MIMO雷達與通信

第一章 瑞利衰落信道思考

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文章目錄

• MIMO雷達與通信
• 前言
• 一、瑞利衰落信道是什么？
• 二、瑞利衰落信道對信號的影響
• 三、實值信號與matlab仿真復值信號在瑞利衰落中的聯系
• 總結

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前言

寫這篇筆記是因為最近在仿真MIMO多天線系統下通信和雷達傳輸波形。
正好之前看了一篇有關QPSK傳輸的MIMO通信誤碼率仿真，里面附有仿真的matlab代碼，所以我就先從這個代碼看起，
代碼里面有一段關于信道矩陣的設計，是這樣寫的

H=sqrt(0.5)*(randn(L,K)+1i*randn(L,K));

其中L和K分別是接收端和發射端的天線數目
H信道矩陣中的每一項都設置成了復數，且實部和虛部分別是獨立同分布的0均值0.5方差的高斯變量。
這樣的設計我之前也在其他的一些文獻中看到過，不過到底是為什么這樣設計的呢，為什么是高斯變量呢？

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一、瑞利衰落信道是什么？

瑞利分布是一個均值為0，方差為σ2的平穩窄帶高斯過程，其包絡的一維分布是瑞利分布。其表達式及概率密度如圖所示。瑞利分布是最常見的用于描述平坦衰落信號接收包絡或獨立多徑分量接受包絡統計時變特性的一種分布類型。兩個正交高斯噪聲信號之和的包絡服從瑞利分布。
瑞利衰落能有效描述存在能夠大量散射無線電信號的障礙物的無線傳播環境。若傳播環境中存在足夠多的散射，則沖激信號到達接收機后表現為大量統計獨立的隨機變量的疊加，根據中心極限定理，則這一無線信道的沖激響應將是一個高斯過程。如果這一散射信道中不存在主要的信號分量，通常這一條件是指不存在直射信號（LoS），則這一過程的均值為0，且相位服從0 到2π的均勻分布。即，信道響應的能量或包絡服從瑞利分布。若信道中存在一主要分量，例如直射信號（LoS），則信道響應的包絡服從萊斯分布，對應的信道模型為萊斯衰落信道。(以上來自百度百科)

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二、瑞利衰落信道對信號的影響

我參考了一篇文章
瑞利、萊斯與Nakagami-m信道衰落模型
這篇文章對于瑞利衰落對信號的影響講的比較好
通過文章的分析我們可以知道
瑞利衰落信道指的是一個信號經過這樣的衰落之后，其幅值會乘以一個滿足瑞利分布的隨機變量，而相位會引入一個（0,2pi]的均勻分布隨機變量。而這個是信號為實值時的情況。但是我們通常在matlab仿真中，用的很多都是復值信道，分為I路和Q路，那這個時候信道怎么通過代碼表示出來呢？
百度百科里寫道“則沖激信號到達接收機后表現為大量統計獨立的隨機變量的疊加，根據中心極限定理，則這一無線信道的沖激響應將是一個高斯過程”，也就是我們一開始就提到的利用了兩個高斯變量來表示了瑞利衰落信道，但這是為什么呢？百科提到是用中心極限定理的，但這樣說明不夠直觀

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三、實值信號與matlab仿真復值信號在瑞利衰落中的聯系

我們設置發出的信號為 $I\cos wt+Q\sin wt$
這樣在matlab里面可以簡易地表示成I+Qj
發出的實值信號又可以表示為
$I\cos wt+Q\sin wt=A\cos (wt+\phi )$
我們不妨將A設置為1
那么發出的信號通過瑞利信道之后就變成了
$V\cos (wt+\phi +{\phi }_2)$
其中V代表的是滿足瑞利分布的隨機變量，而 ${\phi }_2$則是滿足均勻分布的隨機變量。
在matlab仿真里面信號通過信道之后接收方接收到的即為
$(a+bj)(I+Qj)=aI?bQ+(aQ+bI)j$
我們現在要證明的就是$aI?bQ+(aQ+bI)j$這一項與實值信號$V\cos (wt+\phi +{\phi }_2)$是等價的
我們將實值信號拆分開來
$V\cos (wt+\phi +{\phi }_2)=V\cos wt\cos (\phi +{\phi }_2)?V\sin wt\sin (\phi +{\phi }_2)$
而實際上$V\cos (\phi +{\phi }_2)$代表的就是接收方接收到的I路信號，$V\sin (\phi +{\phi }_2)$代表的就是接收方接收到的Q路信號
I路信號可以表示為
$V\cos (\phi +{\phi }_2)=V\cos \phi \cos {\phi }_2?V\sin \phi \sin {\phi }_2$
而$\cos \phi$就是原本發射的I,也就是matlab中的I,所以我們只要證明$V\cos {\phi }_2$與matlab中的a是等價的即可(其余的幾項也可以通過這樣說明,比如$V\sin {\phi }_2$與b等價即可,同樣Q路信號也可以拆出來,會發現要證明的還是$V\cos {\phi }_2$與matlab中的a等價，$V\sin {\phi }_2$與b等價)。
下面我們就來證明$V\cos {\phi }_2$與matlab中的a是等價的即可
matlab中的a是一個均值為0,方差為sigma的高斯變量
而V是參數為sigma的瑞利分布隨機變量,${\phi }_2$是滿足均勻分布的隨機變量
所以只要證明一個參數為sigma的瑞利分布隨機變量乘上一個獨立的(0,2pi)均勻分布的隨機變量,這個聯合隨機變量的分布與均值為0,方差為sigma的高斯變量分布相同即可｡
只要證明了這個，我們就能夠說明matlab仿真中H信道實值和虛值設置成兩個獨立同分布的高斯隨機變量就是與實際情況中的瑞利衰落信道等價
關于這段證明我寫了一個matlab的仿真程序

%Rayleigh_test %該matlab程序主要為是為了檢測一個瑞利分布的隨機數再乘以一個相位均勻分布的余弦值后，其分布是否是正態分布 clear all; close all; N = 10^5; %測試樣本點數 sigma=0.5; r=raylrnd(sigma,1,N); %生成N個瑞利分布隨機數 fai=2*pi*rand(1,N); %生成N個（0，2pi）均勻分布的相位 a=cos(fai); b=a.*r; %b即為相乘以后生成的隨機數 k=-2:0.01:2; dk = 0.01; %組距 p = []; for i = 1:(length(k)-1)num = length(find(b >= k(i) & b < k(i+1))); %找到b里面介于k(i)和k(i+1)的元素的個數p = [p num/length(b)]; %得到b中的值介于k(i)和k(i+1)的概率 end pdf = p/dk; figure; k_new = -1.995:0.01:(2-0.005); %取一組的中值表征這個區間 plot(k_new, pdf,'-.'); hold on; y=normpdf(k,0,sigma); plot(k, y,'-.'); grid on; set(gca,'GridLineStyle',':','GridColor','k','GridAlpha',1); xlabel('b'); ylabel('PDF'); legend('仿真值sigma=0.5','理論值sigma=0.5的標準正太分布');

最后的仿真結果：

我們可以看出二者的分布是相同的，所以證明完畢。

總結

通過這篇文章，我證明了matlab仿真中將H信道設置為實部和虛部分別為獨立同分布的高斯隨機變量就代表了瑞利衰落信道。
所以以后的matlab仿真中，信號設置為復值時， 瑞利衰落響應的H信道可以直接設置為高斯信道

總結

以上是生活随笔為你收集整理的瑞利衰落信道思考的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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