歡迎大家來到這一期張量分析的相關博客學習，本期繼續接著上期博客后面深入理解張量的縮并，內積，雙點積等等，先贊后看，養成習慣！

Tensors learning

• 一 . 張量的縮并
• 二 . 張量的內積 雙點積
• • （1）內積與點積
  • （2）雙點積
• 三 .特殊張量
• 四. 張量的主軸 主值和主分量

一 . 張量的縮并

這又是張量所特有的一個代數運算，對 $n$ 階張量進行縮并，其實就是對其中兩兩相同的指標按求和約定求和（不知道大家是否還記得愛因斯坦求和指標）.

我們先來看一看定義：

二階張量縮并是標量。注意低于二階的張量不能進行縮并過程！
三階三維 $I_{ijk}$ 的縮并，將第一指標與第三指標縮并。即$i=k$，如上圖所示，三階變成了一階！

結合我們之前學的愛因斯坦求和約定，從某種意義上來說，新張量每縮并一次就有兩個基矢量參與，而階數要降兩階的原因是兩個自由指標化為一對啞指標！
這里有一張圖片希望對大家的理解有幫助：

圖片對于初學者來說比那些冗雜的數學公式更友好o(′^｀)o~~ ，其實，矩陣的相乘也就是一個縮并的過程，具體到后面再介紹！

還有一點需要注意的就是：若在張量中取不同基矢量的積，那么縮并產生的結果是不同的！

因此 $\mathbf{R}=\mathbf{S}$，我們在這里只是大概的理解一下張量的這些概念，主流認識，真正張量分析的純數學運算和完整的證明 需要了解協變基矢量，逆變基矢量，對偶空間，指標的升降等等，如果想做純數學推導的同學給大家一個傳送門，這是一個系列，包含各種完整的證明推導！

二 . 張量的內積 雙點積

（1）內積與點積

張量的內積：兩個張量$\mathbf{T},\mathbf{S}$ 先并乘后縮并的運算叫做張量的內積（和下面的點積要分開）, 和縮并一樣，對于內積運算應說明將張量$\mathbf{T}$ 的哪一個基矢量與張量 $\mathbf{S}$ 中的哪一個基矢量相點積!

若兩個張量點積后得到一個新的張量 $\mathbf{U}$，且$\mathbf{T}$ 是 $m$ 階張量，$\mathbf{S}$ 是 $n$ 階張量 ，那么 $\mathbf{U}$的階數是 $m+n?2$.

還記得我們在線代中學過的內積是個確定的值，那是因為當時的矢量是一階張量，1+1-2=0 , 恰好為標量~~

for example：$\mathbf{A}=A_{ijk}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j{\mathbf{e}}_k，\mathbf{B}=B_{lm}{\mathbf{e}}_l{\mathbf{e}}_m$，則二者內積為：

同樣，基于縮并，選擇不同的基矢量進行點積得到的張量的點積結果是不同的！

那么什么是點積呢，其實二者也可以算是一種包含關系吧，其定義為前張量$\mathbf{A}$ 的最后基矢量與后張量 $\mathbf{B}$ 的第一基矢量縮并的結果：

一定要注意這兩個“積”的區別，不單基矢縮并的位置不同 ，最后的結果也是不同的（過程決定結果）！

（2）雙點積

剛才理解過張量的點積，那么什么是雙點積，這個“雙”字體現在哪里呢？

其實，張量的雙點積就是 $\mathbf{T},\mathbf{S}$ 并乘后進行兩次縮并，它有兩種表達形式：

并聯式：
串聯式：
這個二者的區別我們從公式中的彩色下標也能 清晰的看到。
那么二者是否能相互轉化，什么特殊的地方？我們用二階張量矩陣來幫助大家理解一下：

還有一個性質就是：二階張量的跡等于該矩陣與單位矩陣 $I$ 進行雙點積之后得到結果：
$$\mathrm{tr}\mathbf{S}=\mathbf{S}:\mathbf{I}=\mathbf{S}??\mathbf{I}$$

三 .特殊張量

下面我們介紹幾種特殊的張量，說是特殊，其實類比到線代學習中的矩陣是非常好理解的！

（1）零張量：

張量中的每個元素都為0，即 $T_{ij}=0,T_{ij}^{\prime }=0$。

（1）單位張量：

可以類比到單位矩陣：$\mathbf{I}={\delta }_{ij}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j={\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_3$

