題號

答案

知識點與備注

填空題

1

nk/2

握手定理

2

11

按邊分類討論

3

r*s

歐拉環游至少要走完所有的邊，又因為都是偶數，因此可以只走所有的邊一次，總邊數是rs

4

h+1

除了根節點只有根節點，最后一層只有葉子外，其他層都是一個分支點，一個葉子節點。即為h固定時樹葉最少的情況。為h+1.

注意樹的高度是指v到根節點的最大距離！

5

4

畫圖后顯然。

6

1

同胚不改變平面性。因此問題等價為K5最少刪掉幾條邊后可平面。即1

7

α

哥尼定理：

定理2 (哥尼，1931) 在偶圖中，最大匹配的邊數等于最小覆蓋的頂點數。

該定理的證明和Hall定理的證明很像：剛開始都是設G=(X, Y) , M*是偶圖G的最大匹配。U表示X中M*非飽和點集。Z表示由M*交錯路連到U的頂點的所有路上的點作成的集合。且令S=Z∩X, T=Z∩Y。

8

5

(6*5/2)/(6/2)

9

3

顯然

10

3

因為有奇圈，故大于等于3.又因為存在3，故為3

選擇題

1

B

A：由點獨立集的定義：設G是一個圖。由G中若干互不鄰接的頂點作成的子集稱為G的一個點獨立集（如完全偶圖Km,n的點獨立集就是max{m,n}）.可知，A正確。

B: 顯然錯誤，如G是K3；

C：5 mod 4為1，是0或1中的一個。所以存在。

D: 4階圖的補圖一定是簡單圖，而4階簡單圖一定是可平面圖。

2

D

A,B,C:均不含奇圈。

D：偶圖可以是只有兩個點的空圖。

3

C

A: 連通度一定大于等于2；

B: 錯，如K2

C： 定理5 若|V(G)|≧3,則G是塊，當且僅當G無環且任意兩頂點位于同一圈上。證明很復雜。

D: 單點自環是塊。

4

C

A: δ>=n/2, 則任意兩個不相鄰的店u和v都滿足d(u)+d(v)>=n. 考慮它的閉包G’：相鄰的點已經相鄰，不相鄰的點又有d(u)+d(v)>=n，但由閉包定義，d(u)+d(v)>=n的點必然相鄰。故閉包所有點都相鄰，是完全圖。

B：正確，證明同A。

C：錯誤，如K3加上一個自環。

D: 正確。證明時必要性顯然；充分性則考慮G是H圖當且僅當G+為了閉包而添加的邊是H圖，不斷以此類推即可證明。

5

B

A:正確；

B: 外平面顯然不是；

C：正確，但原因未知！

D：正確，證明：由對偶圖的定義知，平面圖G與其對偶圖G*嵌入在同一平面上，當G連通時，容易知道：G*的無界面 f **中僅含G的唯一頂點v,而除v外，G中其它頂點u均與G*的有限面形成一一對應，于是，G中頂點和G**頂點在這種自然對應方式下一一對應，且對應頂點間鄰接關系保持不變，故：二者同構。

?

大題

三

鴿籠原理

或

反證法，dn>=n與dn<=n-1矛盾

四

（1略）；（2）20；

（3）不止兩個奇數度點時，加邊應滿足如下兩個條件(充要條件)：(1) G的每條邊在W中最多重復一次；(2) 對于G的每個圈上的邊來說，在W中重復的邊的總權值不超過該圈非重復邊總權值。

最短路算法，最小生成樹算法，中國郵路問題

五

握手定理+樹中邊與點的關系

六

(1)略

(2)不能。

取S={ACEF}

N(S)={acf}

由Hall定理可知不存在飽和X的匹配。

七

點著色，以學生(答辯場次)為節點。

有K4，故點色數>=4;

又A5與與K4所有頂點都相連，故點色數>=5

經嘗試，可以為5，所以點色數為5.

安排略。

八

(理想子圖計數法)

2[k]3+6[k]4+5[k]5+[k]6