微分中值定理與導數的應用

一·微分中值定理
㈠羅爾定理：
　　內容：f(x)在閉區間上連續，在開區間上可導，且在區間端點處函數值相同。
　　則f(x)在該區間內至少存在一點，該點的導數值為0。
　　
　　如果是考研題的話，一般需要構造輔助函數來尋找f(x)。

P182第六題

㈡拉格朗日中值定理
　　內容：f(x)在閉區間上連續，在開區間上可導，
　　則在該區間內至少存在一點使
　　f(b)-f(a)=f’(θ)(b-a)成立。（可以變形）
　　可以理解為：在區間內存在一點，該點的斜率與兩端點連線斜率相同。

P182頁最上面第一小題，課后第十小題

㈢柯西中值定理（參數方程下的拉格朗日）
　　內容：f(x),F(x)在閉區間連續，開區間可導，且F’(x)≠0
　　則存在
　　　
成立

---

三大定理用法比較多。知道定理就好，不變應萬變。

---

二·洛必達法則
㈠兩種未定式情況：零比零型（將趨近值帶入，分子分母都為0），無窮比無窮型。
在這兩種情況下，分子分母可以同時求導，如得不出答案，還可以繼續求導，直至得到結果

例二，例三，例五

㈡做題過程中可能會遇見其他情況的未定式需進行變形：

碰上這幾種未定式都依次進行轉換，轉變成那兩種基本類型。（通分，取對數沒啥講的，取倒是將其中一個值變成它分之一，然后移到分母上。因為無窮大與無窮小互為倒數）無窮小為為0

例7,8,9

㈢課后第二題，不能用洛必達的情況（雖然是無窮比無窮):
　導之后分子分母極限都存在或都為無窮的情況才能用洛必達。若不存在就不能用洛必達定理(一般情況不會遇見)

---

三·泰勒公式
　　本科階段對其要求不高，考研階段經常用。
　　須記住幾個常見的：
　　

---

四·單調性與凹凸性
㈠單調性：（用一階導函數判）
　　一階導函數：大于0的為增函數，小于0的為減函數。【一階導為0的點稱為駐點】
　　
㈡凹凸性：（用二階導函數判）
　　二階導函數：大于0的為凹函數，小于0的為凸函數，（記不住的話，考試的時候可以用個簡單的拋物線心算一下）【二階導為0的點稱為拐點。它是一個點，不是橫坐標】
　　補：瑕點：簡單來說就是求極限時使分母為0的點

---

五·極值最值
極值求法：
利用一階導：高中應該學過吧

利用二階導：首先函數得有二階導，且一階導為0，則當二階導小于零時為在該點取極大值，反之為極小值

利用n階導：課本p161頁第四題（表達非常清晰，不再打了）

練習：p182上面第二小題

最值
把駐點，不可導點，區間端點分別帶進函數，比較大小即可

---

六·畫圖
①列個表格，找出駐點，拐點，然后分割區間
②寫出各區間內函數增減情況
③找出駐點，拐點的函數值
④找出一些其他點補充一下圖形準確性
⑤畫圖

看兩道例題，學學步驟

---

七·曲率（只記公式就可以）
㈠弧微分：（幾種不同的函數）
記住會用會帶入就好

㈡曲率：

參數方程曲率計算公式：

例二

㈢曲率圓與曲率半徑：
　　有公切線，凹向一致，曲率相同。
　　曲率半徑與函數該點曲率互為倒數

例三，課后1,4,5

---

點擊查看：
第四章
第五章
第七章

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高数：第三章（同济大学第七版）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。