圖和簡(jiǎn)單圖：

一個(gè)圖就是，由一個(gè)表示具體事物的點(diǎn)的集合，和表示事物之間聯(lián)系的一些線的集合所構(gòu)成。

平凡圖：只有一個(gè)點(diǎn)而無(wú)邊的圖。

空?qǐng)D：邊集為空的圖。

假設(shè)u和v是e的端點(diǎn)，稱u與e相關(guān)聯(lián)。

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圖的同構(gòu)：

且和的重?cái)?shù)相同。

等價(jià)類：按照同構(gòu)關(guān)系可劃分。

商集：所有等價(jià)類為元素構(gòu)成的集合。

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完全偶圖：具有二分類（X,Y）的簡(jiǎn)單偶圖，其中X的每個(gè)頂點(diǎn)與Y的每個(gè)頂點(diǎn)相連。

補(bǔ)圖：

對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單圖G=(V,E)，令集合，則圖稱為G的補(bǔ)圖。

ps：這里E和E1的邊加起來(lái)，就是完全圖的邊數(shù)。

ps：因?yàn)槭亲匝a(bǔ)圖，自己和自己的補(bǔ)圖同構(gòu)，邊數(shù)當(dāng)然是一樣的啦。

取模運(yùn)算，商偏向于負(fù)無(wú)窮方向。去余運(yùn)算，商偏向于0方向。

a ≡ b (mod p)，表明a和b對(duì)p取模，它們余數(shù)相等。

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頂點(diǎn)的度，度序列：

奇點(diǎn)：奇數(shù)度的頂點(diǎn)；偶點(diǎn)：偶數(shù)度的頂點(diǎn)。

k正則圖：每個(gè)點(diǎn)的度數(shù)都為k。如：完全圖和完全偶圖均是正則圖。

握手定理：

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ps：因?yàn)榭偟亩葦?shù)為偶數(shù)。偶點(diǎn)無(wú)論怎么加都為偶數(shù)，奇點(diǎn)要加夠偶數(shù)個(gè)，才為偶數(shù)。

ps：k為奇數(shù)，則圖的所有點(diǎn)都為奇點(diǎn)，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，也就是階數(shù)為偶數(shù)。

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ps：當(dāng)△（G）＜n-1時(shí)，?所有的度可能的情況都在括號(hào)里了。當(dāng)△（G）=n-1時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)范圍在最小度到最大度之間，這個(gè)長(zhǎng)度的范圍是，又有△（G）+1=n，減去δ就肯定＜n了，那肯定有頂點(diǎn)重復(fù)。

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子圖與圖的運(yùn)算：

子圖：頂點(diǎn)集是子集、邊集也是子集，而且子圖中的邊的重?cái)?shù)不超過(guò)G中對(duì)應(yīng)邊的重?cái)?shù)。

生成子圖：頂點(diǎn)集相同的子圖。

導(dǎo)出子圖：提取出一個(gè)頂點(diǎn)集，和這些頂點(diǎn)集相關(guān)聯(lián)的邊的子圖。

相關(guān)記法：G[V']；G[V\V']是除去V'頂點(diǎn)及相關(guān)聯(lián)的邊，也有G-V’

邊導(dǎo)出子圖：提取出邊集，和這些邊的端點(diǎn)，的子圖。

相關(guān)記法：G[E']；G[E\E']，也有G-E'

并圖：G1∪G2，頂點(diǎn)集和邊集都要并，也記為G1+G2。

交圖：G1??G2，至少要有一個(gè)公共頂點(diǎn)。

差：G1-G2，由G1中去掉G2中的邊組成的圖。

對(duì)稱差：

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聯(lián)圖：G1和G2不能相交，把G1的每個(gè)頂點(diǎn)和G2的每個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)，記為G1VG2。

K1VK2=K5，K2VK3=K5

積圖：對(duì)頂點(diǎn)集V=V1 X V2，得到u=(u1,u2)，v=(v1,v2)

若u1=v1，u2和v2在原圖中鄰接，或者u2=v2，u1和v1在原圖中鄰接，則u和v連線。

G=G1 X G2

運(yùn)算后，點(diǎn)和邊的數(shù)目統(tǒng)計(jì)：

ps：積圖邊的數(shù)目，G1頂點(diǎn)數(shù)n1要和G2的頂點(diǎn)數(shù)n2做積，因此n1每個(gè)點(diǎn)要負(fù)責(zé)m2條邊的連接。

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路與圖的連通性：

跡：途徑中的邊，互不相同。

路：途徑是跡，且頂點(diǎn)也互不相同。

連通是頂點(diǎn)集V上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，可將V劃分為一些等價(jià)類。

可得，連通分支的概念，連通分支個(gè)數(shù)，記為(G)，連通圖?(G)=1。

ps：通過(guò)證明任意兩點(diǎn)都是連通的方式，來(lái)證明G的補(bǔ)圖是連通圖。

閉跡：稱為回路。

圈：起點(diǎn)與內(nèi)部頂點(diǎn)互不相同。長(zhǎng)為k的圈稱為k圈；根據(jù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)，則稱k圈是奇圈和偶圈。

直徑：一個(gè)圖中，最長(zhǎng)的距離。

ps：在必要性的證明中，圈的長(zhǎng)度為k-1，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，則圈就為偶圈。