并且 $I_{ij}={\delta }_{ij}{I}_{ij}^{\prime }={\delta }_{ij}$，所以單位張量和任意張量的點積就是其本身！

（2）轉置張量：
對于二階張量矩陣來說，轉置只需要將分量指標交換一下，基矢量順序保持不變即可：

高階張量理論上來說也是可以進行 轉置 操作的，可能會有點麻煩，但是圖是最好的語言：

隨著維數的增加，轉置的結果肯定也是不止一種，上圖是三維張量的轉置結果，通常情況下，我們應當是不需要求高階張量轉置結果的，因為分解之后更利于我們詳細的分析！

（3）對稱與反對稱張量：

這個就更簡單了，從對稱矩陣的角度來看，根據$\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{I_1\times I_2?I_n}$中$I_1=I_2=?=I_n$ 為界分為兩部分，若這兩部分中的元素相等，關于這一界限對稱，就稱為對稱張量，如果對稱的兩部分元素相反，那么就稱其為：反對稱張量。

還要注意反對稱張量主對角線上元素都為0；

四. 張量的主軸 主值和主分量

有一個二階張量 $\mathbf{T}$ 與一個矢量$\mathbf{b}$ 點積之后得到一個新矢量${\mathbf{b}}^{\prime }$ ，假設它是由原矢量 $\mathbf{b}$ 進行放大（或縮小）并進行旋轉得到的，那么問題就來了，對于某個已經給定的 $\mathbf{T}$ ，是否能找到某個方向上的矢量 $\mathbf{b}$ ，使得 $\mathbf{T}$ 經過點乘運算后得到的新矢量 ${\mathbf{b}}^{\prime }$ 與 $\mathbf{b}$ 同向，大小可以變化，即：
$${\mathbf{b}}^{\prime }=\mathbf{T}?\mathbf{b}=\lambda \mathbf{b}$$

到這里，有兩個知識點突然在我腦海中蹦了出來，第一個就是旋轉矩陣，那是一個遙遠的的夢，但我依稀記得那是我們在學量子力學時 遇到的，給大家個傳送門，開頭就是！除此之外第二個，上面這個式子是不是有那么一絲熟悉，是不是和我們線代中最重要的包含特征值與特征向量的特征方程有那么一點點神似啊！世界上最悲哀的事就是，夢想在眼前，可惜你卻不認識她！

線性代數是我見過最美的數學，沒有之一，不接受反駁 (︶.?︶?) ！

那么這個符合要求的矢量 $\mathbf{b}$ 的方向稱為張量 $\mathbf{A}$ 的主軸（或主方向），$\lambda$ 稱為其主值（主分量）！馬上就解它！

下面我們來解一下，簡單處理后得到：$\left(T_{ij}?\lambda {\delta }_{ij}\right)b_j=0(i=1,2,3)$

其實這就是解齊次線性方程組（不贅述了），計算整理之后得到：
$${\lambda }^3?I_1{\lambda }^2+I_2\lambda ?I_3=0$$
其中：
$I_1=T_{11}+T_{22}+T_{33}=T_{ii}$ （跡）

$I_2=\left|\begin{array}{ll}{T}_{22}& T_{23}\\ T_{32}& T_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}{T}_{11}& T_{13}\\ T_{31}& T_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}{T}_{11}& T_{12}\\ T_{21}& T_{22}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left(T_{ii}{T}_{jj}?T_{ij}{T}_{ji}\right)$ （二階主子式之和）

$I_3=\left|\begin{array}{lll}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right|=e_{ijk}{T}_{1i}{T}_{2j}{T}_{3k}$ （行列式本身）

將這三者代回上述式子中得到三個 $\lambda$ 的值就成為 張量 $\mathbf{T}$ 的主分量！

回過頭來，有幾點結論需要混個眼熟：

本等式的成立不受坐標系的影響。

若主分量值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 互不相同，則${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3$ 相互正交！

如果$\lambda$ 解出來是二重根，例如${\lambda }_1={\lambda }_2$，則垂直于 ${\mathbf{b}}_3$ 的任何方向都可以是 主方向 。

如果三個根都重了，那么任何方向都可作為主方向，我們從 $\mathbf{b}$ 三者中隨機選一個就行了！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的张量基础学习（四 张量代数运算——下）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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