從高斯分布推導瑞利分布

瑞利分布是無線通信中常見的信道模型，這里就來推導一下，所謂瑞利分布就是兩個垂直分量服從獨立且相同的標準高斯分布疊加之后的模。先來看看高斯分布的表達式
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
其中$\sigma$是分布的方差，$\mu$是分布的均值。
假設$X_1,X_2～N(0,{\sigma }^2)$,$X^2={X_1}^2+{X_2}^2$,現在需要推導$X$的概率密度函數。$x_1$和$x_2$的聯合概率密度 如下：
$$\begin{array}{r}f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(?\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma }^2}\right).\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}F(X)=P(X\le x)& =P(\sqrt{{X_1}^2+{X_2}^2}\le x)\\ & =\underset{{x_1}^2+{x_2}^2\le x}{?}\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(?\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma }^2}\right)d{x}_{1}d{x}_2\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{x}r\exp \left(?\frac{r^2}{2{\sigma }^2}\right)dr\\ & =1?\exp \left(?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)\end{array}$$
此時$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp \left(?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)$,注意上述積分的定義域是$x\ge 0$

總結

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