在充分性的證明中，先根據(jù)距離的奇偶性劃分為兩個(gè)集合X和Y，再證明（X,Y）是個(gè)二分類，即它們集合內(nèi)部，任意兩點(diǎn)都不相連。具有相同奇偶性的數(shù)相加，必為偶數(shù)。

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最短路及其算法：

Dantijg算法（頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)法）：

ps: Ti為a1到ai的最短路上的邊集合；Ai為已經(jīng)標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)集合；t(an)表示an的標(biāo)號(hào)值，a1到an的最短路長(zhǎng)度。

步驟2做的事情：

遍歷每個(gè)已標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)an。找出：某個(gè)已標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)an的，未標(biāo)號(hào)鄰點(diǎn)。然后算出：某個(gè)已標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)an，到其最近鄰點(diǎn)距離。不但要找出l最小，還要使得步驟3中的，t+l最小。

步驟3做的事情：

可以得出某個(gè)已標(biāo)號(hào)頂點(diǎn)使得，根據(jù)步驟2，算出的各個(gè)最小值中，再找出最小值，然后做相應(yīng)的更新。

好的圖論算法：若在如何一個(gè)具有m條邊的n階圖G上，實(shí)施這個(gè)算法所需要的計(jì)算步數(shù)，都可由n和m的一個(gè)多項(xiàng)式為其上界。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是Bellman，作為多階段決策過(guò)程而研究出來(lái)的。

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圖的代數(shù)表示及其特征：

鄰接矩陣：若節(jié)點(diǎn)間相鄰，則為1，否則為0；

ps：推論1中，自身到自身，有兩個(gè)方向可走。因此，可得出度數(shù)和三角形數(shù)目的兩倍。

關(guān)聯(lián)矩陣：

某點(diǎn)vi與邊ej有關(guān)聯(lián)時(shí)，則，否則為0。

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極圖：

l部圖：將點(diǎn)集V劃分為l個(gè)互不相交的集合，且每個(gè)集合內(nèi)的點(diǎn)，互不相連。

l=2時(shí)，G為偶圖；n階圖必為n部圖。

若，因此，部圖也是部圖。

ps：個(gè)集合里的任一個(gè)集合都是互不相連的，因此，可任選一些集合來(lái)繼續(xù)劃分至，集合數(shù)量達(dá)到。

完全l部圖：每個(gè)集合內(nèi)的點(diǎn)，都和其它集合里的點(diǎn)，均有邊相連。

完全l部圖可表示為：

它顯然有：和條邊。

n階完全l幾乎等部圖：

對(duì)于一個(gè)n個(gè)點(diǎn)的完全l部圖G中：

有：，因?yàn)?#xff0c;k(l-r)+r(k+1)=kl+r的形式。

所以記為：

ps:若u的選取，在V1中，則v要經(jīng)過(guò)V2中的點(diǎn)，才能到達(dá)u。

ps：當(dāng)n1=n2=n/2時(shí)，能使m=n1*n2達(dá)到最大。

?ps:若是要邊數(shù)最多，則必定要是個(gè)完全l部圖，完全l幾乎等部圖意味著每個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)接近相等，若每個(gè)集合里元素相等，則必定是完全l幾乎等部圖。

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H的度序列優(yōu)于G，或者是，G的度序列弱于H，表示的是：有一個(gè)映射μ，使得G中的任何點(diǎn)u，有關(guān)系成立。

ps：若G度弱于H，一定有：m(G)≤m(H)。

? ?

?ps：先取出最大度的那個(gè)頂點(diǎn)u，再取出u的所有的鄰接點(diǎn)的導(dǎo)出子圖G1。G1要是含有，則 u V G1，就是了。

V2應(yīng)包含u點(diǎn)，則G2VG1的邊數(shù)不少于G。

ps：只能導(dǎo)出G1這么多個(gè)頂點(diǎn)，之后，通過(guò)v點(diǎn)能導(dǎo)出更多個(gè)頂點(diǎn)。

因?yàn)镚度弱于，度弱于，而G和H有相同的度序列，則G和有相同的度序列。

因?yàn)橹?#xff0c;V1每個(gè)點(diǎn)和V2每個(gè)點(diǎn)相連，G和有相同的度序列，那在G中，V1和V2肯定也是互相的。

和有相同的度序列，G1和H1連接G2中的點(diǎn)的邊數(shù)是一樣的，因此G1和H1的度序列也必須是相等。

歸納假設(shè)是：G1不含，且度弱于完全t-1部圖H1，且G1與H1有相同的度序列，則同構(gòu)；

因此推導(dǎo)出，做聯(lián)圖后，和也同構(gòu)。

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托蘭定理：

ps：定理18說(shuō)明，完全l部圖的邊數(shù)肯定 ≤ 完全l幾乎等部圖。

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托蘭定理的應(yīng)用：

排雷模型：在任意的兩個(gè)人之間的距離不超過(guò)g米的條件下，距離大于等于h米的人數(shù)對(duì)最多能達(dá)到多少對(duì)。

平面點(diǎn)集A的直徑：指A中點(diǎn)對(duì)的距離的最大值，其中距離是指歐式距離。

建立模型：計(jì)算在直徑為g的點(diǎn)集中最多有多少點(diǎn)對(duì)，其距離大于h。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《图论及其应用》学习笔记（图和简单图）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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