高等數(shù)學(xué)（第七版）同濟(jì)大學(xué) 習(xí)題3-8

題解中的C語言代碼采用的IDE：Visual Studio 2010

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$\begin{array}{rlr}& 1.試證明方程x^3?3x^2+6x?1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用二分法求這個(gè)根的近似值，& \\ & & \\ & 使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設(shè)函數(shù)f(x)=x^3?3x^2+6x?1，f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)=?1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，則方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。& \\ & & \\ & 因f^{\prime }(x)=3x^2?6x+6=3(x?1{)}^2+3>0，所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)增加，即方程f(x)=0，& \\ & & \\ & 在(0,1)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根。所以，方程x^3?3x^2+6x?1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根。& \\ & & \\ & 二分法求近似值：& \\ & & \\ & {\xi }_1=0.5，f({\xi }_1)=1.375>0，故a_1=0，b_1=0.5；& \\ & & \\ & {\xi }_2=0.25，f({\xi }_2)=0.328>0，故a_2=0，b_2=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_3=0.125，f({\xi }_3)=?0.295<0，故a_3=0.125，b_3=0.25；& \\ & & \\ & {\xi }_4=0.188，f({\xi }_4)=0.026>0，故a_4=0.125，b_4=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_5=0.157，f({\xi }_5)=?0.132<0，故a_5=0.157，b_5=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_6=0.173，f({\xi }_6)=?0.052<0，故a_6=0.173，b_6=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_7=0.18，f({\xi }_7)=?0.013<0，故a_7=0.18，b_7=0.188；& \\ & & \\ & {\xi }_8=0.184，f({\xi }_8)=0.007>0，故a_8=0.18，b_8=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_9=0.182，f({\xi }_9)=?0.003<0，故a_9=0.182，b_9=0.184；& \\ & & \\ & {\xi }_{10}=0.183，f({\xi }_{1}0)=0.002>0，故a_{10}=0.182，b_{10}=0.183；& \\ & & \\ & {\xi }_{11}=0.183，f({\xi }_{1}1)=0.002>0& \\ & & \\ & 使誤差不超過0.01的根的近似值為\xi =\mathrm{0.183.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xi, a, b;a=0;b=1;float fx;for(int i=0; i<12; i++){xi=(a+b)/2;fx=pow(xi, 3)-3*pow(xi, 2)+6*xi-1;printf("xi=%2.3f fx=%2.3f a=%2.3f b=%2.3f\n", xi, fx, a, b);if(fx>0){a=a;b=xi;}else if(fx<0){a=xi;b=b;}}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 2.試證明方程x^5+5x+1=0在區(qū)間(?1,0)內(nèi)有唯一的實(shí)根，并用切線法求這個(gè)根的近似值，& \\ & & \\ & 使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

