第八章 圖論及其應用

文章目錄

• 第八章 圖論及其應用
• • 8-1 圖的基本概念
  • • 8-1-1 圖
    • • 定義8-1.1
      • 定義8-1.2
      • 定義8-1.3
    • 8-1-2 結點的度
    • • 定義8-1.4
      • 定理8-1.1、8-1.2
      • 定義8-1.5、8-1.6
    • 8-1-3 圖的同構
    • • 定義8-1.7
    • 8-1-4 子圖和補圖
    • • 定義8-1.8
      • 定義8-1.9
  • 8-2 圖的連通性
  • • 8-2-1 路徑與回路
    • • 定義8-2.1
      • 定理8-2.1
    • 8-2-2 連通圖
    • • 定義8-2.2
      • 定理8-2.2
      • 定義8-2.3
      • 定義8-2.4
      • 定義8-2.5
      • 定義8-2.6
      • 定理8-2.3
      • 定義8-2.7
      • 定義8-2.8
      • 定理8-2.4
  • 8-3 圖的矩陣表示
  • • 8-3-1 圖的鄰接矩陣
    • • 定義8-3.1
      • 定理8-3.1
    • 8-3-2 圖的可達矩陣
    • • 定義8-3.2
  • 8-4 特殊圖
  • • 8-4-1 歐拉圖
    • • 定義8-4.1
      • 定理8-4.1
      • 推論8-4.1
      • 定理8-4.2
      • 推論8-4.2
    • 8-4-2 哈密頓圖
    • • 定義8-4.2
      • 定理8-4.3
      • 推論8-4.3
• ==充分條件==
• • • • 定理8-4.4
      • 推論8-4.4
      • 定義8-4.3
      • 定理8-4.5
      • 推論8-4.5
    • 8-4-3 二部圖
    • • 定義8-4.4
      • 定義8-4.5
      • 定理8-4.6
      • 定義8-4.6
      • 定理8-4.7
      • 定理8-4.8
    • 8-4-4 平面圖
    • • 定義8-4.7
      • 定義8-4.8
      • 定義8-4.9
      • 定理8-4.9
      • 推論8-4.6
• ==判斷平面圖的充要條件==
• • • • 定義8-4.10
      • 定義8-4.11
      • 定理8-4-10
      • 定理8-4-10

8-1 圖的基本概念

8-1-1 圖

定義8-1.1

一個圖G定義為一個三元組<V,E,$\psi$>，記作G=<V,E,$\psi$>。其中：

V是一個非空有限集合，元素v稱為圖G的頂點或結點；
E是和V沒有公共元素的有限集合，E可以是空集，元素e稱為圖G的邊；
$\psi$稱為關聯函數，是從E到V中的有序對或無序對的映射。
$\psi$(e)=(u,v)（無向邊）或$\psi$(e)=<u,v>（有向邊），稱e是關聯頂點u和v的，端點u和v是鄰接的。

有向圖：每條邊都是有向邊。
無向圖：每條邊都是無向邊。
混合圖：一些邊為有向邊，一些邊為無向邊。
有向圖的底圖或基礎圖：將一個有向圖中的每條有向邊都改為無向邊。
幾何圖形表示圖：

頂點：小圓圈表示
邊：有向或無向線段表示

自回路/環：關聯同一個結點的一條邊（或弧）
孤立結點：不關聯任何邊的結點。
平行邊：在有向圖中，兩結點間（包括結點自身）有多于一條同向的邊；在無向圖中，兩結點間（包括結點自身）有多于一條邊，則這幾條邊稱為平行邊。
重邊：兩結點間相互平行的邊的條數稱為該平行邊的重數。

