題號

答案

知識點與備注

填空題

1

n-1-δ

自補圖的定義

2

n1n2; n1m2+n2m1

積圖的定義

3

n

圖的鄰接矩陣的性質

4

n-1

圖的鄰接譜的定義和計算

5

4

按邊數分類討論

6

n-k

單個連通分支有m=n-1,故相加后為m=n-k

7

1;1;2;Δ

?

最小度為1，故點連通度、邊連通度均為1；

偶圖，故點色數2；最大度為Δ+偶圖，故邊色數為Δ

8

k

k連通的另一種定義方法

定理2 (惠特尼1932) 一個非平凡的圖G是k (k≧2)連通的，當且僅當G的任意兩個頂點間至少存在k條內點不交的(u ,v)路。

9

C1，5；C2,5

度極大非哈密爾頓族的定義；

n<m/2；

10

2n-1

由2n*(2n-1)/(2*n)計算

11

6；2n-4;(n-2)

歐拉公式；歐拉公式+m=3n-6; (n-2)可由數學歸納法進行證明

12

max{m,n}; min{m,n}

由點獨立數和點覆蓋的定義可得。

13

2mi或2(t+i-1)或mi+t+i-1

由握手定理+完全m元樹的定義和度數

14

2^m

每條邊都有兩種定向可能。

選擇題

1

C

未要求度序列，故和為偶數即可

2

D

B:可能是森林，添加一條邊后有回路。

AC顯然。

D:n階連通圖G至少有n-1條邊，此時沒有圈，即為樹

3

A

B:是歐拉路(1筆畫)的條件；

C：同B；

D：是樹，不是歐拉圖

4

B

H圖1必要，4充分，1充要。題中條件為充分條件。

5

A

A：都不含奇圈，故為偶圖；

B：有H圈的3正則圖才都可以1因子分解。證明：先從三正則圖G中抽取H圈，顯然剩下邊構成G的一個一因子。而H圈是偶圈，它顯然可以分解為兩個一因子。所以G可以分解為3個一因子。

C：不一定成立，但C的逆命題是對的；

D：只有G是連通圖時D才正確

大題

三

握手定理+點數等式

還有3個度為2的點，最少節點個數為9

四

(1)略(2)13

最短路算法；最小生成樹算法

五

不能。

考慮孫李周|S|=3;其鄰接點集為物理數學，即|N(S)|=2。由Hall定理，不存在飽和X的匹配，所以不能。

六

最優匹配部分課本/PPT原題；

設M*是最優匹配，則其權重等于各點標號l(v)之和；

又設M是任意匹配，則其權重小于等于等于各點標號l(v)之和；

所以M*權重>=M的權重，故為最優匹配。

七

反證。若δ(G)>=6

由握手定理：2m>=6n;

由簡單平面圖：m<=3n-6.

矛盾！

八

以課程為點，點染色。

因為存在奇圈，故點色數大于等于3；

又因為存在點LA與奇圈上任意一點都相連，故點色數大于等于4.

經驗證存在點色數為4的方案。

九

[k]3+2[k]4+[k]5

建議理想子圖計數法