }_{j}f(x_j)>=f({\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{x}_j)$
下面證明$J=n+1$時不等式成立即可：
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^{n+1}{\lambda }_{j}f(x_j)=& {\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+\sum _{j=1}^n{\lambda }_{j}f(x_j)\\ & ={\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+(1?{\lambda }_{n+1})\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1?{\lambda }_{n+1}}f(x_j)\\ & >={\lambda }_{n+1}f(x_{n+1})+(1?{\lambda }_{n+1})f(\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1?{\lambda }_{n+1}}{x}_j)\\ & >=f({\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}+(1?{\lambda }_{n+1})\sum _{j=1}^n\frac{{\lambda }_j}{1?{\lambda }_{n+1}}{x}_j)\\ & =f({\lambda }_{n+1}{x}_{n+1}+\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{x}_j)\\ & =f(\sum _{j=1}^{n+1}{\lambda }_j{x}_j)\end{array}$$
因此，當$J=n+1$時，不等式成立。

通過上面三步的即證明了Jensen不等式成立。

同樣可以證明：對于凹函數$f(x)$來說，對任意${\lambda }_j>=0$，并且有${\sum }_{j=1}^J{\lambda }_j=1$，如下不等式成立：
$$\sum _{j=1}^J{\lambda }_{j}f(x_j)<=f(\sum _{j=1}^J{\lambda }_j{x}_j)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Jensen不等式讲解与证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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