題號

答案

知識點與備注

填空題

1

題目有誤

自補圖的定義

2

n1n2; n1m2+n2m1

積圖的定義

3

2^m

生成子圖的定義

4

n

鄰接譜的含義與計算；

過程如下：

5

因為完全且等部，故每部頂點數為(n/l),任意兩部之間的邊數為(n/l)^2, 再乘上2Cl=l(l-1)/2即可

6

8

?

最小生成樹算法

7

C1,6和C2,6

度極大非H圖族的定義：n<m/2

某些答案給出的也有C3,6，根據書上定義C3,6是錯誤的

8

4

不同的2因子分解的數目十分復雜，考試算出來不現實，書上和PPT也沒有講過，故本題應理解為1個2因子分解中有多少邊不重的二因子，即為4個。

9

n-2; m=3n-6.

書上定理。

n-2:由數學歸納證明。

m=3n-6: 由

A. 2m=3Φ；

B. 歐拉公式

聯立即可得證

10

3；4

點色數：

存在奇圈，故大于等于3；又能找到3故為3；

邊色數：

彼得森圖無1因子分解(去掉一個一因子后剩下兩個5點圈，故不能1因子分解)，所以邊色數>=4. 又能找到邊色數=4的作色，故為4.

選擇題

1

D

圖序列的判定(充要條件)

2

A

強連通圖的定義

3

D

Qn是n正則偶圖；

n正則(n>0)偶圖必存在完美匹配(證明時先證兩部頂點數相同，之后X中任意集S關聯邊集為E1，N(S)關聯邊集為E2，則E1包含于E2，故E1邊數=k|S|小于等于E2邊數=k|N(S)|，故Hall定理有飽和X的匹配，又頂點數相同，故有完美匹配。)

4

C

由對偶圖做法，AB顯然；

C成立當且僅當G連通;

D是定理，證明：

通過對任意兩點構造一條曲線來證明，將面邊序列轉換為點邊序列。

大題

三

握手定理+樹m=n-1

得樹根度數為3

四

反證法

設e=uv為割邊，則去掉e后對G1用握手定理，

得總度數和為奇數，不是2m，矛盾！

故沒有割邊

五

(1) 在G中刪掉一點v(任意的)得圖G1;

(2) 在圖G1中求出一棵最小生成樹T;

(3) 在v的關聯邊中選出兩條權值最小者e1與e2.

若H是G的最優圈，則：

W(H)>=W(T)+W(e1)+W(e2)

理由：見課本P88最后一段

設C為最優哈密爾頓圈，

則對任意頂點v，C-v是最優哈密爾頓路，也是G-v中的生成樹

因此，若T是G-v的最小生成樹，同時e和f是和v關聯的兩條邊，并使得w(f)+w(e)盡可能小，則W(T)+W(e)+W(f)將是一個下界。

六

雖然本題和Hall定理不同，但完全可以參照Hall定理來證明。

必要性：

設M*是完美匹配，則對于V的任意子集S，由于S的頂點在M下和N(S)中的相異頂點配對，故顯然有|N(S)|>=|S|.

充分性：

可通過Hall定理的證明來證明；或者直接使用Hall定理：

對X的任意子集S，因為|N(S)|>=|S|,故能夠飽和X的所有頂點；|X|<=|Y|

對Y的任意子集S，因為|N(S)|>=|S|,故能夠飽和Y的所有頂點；|Y|<=|X|，|X|=|Y|

因此，存在完美匹配。

七

由握手定理+歐拉公式：

m<=3Φ-6；

反證，若deg(f)>=6

由面的次數定理得2m>=6Φ

矛盾！

八

點色數

有K3，故點色數>=3

可找到，故點色數=3

分組略

九

2[k]3+3[k]4+[k]5

過程略，建議理想子圖計數法