鄒永向 吳洪明

1 帶鋼系統的糾偏原理

帶鋼糾偏液壓伺服系統由液壓源、電液伺服閥、放大器、伺服液壓缸、卷筒、位置檢測傳感器[1] 等部件組成。整個液壓伺服系統是一個單位負反饋系統。光電傳感器檢測到帶鋼的位置發生偏移時，將檢測到的偏移信號作為這個系統的輸入信號，比較器比較檢測到偏移信號與液壓缸推動帶鋼移動的位移信號，偏差信號經過放大器后作用于電液伺服閥上，液壓缸根據伺服閥開口大小執行相應的動作，反復進行上述過程，直到偏差信號為0。液壓源為整個系統提供動力。整個帶鋼糾偏系統的結構原理簡圖如圖1 所示。

1. 帶鋼 2. 光電傳感器 3. 液壓缸 4. 卷筒

圖1 帶鋼糾偏系統結構原理簡圖

2 帶鋼液壓糾偏系統分析與建模

帶鋼液壓糾偏系統伺服部分的工作原理框圖[2] 如圖2 所示。

圖2 液壓伺服控制的原理

本文以具體的帶鋼液壓系統為例進行分析。系統的要求：

1)液壓缸推動卷筒運動時的最大速度v = 25 mm/s；

2)卷筒最大質量1 m = 18 000 kg，其余部分質量2 m = 22 000 kg；

4)液壓缸工作行程L = 160 mm ;

5)控制系統最大調節速度不小于25 mm/s ，系統頻寬ω ＞22 rad/s，最大加速度a = 5 mm/s2，系統的最大誤差e ＜±1.5 mm。

2.1 系統主要參數計算

1)供油壓力的選擇

該系統采用恒壓變量泵，為了減小泄漏同時減少能量損失，系統采用較低的供油壓力，取p s=5 MPa。

2)伺服閥的規格及其空載流量的確定

為保證伺服系統在任何情況下均滿足負載的要求，以系統的最大負載進行計算

式中：F Lmax 為最大負載力，N；m 為活塞及負載折算到活塞上的總質量，kg；x p 為活塞位移，m；B p 為活塞及負載的粘性阻尼系數；K 為負載彈性剛度，N/m；F L 為作用在活塞上的任意外負載力，N。由于該液壓系統沒有彈性負載，且粘性阻尼系數一般很小，可以忽略不計，即K=B p=0；同時，系統的外負載力主要是摩擦力，F L=fmg ，由工程經驗知，可取f =0.05，則系統的最大負載力F Lmax=19 800 N。

為保證該系統效率最大同時性能最優，取負載壓力

則液壓缸的有效面積

為了使該伺服系統的性能更優，可以增大液壓缸活塞的面積Ap，提高其液壓固有頻率[2]，因此，負載壓力可取更小值。選擇內徑32 mm、桿徑25 mm 的伺服液壓缸，則

伺服閥空載流量根據最大負載速度來確定，并認為最大負載速度和最大負載力同時出現。則伺服閥空載流量[2]

所選伺服閥壓降Δ p =1.4 MPa，根據流量和伺服閥壓降，選擇額定流量為90 L/min 的伺服閥可滿足系統的要求。

3)其他組成元件

由于檢測器與放大器的時間常數非常小，因此光電檢測器的增益

2.2 系統建模

1)動力元件的傳遞函數液壓缸的流量連續方程為

式中：q L 為液壓缸流量，x p 為目標位移，C tp 為液壓缸的總泄漏系數，Vt 為液壓缸處于中間位置時兩腔的體積，β e 為有效體積彈性模量。液壓缸和負載的力平衡方程為

根據拉式變換方程建立如圖3 所示的動力元件方塊圖

圖3 閥控液壓缸方框圖

計算分析時將F L 作為恒定負載處理，則系統對QL的響應為

式中：ω h 為液壓固有頻率，ξ h 為液壓阻尼比。由于B p 很小，可以忽略不計，則有

取V t=0.15×1.33×10-2=2.873×10-3 m3， 取β e=7×108N/m2，故動力元件的液壓固有頻率ω h=78.8rad/s；取ξ h=0.25，則液壓動力元件的傳遞函數為

