第六章 平面圖

一、平面圖概念與性質

(一)、平面圖的概念

定義1 如果能把圖G畫在平面上，使得除頂點外，邊與邊之間沒有交叉，稱G可以嵌入平面，或稱G是可平面圖。可平面圖G的邊不交叉的一種畫法，稱為G的一種平面嵌入，G的平面嵌入表示的圖稱為平面圖。

注: (1) 可平面圖概念和平面圖概念有時可以等同看待；

(2) 圖的平面性問題主要涉及如下幾個方面：

? 1) 平面圖的性質；

? 2) 平面圖的判定；

? 3) 平面嵌入方法(平面性算法) ;

? 4）涉及圖的平面性問題的拓撲不變量。

(二)、平面圖性質

定義2

? (1) 一個平面圖G把平面分成若干連通片，這些連通片稱為G的區域，或G的一個面。G的面組成的集合用Φ表示。

(2) 面積有限的區域稱為平面圖G的內部面，否則稱為G的外部面。

(3) 在G中，頂點和邊都與某個給定區域關聯的子圖，稱為該面的邊界。某面 f 的邊界中含有的邊數(割邊計算2次)稱為該面 f 的次數, 記為deg ( f )。

1、平面圖的次數公式

定理1 設G=(n, m)是平面圖，則：

2、平面圖的歐拉公式

定理2(歐拉公式) 設G=(n, m)是連通平面圖，ф是G的面數，則：

3、歐拉公式的幾個有趣推論

推論1 設G是具有ф個面k個連通分支的平面圖，則：

? 推論2 設G是具有n個點m條邊ф個面的連通平面圖，如果對G的每個面f ,有：deg (f) ≥ l ≥3,則：(可平面圖性質)

推論3 設G是具有n個點m條邊ф個面的簡單平面圖，則：

推論4 設G是具有n個點m條邊的連通平面圖，若G的每個圈均由長度是 l 的圈圍成，則：

推論5 設G是具有n個點m條邊的簡單平面圖，則：

定理3 一個連通平面圖是2連通的，當且僅當它的每個面的邊界是圈。

推論6 若一個平面圖是2連通的，則它的每條邊恰在兩個面的邊界上。

(三)、圖的嵌入性問題簡介

1、曲面嵌入

1)、球面嵌入

定理4 G可球面嵌入當且僅當G可平面嵌入。

2)、環面嵌入

定向曲面嵌入

2、圖的3維空間嵌入

定理5 所有圖均可嵌入R3中。

(四)、凸多面體與平面圖

一個多面體稱為凸多面體，如果在體上任取兩點，其連線均在體上。

凸多面體的一維骨架：把一個凸多面體壓縮在平面上，得到一個對應的平面圖，該平面圖稱為該凸多面體的一維骨架。**

定理6 存在且只存在5種正多面體：它們是正四、六、八、十二、二十面體。

二、特殊平面圖與平面圖的對偶圖

(一)、特殊平面圖

1、極大平面圖及其性質

定義1 設G是簡單可平面圖，如果G是Ki (1≦i≦4),或者在G的任意非鄰接頂點間添加一條邊后，得到的圖均是非可平面圖，則稱G是極大可平面圖。

注：只有在單圖前提下才能定義極大平面圖。

引理 設G是極大平面圖，則G必然連通；且若G的階數大于等于3，則G無割邊。

定理1 設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖，當且僅當G的每個面的次數是3且為單圖。（“極大平面圖的三角形特征”，即每個面的邊界是三角形。）

2、極大外平面圖及其性質

定義3 若一個可平面圖G存在一種平面嵌入，使得其所有頂點均在某個面的邊界上，稱該圖為外可平面圖。外可平面圖的一種外平面嵌入，稱為外平面圖。

定義4 設G是一個簡單外可平面圖，若在G中任意不鄰接頂點間添上一條邊后，G成為非外可平面圖，則稱G是極大外可平面圖。極大外可平面圖的外平面嵌入，稱為極大外平面圖。

