題號

答案

知識點與備注

填空題

1

n(n-1)/4

自補圖的定義和性質

2

2^m

生成子圖的定義

3

m1+m2+n1n2

聯圖的定義

4

a_{ij}^{(k)},其中a_{ij}^{(k)}為矩陣A^k的第i行j列元素

鄰接矩陣的性質

5

27

由托蘭定理，T3,9. 即9階3等部圖。故邊數最多為3*3*2C3,即27

6

{4}

由中心的定義求得

7

20

注意是最大生成樹！

8

6，3，7

由定義，分別求得即可

注：有評論指出"填空第8題的割點應該只有5個，自環的那個點是分離點，不是割點"

我們那年(2020年春季學期)的第三章PPT是這樣寫的：

因為疫情，我們是一起上的網課，所以考前我和我的同學們都默認自環是割點，老師們應該也是這么說的。

但百度百科上對割點的定義為：在一個無向圖中，如果有一個頂點集合，刪除這個頂點集合以及這個集合中所有頂點相關聯的邊以后，圖的連通分量增多，就稱這個點集為割點集合。這樣自環就不是割點了。

因此該問題可能存在一些爭議，建議以老師說的為準。

9

?5n/2?

握手定理+連通度小于等于最小度

10

37

兩個奇度點的最優歐拉環游求法+最短路算法

選擇題

1

AD

A:錯誤！如K2中有閉途徑v1,e,v2,e,v1, 但沒有環。

B 正確！ 非平凡偶圖 當且僅當 不含奇圈

C 正確 無向圖中的連通關系等價

D 錯誤！ 由鴿籠原理可反證

2

A

A：如K2，但沒有圈

B 若|V(G)|≧3,則G是塊，當且僅當G無環且任意兩頂點位于同一圈上。

C 若|V(G)|≧3,則G是塊，當且僅當G無孤立點且任意兩條邊都在同一圈上。

D 至少兩個點的塊無環，至少三個點的塊無割邊！

3

B

A: 正確

B 錯，還要連通

C 正確，因為進去和出來的次數相同。

D 正確。把之前的圈標上方向即可。

4

D

?

A正確 充分條件

B 正確 可由度序列判定定理+Cm,n圖的度序列進行證明。

C 正確。彼得森圖不是H圖 + 去掉一個點后考慮兩種情形，都是H圖

D 當且僅當閉包是H圖即可，無需完全圖

5

C

?

A:正確 哥尼定理。設M*是偶圖最優匹配，U表示X中未飽和的點集。Z表示由M交錯路連接到U的頂點的所有路上的點組成的集合。并令S=Z∩X,T=Z∩Y. 由M的最大性，T中的點是飽和的，且N(S)=T. 令K*=(X-S)UT. 可以證明：K*是G的一個覆蓋，事實上，若K*不是G的一個覆蓋，則存在G的一條邊，其一個端點在S中，另一個端點在Y-T中，這與N(S)=T矛盾。

顯然|K*|=|M*|，由定理2，K*是最小覆蓋。

B 正確 首先證|X|=|Y|,之后對X中任意子集S，考慮與S關聯的邊集E1和與N(S)關聯的邊集E2，則E1包含于E2，可得|S|<=|N(S)|,故由Hall定理存在飽和X的匹配，又因為等部，故有完美匹配。

C 錯誤，PPT上有反例。但無割邊一定有完美匹配(彼得森定理)。

D正確 去掉H圖后，為1個因子；H圖又可分解為兩個1因子，故總共3個1因子，即為一個1因子分解。

大題

三

(1) 握手定理 + 對點數的約束， 可求得5個3度，3個5度

(2) 握手定理 + 邊數=點數-1，可得邊數為2t-2

四

由度序列判定定理，得

對任意m<=n/2,都有dm>m或d(n-m)>=(n-m)

故是H圖

五

證明

δ>=n/2+3, 故存在H圈C1，是個2因子；

去掉H圈后，δ>=n/2+1, 存在H圈，H圈可分解為1因子M1；

再去掉M1，δ>=n/2，存在H圈C2，是個2因子

C1，M1，C2邊不重，故并起來后是一個5因子。因此，G中存在5因子。

六

如果你的版本的第六大題是：設 G 是至少有三個面的簡單平面圖。證明： G 的對偶圖 G*中至少存在三個度數小于 6 的點。?

那么這道題是錯的，因為G*不是簡單圖，因此無法用G*中m<=3n-6來證明。且當G是三個不重合得C6得并時，G*沒有度數小于6的點。故本題是錯題。

如果你的版本的第六大題不是該題，答案見第七題。

七

不能

當S={孫李周}時，N(S)={數學物理}，

故由Hall定理，|N(S)|<|S|

所以不存在飽和S的匹配。故不能。

八

2[k]3+4[k]4+[k]5

理想子圖計數法