定義8-1.2

零圖：僅有孤立結點的圖。
平凡圖：一個圖中只含一個孤立結點。

定義8-1.3

多重圖：含有平行邊的圖。
線圖：不含環的圖。
簡單圖：既無平行邊也無環。

8-1-2 結點的度

定義8-1.4

在有向圖G=<V,E>中，對任意結點v$\in$V，以v為起點的邊的條數，稱為結點v的出度，記作d⁺(v)；以v為終點的邊的條數，稱為v的入度，記作d^-(v)；結點v的出度和入度之和，稱為結點的度數（或次數），記作d(v),d(v)=d⁺(v)+d^-(v)。在無向圖G=<V,E>中，結點v$\in$V的度數等于關聯它的邊數，也記作d(v)。
環結點度數加2，孤立點度數為0.
奇結點：度數為奇數的結點。
偶結點：度數為偶數的結點。

定理8-1.1、8-1.2

所有頂點度數之和為邊數的兩倍
有向圖中，入度=出度
任何圖中，奇結點的數目必為偶數個。

定義8-1.5、8-1.6

k度正則圖：在無向圖G=<V,E>中，每個結點的度是k。
無向完全圖：在無向簡單圖G=<V,E>中，V中的任何結點都與其余的結點鄰接。記作K_|V|。若|V|=n，則該圖記作K_n。K_n有C$\stackrel{2}{n}$=n(n-1)/2條邊。

8-1-3 圖的同構

定義8-1.7

設G₁=<V₁,E₁>和G₂=<V₂,E₂>同為無向圖或有向圖，若存在V₁到V₂的雙射f：V₁$\to$V₂，使得(u,v)$\in$E₁$?$(f(u),f(v))$\in$E₂（對無向圖）或<u,v>$\in$E₁$?$<f(u),f(v)>$\in$E₂（對有向圖）且對應重數相同，則稱G₁和G₂是同構的，記作G₁$?$G₂。
同構：兩個圖結點之間具有一一對應關系，而且這種對應關系保持了結點間的鄰接關系和邊的重數，對有向圖還要求保持邊的方向。
兩個圖同構的必要條件：

有相同的結點數目
有相同的邊數
度數相同的結點數目相同
有相同重數的邊數相同

8-1-4 子圖和補圖

定義8-1.8

給定圖G₁=<V₁,E₁>和G₂=<V₂,E₂>，它們同為無向圖或有向圖。

子圖：V₂$?$V₁和E₂$?$E₁，且E₂中邊的重數不大于E₁中同邊的重數，稱G₂為G₁的子圖，記作G₂$?$G₁。
真子圖：V₂$?$V₁和E₂$?$E₁，或E₂中某邊的重數小于E₁中同邊的重數，那么稱子圖G₂為G₁的子圖，記作G₂$?$G₁。
生成子圖：V₂=V₁和E₂$?$E₁，那么稱G₂為G₁的生成子圖，記作G₂$?$G₁（V1=V2）。
導出子圖：V₂$?$V₁,V₁$=$$?$,E₂是以V₂中結點為端點的E₁中的邊組成的，那么稱G₂為G₁的由V₂導出的導出子圖，記作G₁[V₂]。
導出子圖：E₂$?$E₁，V₂是E₂的結點集，那么稱G₂為G₁的由E₂導出的導出子圖，記作G₁[E₂]。

定義8-1.9

設G=<V,E>是n階簡單無向圖，若存在圖G₁=<V,E₁>也有同樣的結點，并且E₁$?$E=$?$和E₁是由n階完全圖的邊刪去E所得，則稱G₁相對完全圖的G的補圖，簡稱G₁是G的補圖，并記作G₁=$\overline{G}$。
自補圖：G$?$$\overline{G}$.

8-2 圖的連通性

8-2-1 路徑與回路

定義8-2.1

設G=<V,E>是無向圖。
1.