設(shè)函數(shù)f(x)=x5+5x+1，f(x)在[?1,0]上連續(xù)，且f(?1)=?5<0，f(0)=1>0，由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈(?1,0)，使f(ξ)=0，則方程在區(qū)間(?1,0)內(nèi)至少有一實(shí)根。因?yàn)閒′(x)=5x4+5>0，所以f(x)在[?1,0]上單調(diào)增加，即方程f(x)=0，在(?1,0)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以，方程x5+5x+1=0在區(qū)間(?1,0)內(nèi)有唯一的實(shí)根。切線法求近似值：f′′(x)=20x3，f′′(?1)=?20<0，取x0=?1，用公式xn=xn?1?f(xn?1)f′(xn?1)得x1=x0?f(x0)f′(x0)=?0.5x2=x1?f(x1)f′(x1)≈?0.21x3=x2?f(x2)f′(x2)≈?0.2x4=x3?f(x3)f′(x3)≈?0.2使誤差不超過0.01的根的近似值為ξ=?0.2.\begin{aligned} &\ \ 設(shè)函數(shù)f(x)=x^5+5x+1，f(x)在[-1, \ 0]上連續(xù)，且f(-1)=-5 \lt 0，f(0)=1 \gt 0，\\\\ &\ \ 由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)\xi \in (-1, \ 0)，使f(\xi)=0，則方程在區(qū)間(-1, \ 0)內(nèi)至少有一實(shí)根。\\\\ &\ \ 因?yàn)閒'(x)=5x^4+5 \gt 0，所以f(x)在[-1,\ 0]上單調(diào)增加，即方程f(x)=0，\\\\ &\ \ 在(-1, \ 0)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以，方程x^5+5x+1=0在區(qū)間(-1, \ 0)內(nèi)有唯一的實(shí)根。\\\\ &\ \ 切線法求近似值：\\\\ &\ \ f''(x)=20x^3，f''(-1)=-20 \lt 0，取x_0=-1，用公式x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}得\\\\ &\ \ x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=-0.5\\\\ &\ \ x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx -0.21\\\\ &\ \ x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx -0.2\\\\ &\ \ x_4=x_3-\frac{f(x_3)}{f'(x_3)} \approx -0.2\\\\ &\ \ 使誤差不超過0.01的根的近似值為\xi=-0.2. & \end{aligned}???設(shè)函數(shù)f(x)=x5+5x+1，f(x)在[?1,?0]上連續(xù)，且f(?1)=?5<0，f(0)=1>0，??由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈(?1,?0)，使f(ξ)=0，則方程在區(qū)間(?1,?0)內(nèi)至少有一實(shí)根。??因?yàn)?/span>f′(x)=5x4+5>0，所以f(x)在[?1,?0]上單調(diào)增加，即方程f(x)=0，??在(?1,?0)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以，方程x5+5x+1=0在區(qū)間(?1,?0)內(nèi)有唯一的實(shí)根。??切線法求近似值：??f′′(x)=20x3，f′′(?1)=?20<0，取x0?=?1，用公式xn?=xn?1??f′(xn?1?)f(xn?1?)?得??x1?=x0??f′(x0?)f(x0?)?=?0.5??x2?=x1??f′(x1?)f(x1?)?≈?0.21??x3?=x2??f′(x2?)f(x2?)?≈?0.2??x4?=x3??f′(x3?)f(x3?)?≈?0.2??使誤差不超過0.01的根的近似值為ξ=?0.2.??
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float x, xn;xn=-1;float fx, fx1;for(int i=0; i<4; i++){fx=pow(xn, 5)+5*xn+1;fx1=5*pow(xn, 4)+5;x=xn-fx/fx1;printf("x=%3.2f\n", x);xn=x;}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 3.用割線法求方程x^3+3x?1=0的近似根，使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 設(shè)函數(shù)f(x)=x^3+3x?1，f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)=?1<0，f(1)=3>0，& \\ & & \\ & 由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)\xi \in (0,1)，使f(\xi )=0，因f^{\prime }(x)=3x^2+3>0，& \\ & & \\ & 所以f(x)在[0,1]上單調(diào)增加，方程在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根。& \\ & & \\ & 割線法求近似值：& \\ & & \\ & f^{\prime \prime }(x)=6x，f^{\prime \prime }(1)=6>0，取x_0=1，x_1=0.8，利用公式x_{n+1}=x_n?\frac{x_n?x_{n?1}}{f(x_n)?f(x_{n?1})}?f(x_n)得& \\ & & \\ & x_2=x_1?\frac{x_1?x_0}{f(x_1)?f(x_0)}?f(x_1)\approx 0.449& \\ & & \\ & x_3=x_2?\frac{x_2?x_1}{f(x_2)?f(x_1)}?f(x_2)\approx 0.345& \\ & & \\ & x_4=x_3?\frac{x_3?x_2}{f(x_3)?f(x_2)}?f(x_3)\approx 0.323& \\ & & \\ & x_5=x_4?\frac{x_4?x_3}{f(x_4)?f(x_3)}?f(x_4)\approx 0.322& \\ & & \\ & 取0.32作為根的近似值，其誤差小于\mathrm{0.01.}& \end{array}$
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xn0, xn1, r;xn0=1.0;xn1=0.8;float fx0, fx1;for(int i=0; i<6; i++){fx0=pow(xn0, 3)+3*xn0-1;fx1=pow(xn1, 3)+3*xn1-1;r=xn1-(xn1-xn0)/(fx1-fx0)*fx1;printf("r=%2.3f\n", r);xn0=xn1;xn1=r;}system("pause");return 0; }

