題號

答案

知識點與備注

填空題

1

8

凱萊遞推計數法/ 矩陣樹定理

2

n1m2+n2m1

積圖的定義

3

23

最小生成樹算法

4

8

最短路算法

5

?(n^2)/4?

托蘭定理，小于等于T2,n的邊數，即n階完全2等部圖。

選擇題

1

B

A 錯誤，無法找到H圈(分兩種情況討論)

B 正確 去掉一個點(有兩種不同情況)后有H圈

C 錯誤 彼得森圖去掉一個一因子后剩下兩個不相交的K5，故無一因子分解。

D 錯誤， 它可以收縮到K5，故不可平面

2

C

A 錯誤 有割點/有割邊 的3正則圖都有可能出現

B 錯誤 同上

C 正確！去掉H圈后1個因子；H圈又能分解成2個1因子，故總共可以分解成3個一因子

D 錯誤！ 如K4

3

B

A: 錯誤，如C8在v1，v3 或 v1， v4連線形成的兩個圖不同構。

B 正確，度弱的定義！

C 錯誤，只是度序列，不一定是圖序列

D 錯誤，不一定如(1,3,6)和(2,2,2)

4

A

A 錯誤，如K6

B 正確， 對任意兩點分請開給你討論可證明

C 正確 點獨立集的補圖導出的子圖一定是完全圖，也就是團

D 正確，只要n(n-1)/4是整數。如C5

5

D

A: 顯然錯誤，倒過來游

B 錯誤 還要連通！

C 錯誤，可以有自環！也可以是8字型閉跡。

D 正確！因為邊集可以分解為圈的并，所以沒有割邊。

大題

三

握手定理

5度頂點有7個

四

(1) 證明

k正則偶圖有完美匹配M，減去M后仍為K-1正則偶圖。依次類推，可分解為n個邊不重的1因子之并，即1因子分解。

(2) 證明

設割邊e={uv}

G-e后取分支G1，G1仍為偶圖，不妨設u在X中，則X的總度數為nk-1; Y的總度數為mk

則nk-1=mk.因為k大于等于2，故等式不成立，故無解，矛盾！

所以不存在割邊。

五

握手定理

樹的點數=邊數+1

聯立即可得證

六

(1) Cm,n=KmV(Km補圖+K(n-2m))

即可畫出C1，5和C2,5

(2)

取S={Km中的m個頂點}

則w(G-S)=m+n-2m=n-m>m

故由H圖判定的必要條件可知，不是H圖

七

2007年以來期末考試第一道最優匹配的題！

Step1：頂點標號：{15,11,16,13；0,0,0,0}

M={v1u3,v4u2}

Step2: 頂點標號：{14,10,15,12;0,1,1,0}

即可找到完美匹配M={v1u4,v2u2,v3u3,v4u1}

最優權重是53

八

設五邊形有x個，六邊形有y個，則

面的次數公式 2m =5x+6y

握手定理 2m=3n

歐拉公式n-m+x+y=2

?

聯立可解得x=12

九

點染色問題。

存在奇圈: ahdbc，故點色數>=3;

又因為e與所有奇圈中所有點都相連，故點色數>=4

可以找到，因此點色數為4

最少需要四個倉庫

分組略