引理 設G是一個連通簡單外可平面圖，則在G中存 在度數至多是2的頂點。(證明略)

設G是一個具有n (n≥4)個點，m條邊的簡單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

定理2 設G是一個有n (n≥3)個點，且所有點均在外部面上的極大外平面圖，則G有n-2個內部面。

定理3 設G是一個有n (n≥3)個點，且所有點均在外部面上的外平面圖，則G是極大外平面圖，當且僅當其外部面的邊界是圈，內部面是三角形。

定理4 每個至少有7個頂點的外可平面圖的補圖不是外可平面圖，且7是這個數目的最小者。

設G是一個階數為n (n≥4)且所有點均在外部面上的極大外平面圖，則G中存在兩個度數均為2且不相鄰的點

圖G是可平面的當且僅當它不含與K5或K3,3同胚的子圖

3、其他

? 如果在不可平面圖G中任意刪去一條邊所得的圖為可平面圖，則稱G為極小不可平面圖。例如K5和K3,3

(二)、平面圖的對偶圖

1、對偶圖的定義

定義4 給定平面圖G，G的對偶圖G*如下構造：

(1) 在G的每個面fi內取一個點vi*作為G*的一個頂點；

(2) 對G的一條邊e, 若e是面 fi 與 fj 的公共邊，則連接vi與vj，且連線穿過邊e;若e是面 fi 中的割邊，則以vi為頂點

作環，且讓它與e相交。

2、對偶圖的性質

(1)、G與G*的對應關系

1) G\*的頂點數等于G的面數；

? 2) G*的邊數等于G的邊數；

? 3) G*的面數等于G的頂點數；

? 4) d (v*)=deg( f )

(2)、定理5 平面圖G的對偶圖必然連通

注: (1) 由定理5知：(G*)*不一定等于G;

(2) G是平面圖，則$((G{)}^{?}{)}^{?}?G$當且僅當G是連通的。(習題第26題)

例2 證明：

(1) B是平面圖G的極小邊割集，當且僅當

是G*的圈。

(2) 歐拉平面圖的對偶圖是偶圖。

三、平面圖的判定與涉及平面性不變量

定義1 在圖G的邊上插入一個2度頂點，使一條邊分成兩條邊，稱將圖在2度頂點內擴充；去掉一個圖的2度頂點，使關聯它們的兩條邊合并成一條邊，稱將圖G在2度頂點內收縮。

定義2 兩個圖G1與G2說是同胚的，如果$G_1?G_2$，或者通過反復在2度頂點內擴充和收縮后能夠變成一對同構的圖。

定理1 (庫拉托斯基定理) 圖G是可平面的，當且僅當它不含K5和K3,3同胚的子圖。

定義3 給定圖G, 去掉G中的環，用單邊代替平行邊而得到的圖稱為G的基礎簡單圖。

定理2 (1) 圖G是可平面的，當且僅當它的基礎簡單圖是可平面的； (2) 圖G是可平面圖當且僅當G的每個塊是可平面圖。

定義4 設uv是簡單圖G的一條邊。去掉該邊，重合其端點，再刪去由此產生的環和平行邊。這一過程稱為圖G的初等收縮或圖的邊收縮運算。

定理2 (瓦格納定理)：簡單圖G是可平面圖當且僅當它不含有可收縮到K5或K3,3的子圖。

四、平面性算法

定義1 設H是G的一個子圖，在E(G)-E(H)中定義一個二元關系“ ~”:

? $?e_1,e_2\in E(G)?E(H)$,$e_1～e_2$當且僅當存在一條途徑W，使得：

? (1) e1與e2分別是W的始邊和終邊，且 (2) W的內點與H不能相交。

定義2 設B是E(G)-E(H)關于二元關系“ ~” 的等價類在G中的邊導出子圖，則稱B是G關于子圖H的一座橋。橋與H的公共頂點稱為橋B在H中的附著頂點。

定義3 設H是圖G的可平面子圖，$\tilde{H}$是H的一種平面嵌入。若G也是可平面圖，且存在G的一個平面嵌入$\tilde{G}$ ，使得：$\tilde{H}?\tilde{G}$,稱$\tilde{H}$是G容許的