二級電液伺服閥的傳遞函數為

式中：Ksv 為空載平均流量增益，ω sv 為伺服閥固有頻率，ξ sv 為伺服閥阻尼比。

伺服閥的動態參數可按樣本取值，當供油壓力p s=4MPa 時，空載流量為40 L/min，得到伺服閥的空載平均流量增益

由樣本查得ω sv=160 rad/s，ξ sv=0.7，代入式(13)得伺服閥的傳遞函數為

系統的開環傳遞函數為

其中

根據上述數據，繪制Simulink 仿真圖形，如圖4 所示。圖5 是系統伯德圖，圖6 是系統對單位階躍信號的響應。

圖4 Simulink 仿真框圖

圖5 帶鋼糾偏系統伯德圖

圖6 單位階躍響應仿真結果

由運行結果可知，該伺服系統的的幅值裕度為0.239dB, 相位裕度為46.9°，系統達到最終穩態值需要的時間為10 s。系統雖然最終能夠達到穩定，但系統的穩態性能很差。為了使該系統能夠真正在實際控制過程中對帶鋼進行有效糾偏，必須對其進行優化處理。該系統的總誤差

3 PID 控制器的設計

為了改善該伺服系統的性能，為該伺服系統增設PID控制器，使系統在實際控制過程中動態性能得到改善。常見的PID 參數整定的方法有衰減曲線法、經驗法和臨界比例度法。本文采用臨界比例度法對PID 參數進行整定。該方法是基于穩定性分析的PID 整定方法，其整定思想是：首先令積分和微分環節的增益為0，然后增加KP 直至系統開始震蕩，然后根據整定公式初步確定PID 的三個參數值[3]。其整定公式為

式中：Km 為系統開始振蕩時的K 值，ω m 為振蕩時的頻率。

在該液壓伺服控制中，光電檢測器調節PID 控制器中的比例增益KP=K，系統的開環傳遞函數可以表示為

改變比例增益值，繪制每個KP 對應的單位階躍響應圖，直到其響應圖處于臨界振蕩狀態，如圖7 所示。

圖7 不同比例增益對應的單位階躍響應

由圖7 可知：當系統處于臨界穩定時，Km=205，該點的頻率ω m=66.2 rad/s。按照臨界比例整定公式可知KP=123，KD=1.46，KI=2 591。

初步計算得出的PID 參數只能初步改善系統性能，可通過Matlab 中的PID 控制器調節，對PID 的參數進一步進行調整，得到更加優化的PID 參數：KP=95.7，KI=28.2，KD=1.0。加入PID 控制器后的系統開環傳遞函數為

Simulink 環境下建立的系統仿真模型如圖8 所示，單位階躍響應如圖9 所示。

圖8 PID 控制的Simulink 仿真框圖

圖9 加入PID 控制器后系統階躍響應

由圖9 可知，控制系統的上升時間t r=0.14 s，峰值時間t p=0.16 s，最大超調量Mp=6%，系統達到穩態值的時間為0.6 s。

4 模糊PID 控制器的設計

4.1 模糊PID 控制的特點

PID 控制具有原理簡單、實現容易、適用范圍廣的優點。但PID 參數的整定具有一定困難，要獲得較好的調節效果一般需要豐富的經驗或者需要對現有的系統進行試驗，而且，當確定了一組PID 的參數值后，可能不同時讓系統的響應時間、超調量等參數達到最優。模糊控制具有以下優點：在使用時，即使沒有建立非常精確的數學模型也不會對控制效果產生較大的影響；同時模糊控制具有較強的魯棒性和容錯能力。在PID 控制中加入模糊控制器，構成模糊PID 復合控制，可以同時具有PID 控制和模糊控制的優點：更快的動態響應特性，更小的超調量，更高的穩態精度。

4.2 模糊控制器的設計

目前廣為應用的是二維的模糊控制器。本文采用二維輸入三維輸出的模糊控制器，將誤差e 和誤差的變化Δe 作為模糊控制器的輸入量，以PID 的三個參數作為輸出量。

4.2.1 模糊控制器模糊規則建立的基本原則

1)若誤差為正同時誤差的變化為正，此時應增大執行機構的控制量，以減小系統誤差；

2)若誤差為正同時誤差的變化為負，這時執行機構本身已有消除誤差的趨勢，取控制量為0 或較小，可盡快消除誤差且保證不超調；

3)如果誤差為負而誤差的變化為正，應取較小的控制量；

4)如果誤差為負且誤差的變化為負，此時應增大執行機構的控制量，抑制超調量。

4.2.2 PID 三個參數的作用

1)適當增大比例參數KP 的值可以加快系統的響應速度，同時減小系統的穩態誤差，但系統的超調量會增加；隨著KP 的進一步增大，系統的穩定性變差，最終將導致系統不穩定。