路徑：稱一個頂點與邊的交替序列u=v₀e₁v₁e₂…e_lv_l是G中一條從起點v₀到終點v_l的路徑，簡稱路。
v₀和v_l分別稱為路的起點和終點，邊的數目稱為路的長度，記作|u|。
開路回路：當v₀=v_l時，稱u為回路（或閉路、圈），否則稱u為開路。
子路：u的子序列為路，則稱為u的子路。

簡單路（或鏈、跡）：路的邊互不相同。
基本路（或基本鏈）：出現的結點都是不相同的。
特別的，任何結點到自身都有長度為0的基本路。
顯然，每條基本路必定是簡單路。

簡單回路（或簡單圈）：在一個回路中，出現的邊互不相同。
基本回路（或基本圈）：在一個回路中，每個結點恰好出現一次。

定理8-2.1

設G=<V,E>是n階無向圖，則
1.任何基本路的長度均不大于n-1；
2.任何基本回路的長度均不大于n。

8-2-2 連通圖

定義8-2.2

設G是無向圖，若結點u與結點v之間存在任何一條通路，則稱結點u與結點v是連通的。若G中任意不同的兩個結點之間都是連通的，則稱G是連通圖，否則稱G是分離圖或非連通圖。

定理8-2.2

無向圖G中，結點間的連通關系是結點集上的等價關系。
圖G是連通圖當且僅當圖G連通分支的個數$\omega$(G)=1。

定義8-2.3

設u、v是無向圖G中的任意兩個結點，若u和v是連通的，則u和v之間的長度最短的一條通路稱為u與v之間的短程線。短程線的長度稱為u和v之間的距離，記作d(u,v)。若u與v不連通，則d(u,v)=$\infty$。

定義8-2.4

設G=<V,E>為連通無向圖，S$?$V。
1.若導出子圖G-S不連通，但$?$T$?$S時，導出子圖G-T都連通，則稱S是G的一個點割集。
2.若點割集S={v}，則稱v是G的割點。

定義8-2.5

設G=<V,E>為連通無向圖，S$?$E。
1.若導出子圖G-S不連通，但$?$T$?$S時，導出子圖G-T都連通，則稱S是G的一個邊割集。
2.若邊割集S={e}，則稱v是G的割邊或橋。

定義8-2.6

設G是有向圖，若結點u到結點v之間存在任何一條有向路，則稱結點u到結點v是可達的。可達性是有向圖結點集上的二元關系，具有自反性、傳遞性，一般不是對稱的。

定理8-2.3

在有向圖G中，結點間的雙向可達關系是結點集上的等價關系。

定義8-2.7

在有向圖G中，若G中任何兩個結點間都是相互可達的，則稱G是連通的；若任何兩個結點間，從某一個結點可達另一個結點，則稱G是單向連通的；若有向圖G不是單向連通的，但其基礎圖是連通的，則稱G是弱連通的；若有向圖G的基礎圖不連通，才稱G是分離的或非連通的。

定義8-2.8

設G₁是有向圖G的子圖。若G₁是強連通的（單向連通的，弱連通的），但在G₁中任意增加原圖的一些邊或一些結點，所得子圖便不再是強連通的（單向連通的，弱連通的），則稱G₁是有向圖G的一個強分圖（單向分圖，弱分圖）。

定理8-2.4

有向圖G中
1.任意結點恰位與一個強分圖中。
2.任意結點恰位與一個弱分圖中。
3.任意結點至少位與一個單向分圖中。

8-3 圖的矩陣表示

8-3-1 圖的鄰接矩陣

定義8-3.1

給定圖G=<V,E>，V={v₁,v₂,…v_n}，V中結點按下標由小到大排序，則n階方陣A(G)=(a_ij)_nxn稱為圖G的鄰接矩陣。其中：

1.若G為有向圖，則a_ij=k$?$<v_i,v_j>在E中出現k次，i、j=1,2,…n；
2.若G為無向圖，則a_ij=k$?$(v_i,v_j)在E中出現k次，i、j=1,2,…n。

鄰接矩陣的性質：

若鄰接矩陣的元素全為0，則其對應的圖是零圖；
若鄰接矩陣的元素除主對角線元素為0以外全為1，則其對應的圖是連通的且為簡單完全圖。
若給定的圖是簡單圖，其鄰接矩陣是布爾矩陣。
若給定的圖是無向圖，其鄰接矩陣是對稱矩陣。
若給定的圖是無自回路圖，其鄰接矩陣的主對角線元素全為0。