定義4 設B是G中子圖H的任意一座橋，若B對H的所有附著頂點都位于 的某個面 f 的邊界上，則稱B在面 f 內可畫入，否則，稱B在面 f 內不可畫入。

算法：

(1) 取G的一個圈H1,求出H1的一個平面嵌入$\widetilde{H1}$ 。置i=1;

(2) 若E(G)-E(Hi)=Φ,則停止；否則，確定G中Hi的所有橋，并對每座橋B，求出$F(B,\widetilde{H_i})$ ；

(3) 若存在橋B,使得：$F(B,\widetilde{H_i})=?$ ，則停止 (G不可平面) ；否則，在Hi的所有橋中確定一個使得$|F(B,\widetilde{H_i})|$最小的B，并取$f\in F(B,\widetilde{H_i})$

(4) 在橋B中取一條連接Hi中兩個附著頂點的路Pi, $P_i?B_i$ 。 置Hi+1=Hi∪Pi,把Pi畫在$\widetilde{H_i}$的面 f 內,得到$\widetilde{H_{i+1}}$

(5) 置i=i+1轉(2)。

總結：重要的性質定理

1、平面圖的性質（包括次數公式，歐拉公式，一些推論）

• 次數公式:設G=(n, m)是平面圖，則：${\sum }_{f\in ?}def(f)=2m$

• 歐拉公式:設G=(n, m)是連通平面圖，ф是G的面數，則：$n?m+?=2$

• 推論1 設G是具有ф個面k個連通分支的平面圖，則：$n?m+?=k+1$

• 推論2 設G是具有n個點m條邊ф個面的連通平面圖，如果對G的每個面f ,有：deg (f) ≥ l ≥3,則：$m\le \frac{l}{l?2}(n?2)$

• 推論3 設G是具有n個點m條邊ф個面的簡單平面圖，則：$m\le 3n?6$

• 推論4 設G是具有n個點m條邊的連通平面圖，若G的每個圈均由長度是 l 的圈圍成，則：$m(l?2)=l(n?2)$

• 推論5 設G是具有n個點m條邊的簡單平面圖，則：$\delta \le 5$

• K5和K3,3是非可平面圖

• 彼得森圖是非可平面圖

2、嵌入性和特殊平面圖

• G可球面嵌入當且僅當G可平面嵌入。
• 存在且只存在5種正多面體：它們是正四、六、八、十二、二十面體
• 設G是至少有3個頂點的平面圖，則G是極大平面圖，當且僅當G的每個面的次數是3且為單圖。（“極大平面圖的三角形特征”，即每個面的邊界是三角形。）

2、平面圖的判定

（1）對于簡單圖G=（n，m），如果m>3n-6，則G是非可平面的；
（2）對于簡單連通圖G=（n，m），如果每個面次數至少為$l\ge 3$，且$m>\frac{l(n?2)}{l?2}$，則G是非可平面的；

(3) (庫拉托斯基定理) 圖G是可平面的，當且僅當它不含K5和K3,3同胚的子圖。

(4)(瓦格納定理)：簡單圖G是可平面圖當且僅當它不含有可收縮到K5或K3,3的子圖。

3、平面性算法

找一個圈—>找出所有的橋—>依次選取橋可嵌入最小的平面數進行嵌入—>畫出平面圖（否則不存在）

總結：一些結論

• 無環圖是2連通的平面圖，一定不包含割點，同時不包含割邊，一定不包含只屬于一個面的邊，邊界均為圈

• 若（n,m）圖是極大外平面圖且n大于等于3，則m=2n-3

• 階數至少為3的極大外平面圖一定是H圖

• G是一個簡單圖，若頂點數n≥11,則G與G的補圖中，至少有一個是不可平面圖

• 設G是一個具有n (n≥4)個點，m條邊的簡單連通外平面圖。若G不含三角形，則m≤(3n–4)/2

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第六章 平面图的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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