文章目錄

• 張量
• • 張量及其表示
  • • 張量的線性代數(shù)表示
    • 三階張量
  • 張量的矩陣化和向量化
  • • 張量的水平展開與向量化
  • 張量的基本代數(shù)運算
  • • 張量的內(nèi)積、范數(shù)和外積

張量

基于張量的數(shù)據(jù)分析稱為張量分析（tensor analysis），屬于多重線性數(shù)據(jù)分析（multilinear data analysis）。

張量及其表示

數(shù)據(jù)沿一相同方向的排列稱為一路陣列。標量稱為零路陣列，行向量和列向量稱為沿水平和垂直方向排列的一路陣列。矩陣是數(shù)據(jù)沿水平和垂直方向排列的二路陣列。張量即為數(shù)據(jù)的多路陣列表示，一個張量就是一個多路陣列或多維陣列，它是矩陣的一種擴展。
張量的數(shù)學符號表示為花體符號如$\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{X}$。$n$路陣列表示為$n$階張量，是定義在$n$個向量空間的笛卡爾積上的多重線性函數(shù)，記為$\mathcal{T}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_n}$。
其中$\mathbb{K}$代表實數(shù)域$\mathbb{R}$或復數(shù)域$\mathbb{C}$。張量是跨越$n$個向量空間的多線性映射，有：
$$\mathcal{T}:{\mathbb{K}}^{I_1}\times {\mathbb{K}}^{I_2}\times ?\times {\mathbb{K}}^{I_n}\to {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_n}$$
張量在各個領域均有應用，包括醫(yī)學，化學等。

張量的線性代數(shù)表示

線性代數(shù)即有限維向量空間的矩陣的代數(shù)，定義一個有限維向量空間的線性算子。多重線性代數(shù)即高階張量代數(shù)，定義了一組有限維向量空間的多重線性算子。
矩陣$\mathbf{A}\in {\mathbb{K}}^{m\times n}$用其元素和矩陣符號表示$[?]$表示為$\mathbf{A}=[a_{ij}{]}_{i,j=1}^{m,n}$。同樣地，張量的表示可以寫為$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_n}$使用雙重矩陣符號$\left\{\begin{array}{c}?\end{array}\right\}$表示為$\mathcal{A}={\left\{\begin{array}{c}{a}_{i_1?i_n}\end{array}\right\}}_{i_1,?i_n=1}^{I_1,?,I_n}$，其中$a_{i_1?i_n}$是張量第$(i_1?i_n)$元素。

三階張量

最常用的是三階張量，有時也稱為三維矩陣。
三階張量的三路陣列不以行向量、列向量等相稱，改稱張量纖維（tensor fiber）。纖維是只保留一個下標可變，固定其他所有下標不變的一路陣列。水平纖維、豎直纖維、縱深纖維。例如：三階張量$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I\times J\times K}$，其符號表示纖維為：$a_{i:k},a_{:jk},a_{ij:}$。

• 定義1：$N$階張量$\mathcal{A}={\left\{\begin{array}{c}{a}_{i_1?i_n}\end{array}\right\}}_{i_1,?i_n=1}^{I_1,?,I_n}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_n}$的模式-$n$向量是一個以$i_n$為元素下標變量，而其他下標均固定不變的$I_n$維向量，記作${\mathbf{A}}_{i_1?i_n?1:i_n+1?i_N}$。
  注意張量階數(shù)和維數(shù)的區(qū)別：$N$稱為階數(shù)，$I_n$稱為第$n$路陣列的維數(shù)。

高階張量也可以使用矩陣的集合表示。如三階張量可以使用矩陣組成水平切片、側(cè)向切片、正面切片等，符號表示為：${\mathbf{A}}_{i::},{\mathbf{A}}_{:j:},{\mathbf{A}}_{::k}$。
切片的數(shù)學表示：

三階張量$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I\times J\times K}$有$I$個水平切片
$${\mathbf{A}}_{i::}=?\begin{array}{ccc}{a}_{i11}& ?& a_{i1K}\\ ?& ?& ?\\ a_{iJ1}& ?& a_{iJK}\end{array}?=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{i:1},?,{\mathbf{a}}_{i:K}\end{array}\right]=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{i1:}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{iJ:}\end{array}?,i=1,?,I$$

三階張量$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I\times J\times K}$有$J$個側(cè)向切片
$${\mathbf{A}}_{:j:}=?\begin{array}{ccc}{a}_{1j1}& ?& a_{Ij1}\\ ?& ?& ?\\ a_{1jK}& ?& a_{IjK}\end{array}?=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{1j:},?,{\mathbf{a}}_{Ij:}\end{array}\right]=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{:j1}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{:jK}\end{array}?,j=1,?,J$$
3.三階張量$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I\times J\times K}$有$K$個正面切片
$${\mathbf{A}}_{::k}=?\begin{array}{ccc}{a}_{11k}& ?& a_{1Jk}\\ ?& ?& ?\\ a_{I1k}& ?& a_{IJk}\end{array}?=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{:1k},?,{\mathbf{a}}_{:Jk}\end{array}\right]=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{1:k}\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{I:k}\end{array}?,k=1,?,K$$

張量的矩陣化和向量化

張量的計算中希望使用矩陣代表一個三階張量。將一個三路或$N$路陣列重新組織成一個矩陣形式的變換稱為張量的矩陣化（matricization or matricizing）。也稱張量的展開（unfolding）或扁平化（flattening）。
向量化同理。