定理8-3.1

設A^l=(a$\stackrel{l}{\mathrm{ij}}$)_nxn表示圖G的鄰接矩陣的l次冪，則其中的i行j列元素a$\stackrel{l}{\mathrm{ij}}$表示G中由v_i到v_j的長度為l的路的數目。

8-3-2 圖的可達矩陣

定義8-3.2

給定圖G=<V,E>，將其結點按下標排序得V={v₁,v₂,…v_n}。定義P(G)=(p_ij)_nxn為圖G得可達矩陣。其中
$$pij=\{\begin{array}{l}1,vi到vj可達\\ 0,vi到vj不可達\end{array}$$
可達矩陣的求解：
1.令B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ,再將B_n中的非零元素改為1而0不變。
2.令A(G)=(a_ij)_nxn為圖G的鄰接矩陣，定義A⁽¹⁾(G)=(e_ij)_nxn，其中
$$eij=\{\begin{array}{l}1,aij=0\\ 0,aij=0\end{array}$$
再定義A⁽²⁾(G)=(e⁽²⁾_ij)_nxn，其中e⁽²⁾_ij=$?$ⁿ_r=1(e_ir$?$e_rj)
符號$?$、$?$表示取大運算和取小運算，運算規則與命題真值的析取、合取運算完全相同
P(G)=I_v$?$A$?$A⁽²⁾$?$A⁽³⁾…$?$A⁽ⁿ⁾
P^T=(p_ij)是P的轉置矩陣，通過矩陣P$?$P^T求出圖G的強分圖。

8-4 特殊圖

8-4-1 歐拉圖

定義8-4.1

設G=<V,E>是連通圖（無向的或有向的）。G中經過每條邊一次且僅一次的通路（回路）稱為歐拉通路（回路）；具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。

定理8-4.1

連通的非平凡的無向圖G具有歐拉通路，當且僅當G具有0個或2個奇數度數的頂點。

推論8-4.1

連通的非平凡的無向圖G具有歐拉回路，當且僅當G無奇數度數的頂點。

定理8-4.2

連通的非平凡的無向圖G具有歐拉通路，當且僅當G中除兩個例外頂點外每個頂點的入度都等于出度。對于這兩個例外頂點，它們可能全部入度等于出度；可能一個頂點的入度比出度大1，另一個頂點的入度比出度小1.

推論8-4.2

連通的非平凡的無向圖G具有歐拉回路，當且僅當G中所有頂點的入度等于出度。

8-4-2 哈密頓圖

定義8-4.2

設G=<V,E>是連通圖（無向的或有向的）。G中經過每個頂點一次且僅一次的通路（回路）稱為哈密頓通路（回路）；具有哈密頓回路的圖稱為哈密頓圖。

定理8-4.3

設無向圖G=<V,E>為哈密頓圖，V₁是V的任意真子集，則p(G-V₁)$\le$|V₁|，其中，p(G-V₁)為從G中刪除V₁后所得圖的連通分支數。

推論8-4.3

有割點的圖一定不是哈密頓圖。

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充分條件

定理8-4.4

設G是n(n$\ge$ 3)階無向簡單圖，若對G中每一對不鄰接的頂點u、v，均有d(u)+d(v)$\ge$ n-1，則G中存在哈密頓通路。又若d(u)+d(v)$\ge$ n，則G中存在哈密頓回路，即G為哈密頓圖。

推論8-4.4

設G是n(n$\ge$ 3)階無向簡單圖，G中頂點的最小度數大于等于n/2，則G是哈密頓圖。

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定義8-4.3

G有n個頂點，在G中，逐一連接其度數之和至少是n的非鄰接頂點對，直到不再有這樣的頂點對時為止，這樣得到的圖稱為G的閉包，記作C(G)。

定理8-4.5

無向圖G時哈密頓圖，當且僅當G的閉包C(G)是哈密頓圖。

推論8-4.5

設G是n(n$\ge$ 3)階無向簡單圖，若C(G)是完全圖，則G是哈密頓圖。

8-4-3 二部圖

定義8-4.4

若能將無向圖G=<V,E>的頂點集V分成兩個不相交的子集V₁和V₂（即V₁$\cap$ V₂=$?$且V₁$\cup$ V₂=V），使得G中任何一條邊的兩個端點一個屬于V₁，另一個屬于V₂，則稱G為二部圖，記作G=<V₁,V₂,E>。其中V₁、V₂稱為互補頂點集。

