命題

若 f(x) 為區間 X 上的凸函數，則 ?n∈N,n≥1, 若 ?i∈N,1≤i≤n,xi∈X,λi∈R,
λi>0, 且 ∑ni=1λi=1, 則：

f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi)

證明：

n=1 時，顯然成立。
設 n 時成立。則：
∑n+1i=1λi=1?∑ni=1λi+λn+1=1?∑ni=1λi=1?λn+1?∑ni=1λi1?λn+1=1
令 x′=∑ni=1λi1?λn+1xi, 則：
∑n+1i=1λixi=∑ni=1λixi+λn+1xn+1
=(1?λn+1)∑ni=1λi1?λn+1xi+λn+1xn+1
=(1?λn+1)x′+λn+1xn+1
?f(∑n+1i=1λixi)=f((1?λn+1)x′+λn+1xn+1)
≤(1?λn+1)f(x′)+λn+1f(xn+1)
≤(1?λn+1)∑ni=1λi1?λn+1f(xi)+λn+1f(xn+1)
=∑n+1i=1λif(xi)

Jensen不等式的擴展

若 f(x) 為區間 Y 上的凸函數，g(x):X→Y 為一任意函數， 則 ?n∈N,n≥1, 若 ?i∈N,1≤i≤n,xi∈X,λi∈R,
λi>0, 且 ∑ni=1λi=1, 則：

f(∑i=1nλig(xi))≤∑i=1nλif(g(xi))

推論

若 f(x) 為區間 R 上的凸函數，g(x):R→R 為一任意函數，X 為一取值范圍有限的離散變量， E[f(g(X))] 與 E[g(X)] 都存在，則：

E[f(g(X))]≥f(E[g(X)])

證明：

E[f(g(X))]=∑ni=1pif(g(xi))≥f(∑ni=1pig(xi))=f(E[g(X)])

總結

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