• 常見不等式考察（一）——Jensen不等式
  • 0. 引言
  • 1. Jensen不等式定義
  • 2. Jensen不等式證明
  • 3. Jensen不等式的常見形式
    • 1. 具體凸函數下的Jesen不等式
      • 1. 冪函數
      • 2. 對數函數
      • 3. 指數函數
      • 4. 三角函數
    • 2. 連續形式下的Jensen不等式
    • 3. 概率論中的Jensen不等式
  • 4. 參考鏈接

0. 引言

這兩天在看文獻的時候，突然注意到文獻中使用了Jensen不等式，然后猛地發現似乎太久不看這些東西，都已經忘得差不多了，是時候得好好復習一下這些東西了……

1. Jensen不等式定義

Jensen不等式是針對凸函數的一個常用的不等式，其定義如下：

$$f(\lambda ?x_1+(1?\lambda )?x_2)\le \lambda ?f(x_1)+(1?\lambda )?f(x_2)$$

上述不等式可以由凸函數的定義快速地得到，我們可以將其推廣至一般的情況，即下述表達式：

$$f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

其中，${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$。

而如果函數為嚴格的凹函數，則上述Jensen不等式同樣可以成立，但是符號需要反向，即修改為：

$$f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)\ge \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

2. Jensen不等式證明

關于Jensen不等式的證明方法，其實網上已經有了不少的解答，不過基本都是基于數學歸納法的解答。

這里，我們來仿照網上的一些解法來自行進行一下推導。

顯然，對于$n\le 2$的情況，又凸函數的定義，上述不等式是易得的。

下面，我們假設在$n=k$的情況下，不等式成立，則我們考慮$n=k+1$時的情況。

$$\begin{array}{rl}f(\sum _{i=1}^{k+1}{\lambda }_i?x_i)& =f(\sum _{i=1}^k{\lambda }_i?x_i+{\lambda }_{k+1}?x_{k+1})\\ & =f((1?{\lambda }_{k+1})?(\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{1?{\lambda }_{k+1}}?x_i)+{\lambda }_{k+1}?x_{k+1})\\ & \le (1?{\lambda }_{k+1})?f(\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{1?{\lambda }_{k+1}}?x_i)+{\lambda }_{k+1}?f(x_{k+1})\\ & \le (1?{\lambda }_{k+1})?(\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{1?{\lambda }_{k+1}}?f(x_i))+{\lambda }_{k+1}?f(x_{k+1})\\ & =\sum _{i=1}^k{\lambda }_i?f(x_i)+{\lambda }_{k+1}?f(x_{k+1})\\ & =\sum _{i=1}^{k+1}{\lambda }_i?f(x_i)\end{array}$$

由此可見，不等式成立。

綜上，一般情況下的Jensen不等式即可證明完畢。

而同理，對于凹函數情況下的Jensen不等式，我們只需要完全仿照上述的解法即可證明。

3. Jensen不等式的常見形式

下面，我們來看一下Jensen不等式在不同場景下的一些引申表達方式以及應用。

1. 具體凸函數下的Jesen不等式

1. 冪函數

對于冪函數$f(x)=x^k$，我們有：

$$(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i?x_i{)}^k\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i?x_i^k$$

特別的，當所有的系數都相同時，我們即有：

$$(\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}{)}^k\le \frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^k}{n}$$

2. 對數函數

對于對數函數，我們可以寫出對應的Jensen不等式如下：

$$log(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i?x_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i?log(x_i)$$

特別地，當所有的系數都相同時，即有：

$$log(\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n})\le \frac{1}{n}?\sum _{i=1}^{n}log(x_i)$$

3. 指數函數

對于指數函數，我們可以寫出對應的Jensen不等式如下：

$$exp(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i?x_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i?e^{x_i}$$

特別地，當所有的系數都相同時，即有：

$$exp(\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n})\le \frac{1}{n}?\sum _{i=1}^n{e}^{x_i}$$

4. 三角函數

對于三角函數（我們以$sin$為例，其在$[0,\pi ]$范圍內為凹函數），我們可以寫出對應的Jensen不等式如下：

$$sin(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i?{\theta }_i)\ge \sum _{i=1}^n{\lambda }_i?sin{\theta }_i$$

特別地，當所有的系數都相同時，即有：

$$sin(\frac{{\sum }_{i=1}^n{\theta }_i}{n})\ge \frac{1}{n}?\sum _{i=1}^{n}sin{\theta }_i$$

特別的，對于三角形的三個內角，我們有：

$$\frac{1}{3}(sinA+sinB+sinC)\le sin(\frac{\pi }{3})$$

即：

$$sinA+sinB+sinC\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

2. 連續形式下的Jensen不等式

已知$g(x)>0$，${\int }_{x}g(x)dx=1$，且函數$f(x)$為凸函數，則有：

$$f({\int }_{x}g(x)?xdx)\le {\int }_{x}g(x)?f(x)dx$$

3. 概率論中的Jensen不等式

特別的，我們將上述2中的連續形式下的$g(x)$函數表示為概率分布函數，那么我們就可以很簡單地導出概率論當中常見的Jensen不等式的表達式：

$$f(\bar{E}(x))\le \bar{E}(f(x))$$

4. 參考鏈接

https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality

https://zhuanlan.zhihu.com/p/39315786

https://zhuanlan.zhihu.com/p/279442299

總結

以上是生活随笔為你收集整理的常见不等式考察（一）——Jensen不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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