定義8-4.5

若G是二部圖，V₁中任意頂點與V₂中任意頂點均有且僅有一條邊相關聯，則稱二部圖G為完全二部圖。若|V₁|=r，|V₂|=s，則記完全二部圖K_r,s。
在完全二部圖K_r,s中，它的頂點數n=r+s，邊數m=rs。

定理8-4.6

無向圖G是二部圖當且僅當G中無奇數長度的回路。

定義8-4.6

設二部圖G=<V₁,V₂,E>,E^’$?$ E。
1.若E^’中的邊互不鄰接，則稱E^’是G的匹配。
2.設|V₁|$\le$|V₂|,E^’是G的匹配，若|E^’|=|V₁|，則稱E^’是V₁到V₂的完備匹配。

定理8-4.7

設二部圖G=<V₁,V₂,E>，其中|V₁|$\le$|V₂|，則G中存在V₁到V₂的完備匹配當且僅當V₁中任意k（k=1，2，…，|V₁|）個頂點至少與V₂中的k個頂點鄰接。這個條件稱為“相異性條件”，是二部圖存在完備匹配的充要條件。

定理8-4.8

設二部圖G=<V₁,V₂,E>，其中|V₁|$\le$|V₂|，若存在正整數t，使得V₁中每個頂點至少關聯t條邊，且V₂中每個頂點至多關聯t條邊，則G中存在V₁到V₂的完備匹配。這個條件稱為“t條件”，是二部圖存在完備匹配的充分條件。

8-4-4 平面圖

定義8-4.7

圖G那能以這樣的方式畫在平面上：除頂點處處沒有邊交叉出現。則稱G為平面圖。畫出的沒有邊交叉出現的圖稱為G的平面嵌入或平面表示。無平面嵌入的圖稱為非平面圖。

定義8-4.8

設G是一個平面圖，G的邊將所在的平面劃分為若干區域，每個區域稱為G的一個面。其中面積無限的區域稱為無限面或外部面，面積有限的區域稱為有限面或內部面。邊界的長度為面的次數，記作deg?。

定義8-4.9

設G是一個簡單平面圖，如果在G的任意不鄰接的頂點之間再加一條邊，所得圖為非平面圖，那么稱G為極大平面圖。
極大平面圖的性質：

極大平面圖是連通的。
n(n$\ge$ 3)階平面圖是極大平面圖的充要條件是它的每個面都由3條邊圍成。

定理8-4.9

（歐拉公式）設G為任意連通的平面圖，則n-m+r=2。
n：頂點數 m：邊數 r：面數

推論8-4.6

若G是n(n$\ge$ 3)階m條邊的簡單連通平面圖，則m$\leq$3n-6。

判斷平面圖的充要條件

定義8-4.10

若兩圖G₁、G₂同構，或經過反復插入或刪除度數為2的頂點后同構，則稱G₁和G₂同胚。

定義8-4.11

圖G的一個初等收縮由如下方法得到：刪除G中兩個鄰接的頂點v_i、v_j即邊(v_i,v_j)，用一個新的符號$\omega$替代，使它鄰接所有鄰接與v_i、v_j的頂點。一個圖G可以收縮到圖H，即指H可以從G經過一系列初等收縮得到。

定理8-4-10

一個圖是平面圖當且僅當它不含與K₅或K_3,3同胚的子圖。

定理8-4-10

一個圖是平面圖當且僅當它沒有可以收縮到K₅或K_3,3的子圖。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学-第八章图论及其应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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