張量的水平展開與向量化

張量的基本代數(shù)運算

張量的內(nèi)積、范數(shù)和外積

• 定義：張量的內(nèi)積，若$\mathcal{A},\mathcal{B}\in \mathcal{T}(I_1,I_2,?,I_n)$,則$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的內(nèi)積為標量，定義為兩個張量的列向量化之間的內(nèi)積
  $$\begin{gathered} ?\mathcal{A},\mathcal{B}?\stackrel{\text{def}}{=}?vec(\mathcal{A}),vec(\mathcal{B})?=(vec(\mathcal{A}){)}^{H}vec(\mathcal{B}) \\ =\sum _{i_1=1}^{I_1}\sum _{i_2=1}^{I_2}?\sum _{i_n=1}^{I_n}{a}_{i_1{i}_2?i_n}^{?}{b}_{i_1{i}_2?i_n} \end{gathered}$$
  其中$?$表示復共軛。

根據(jù)張量內(nèi)積的概念，可以得到其張量范數(shù)的定義。

• 定義（張量的Frobenius范數(shù)）：張量$\mathcal{A}$的Frobenius范數(shù)的定義為：
  $${\Vert \mathcal{A}\Vert }_F=\sqrt{?\mathcal{A},\mathcal{A}?}\stackrel{\text{def}}{=}{\left(\sum _{i_1=1}^{I_1}\sum _{i_2=1}^{I_2}?\sum _{i_n=1}^{I_n}{\left|a_{i_1{i}_2?i_n}\right|}^2\right)}^{1/2}$$
  其內(nèi)積和范數(shù)具有如下性質(zhì)：
• 張量的范數(shù)可以轉(zhuǎn)化成張量的矩陣化的范數(shù)
  $$\Vert \mathcal{A}\Vert =\Vert {\mathbf{A}}^{(I_n\times I_1?I_{n?1}{I}_{n+1}?I_N)}\Vert =\Vert {\mathbf{A}}^{(I_1?I_{n?1}{I}_{n+1}?I_N\times I_n)}\Vert$$
• 張量的范數(shù)可以改成張量的向量化函數(shù)的范數(shù)
  $$\Vert \mathcal{A}\Vert =\Vert {\mathbf{a}}^{(I_1{I}_2?I_N\times 1)}\Vert =\Vert {\mathbf{a}}^{(1\times I_1{I}_2?I_N)}\Vert$$
• 兩個張量之差的范數(shù)平方
  $${\Vert \mathcal{A}?\mathcal{B}\Vert }^2={\Vert \mathcal{A}\Vert }^2?2?\mathcal{A},\mathcal{B}?+{\Vert \mathcal{B}\Vert }^2$$
• 若$Q\in {\mathbb{K}}^{J\times I_n}$為標準正交矩陣，即$Q{Q}^H=I_{J\times J}$或$Q^{H}Q=I_{I_n\times I_N}$，則有
  $$\Vert \mathcal{A}{\times }_{n}Q\Vert =\Vert \mathcal{A}\Vert$$
• 令$\mathcal{A},\mathcal{B}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_N},{\mathbf{a}}_n,{\mathbf{b}}_n\in {\mathbb{K}}^{J\times I_n}$，其$\mathcal{A}={\mathbf{a}}_1°{\mathbf{a}}_2°?{\mathbf{a}}_{\mathbf{N}}$和$\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1°{\mathbf{b}}_2°?{\mathbf{b}}_{\mathbf{N}}$，則
  $$?\mathcal{A},\mathcal{B}?=\prod _{=1}^N?{\mathbf{a}}_n,{\mathbf{b}}_n?$$

向量的外積（output product）為一個矩陣，有$\mathbf{X}={\mathbf{u}\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}$多個向量的外積給出一張量。使用$°$表示多個向量的外積。

• 定義 （向量外積）$n$個向量$a^{(i)}\in {\mathbb{K}}^{i\times 1},i=1,?,n$的外積記為$a^{(1)}°a^{(2)}°?\times a^{(n)}$，其中為一個張量，有
  $$\mathcal{A}={\mathbf{a}}^{(1)}°{\mathbf{a}}^{(2)}°?{\mathbf{a}}^{(\mathbf{n})}$$
  使用元素形式定義為
  $$a_{i_1{i}_2?i_n}=a_{i_1}^{(1)}{a}_{i_2}^{(2)}?a_{i_1}^{(1)}$$
  式中$a_j^{(i)}$是模式$?n$的第$j$個元素。

向量的外積可以推廣到張量的外積，有

• 定義：（張量外積）兩個張量$\mathcal{A}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times I_2\times ?\times I_N}$和$\mathcal{B}\in {\mathbb{K}}^{J_1\times J_2\times ?\times J_N}$的外積仍為張量，記作$\mathcal{A}°\mathcal{B}\in {\mathbb{K}}^{I_1\times ?\times I_P\times J_1\times ?\times J_Q}$
  $$(\mathcal{A}°\mathcal{B}{)}_{i_1?i_P{j}_1?j_Q}=a_{i_1?i_P}{b}_{j_1?j_Q}$$

《矩陣分析與應用（第2版）》第10章 張量分析——張賢達

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的张量的基本概念及应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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