2)積分作用參數KI 的主要作用是影響消除系統的穩態誤差的速度，KI 增大時系統的穩態誤差消除變快。但KI 也不能過大，否則在響應過程的初期會產生積分飽和現象，當KI 減小，系統的穩態誤差將難以消除，最終會影響系統的調節精度。

3)微分增益參數K D 的作用是影響系統的動態性能，調節KD 的值可以做到在響應過程中抑制偏差向任何方向的變化，提前預測偏差變化趨勢。但KD 不能過大，否則會使響應過程提前制動，延長調節時間，并且會降低系統的抗干擾性能。

4.2.3 模糊PID 控制器的設計步驟

1)確定模糊控制器的輸入輸出變量將單位負反饋系統的誤差e 和誤差的變化率Δe 作為控制器的輸入，將KP、P I、P D 作為控制器的輸入，他們各自的模糊子集為

e ={NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}；

Δe = {NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}；

P K = {NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}

I K = {NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}

D K = {NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}

2)確定變量的論域

為了方便修改PID 參數，將以上5 個變量的論域均設為[-3,3]，如圖10 所示。然后在控制器的每個輸入和輸出前加入比例增益環節，使得其輸入與輸出與各自變量范圍相匹配。

圖 10 變量e、 Δe、K P、P I、P D 的隸屬函數

3)建立模糊控制器的控制規則根據PID 各參數的作用以及模糊控制器的模糊原則，建立KP、P I、P D 模糊控制規則表，見表1 ～表3。

表1 K P 模糊控制規則表

表2 K I 模糊控制規則表

表3 K D 模糊控制規則表

輸出變量的三個參數之間是相互獨立沒有任何關系的，其取值的決定因素是輸入變量和模糊規則。

4)反模糊化為了兼顧精確性和結構復雜程度低兩個方面，采用

加權平均法。

5)量化因子和比例因子的選取量化因子Ke 和Kce 決定了控制器對e 和Δe 分辨度。量化因子越大，分辨率越高，但如果取值過大，系統的響應速度會因為振蕩而變得很慢[4]。對于比例因子有

式中：KP 為模糊PID 控制器輸出的比例參數，KI為模糊PID 控制器輸出的積分參數，KD 為模糊PID 控制器輸出的微分參數，KP＇為比例參數初始值，KI＇ 為積分參數初始值，KD＇為微分參數初始值，ΔKD 為比例參數比例因子，ΔKI 為積分參數比例因子，ΔKD 為微分參數比例因子，k P 為模糊控制器輸出的比例參數，k I為模糊控制器輸出的比例參數，k D 為模糊控制器輸出的比例參數。

ΔKP、ΔKI、ΔKD 是將PID 控制器中的KP、KI、KD 參數按比例縮小3~6 倍，KP＇、KI＇、KD＇是將原參數按比例縮放0.2~1.1 倍。將所有的參數都確定后，在Simulink 下對伺服系統進行仿真。加入模糊PID 控制器后仿真框圖和單位階躍響應分別見圖11 和圖12。

圖11 加入模糊PID 控制器后仿真框圖

由圖12 可知系統的上升時間為0.1 s，響應時間為0.3s，超調量為2.1%。將最初的系統模型、加入PID 控制器后的系統模型、加入模糊PID 控制器后的系統模型相互比較，結果見表4。

圖12 加入模糊PID 控制后單位階躍響應

表4 三種模型之間的比較

由表4 中數據可知，通過模糊PID 控制器優化之后，系統的響應時間縮短了97%，超調量降低了42.9%。

5 結束語

本文建立帶鋼糾偏系統的數學模型，通過PID 控制器和模糊PID 控制器逐級優化，最終使系統的控制性能得到明顯的改善。結果表明將模糊PID 技術應用到該系統中是可行的。

總結

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