近期在路上進行了不少的思考，任何方面，任何領域…我會把這些記錄在手機的備忘錄里，然后在周末總結出來，早就成了習慣。

??近日對信息論，排隊論以及貝葉斯定理關注比較多，后二者可以完全改造TCP的擁塞控制機制，所以基礎還是要夯實的。本文描述一個基礎中的基礎，后續我會追加關于對這些基礎背后的一些哲學層面上的思考，但由于今天只是周四，就只能到周六了。

有人問一件事發生后所攜帶的信息量為什么要表示成事件發生概率的對數的形式，我在文章《不知為不知–信息論和最大熵原則》里面的香農的信息論一節中已經回答過了，這里再次列一下：

這里應該說的很明白了。之所以還是有人問，那是因為他們想知道為什么“第三點要求確定了對數關系”，依據是什么？本文我給出一個數學上的說明。

??首先把上述三點翻譯成數學語言：

設f(x)表示事件A發生時攜帶的信息量，其中x為事件A發生的概率，則有：

limr→0f(r)=+∞

f(1)=0

f(x1x2)=f(x1)+f(x2)??x1,x2∈(0,1]

然后這就成了一道我們都很熟悉的數學題：

已知f(x)定義域x∈(0,1]，可導，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，求f(x)。

是的，這是一個函數方程，把它解出來就是答案！說到這里，很多人就覺得容易了，我這里僅給出一個推導，實際的解法有太多。

令x=y=1，則有：
f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,顯然這是一個可推導出的結論。

由牛頓?萊布尼茲公式，有：

f(1)?f(x)

=∫1xf′(t)dt

=∫1xf(t+dt)?f(t)dtdt

=∫1xf(tt+dtt)?f(t)dtdt

=∫1xf(t)+f(1+dtt)?f(t)dtdt

=∫1xf(1+dtt)dtdt

=∫1xf(1+dtt)?f(1)dtdt

=∫1x1tf(1+dtt)?f(1)dttdt

由于limdt→0dtt=0,所以：

f(1)?f(x)=∫1x1tf′(1)dt??=>

0?f(x)=f′(1)∫1x1tdt,由于0<t≤1且f(1)=0，所以：

f(x)=?f′(1)lnx?? (x∈(0,1])

到此基本已經完成了推導，如果覺得底數為e不代表一般性，那么就來個換底公式歸一化一下：

f(x)=?f′(1)logaelogax