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$\begin{array}{rlr}& 4.求方程xlgx=1的近似根，使誤差不超過\mathrm{0.01.}& \end{array}$

解：

設(shè)函數(shù)f(x)=xlgx?1，f(x)在[1,3]上連續(xù)，且f(1)=?1<0，f(3)=3lg3?1>0，由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈(1,3)，使f(ξ)=0，方程在區(qū)間(1,3)內(nèi)至少有一實(shí)根，因?yàn)閒′(x)=lgx+x?1xln10=lgx+1ln10>0(x≥1)，所以函數(shù)在[1,3]上單調(diào)增加，方程f(x)=0，即xlgx=1在(1,3)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以方程xlgx=1在(1,3)內(nèi)有唯一的實(shí)根。二分法求根的近似值：ξ1=2，f(ξ1)=?0.395<0，故a1=2，b1=3；ξ2=2.5，f(ξ2)=?0.005<0，故a2=2.5，b2=3；ξ3=2.75，f(ξ3)=0.208>0，故a3=2.5，b3=2.75；ξ4=2.63，f(ξ4)=0.1>0，故a4=2.5，b4=2.63；ξ5=2.57，f(ξ5)=0.047>0，故a5=2.5，b5=2.57；ξ6=2.53，f(ξ6)=0.021>0，故a6=2.5，b6=2.53；ξ7=2.52，f(ξ7)=0.008>0，故a7=2.5，b7=2.52；ξ8=2.51，f(ξ8)=0.001>0，故a8=2.5，b8=2.51；ξ9=2.51，f(ξ9)=0.001>0所以誤差不超過0.01的根的近似值為ξ=2.51.\begin{aligned} &\ \ 設(shè)函數(shù)f(x)=xlg\ x-1，f(x)在[1, \ 3]上連續(xù)，且f(1)=-1 \lt 0，f(3)=3lg\ 3-1 \gt 0，\\\\ &\ \ 由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)\xi \in (1, \ 3)，使f(\xi)=0，方程在區(qū)間(1, \ 3)內(nèi)至少有一實(shí)根，\\\\ &\ \ 因?yàn)閒'(x)=lg\ x+x\cdot \frac{1}{xln\ 10}=lg\ x+\frac{1}{ln\ 10} \gt 0\ (x \ge 1)，所以函數(shù)在[1, \ 3]上單調(diào)增加，方程f(x)=0，\\\\ &\ \ 即xlg\ x=1在(1, \ 3)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以方程xlg\ x=1在(1, \ 3)內(nèi)有唯一的實(shí)根。\\\\ &\ \ 二分法求根的近似值：\\\\ &\ \ \xi_1=2，f(\xi_1)=-0.395 \lt 0，故a_1=2，b_1=3；\\\\ &\ \ \xi_2=2.5，f(\xi_2)=-0.005 \lt 0，故a_2=2.5，b_2=3；\\\\ &\ \ \xi_3=2.75，f(\xi_3)=0.208 \gt 0，故a_3=2.5，b_3=2.75；\\\\ &\ \ \xi_4=2.63，f(\xi_4)=0.1 \gt 0，故a_4=2.5，b_4=2.63；\\\\ &\ \ \xi_5=2.57，f(\xi_5)=0.047 \gt 0，故a_5=2.5，b_5=2.57；\\\\ &\ \ \xi_6=2.53，f(\xi_6)=0.021 \gt 0，故a_6=2.5，b_6=2.53；\\\\ &\ \ \xi_7=2.52，f(\xi_7)=0.008 \gt 0，故a_7=2.5，b_7=2.52；\\\\ &\ \ \xi_8=2.51，f(\xi_8)=0.001 \gt 0，故a_8=2.5，b_8=2.51；\\\\ &\ \ \xi_9=2.51，f(\xi_9)=0.001 \gt 0\\\\ &\ \ 所以誤差不超過0.01的根的近似值為\xi=2.51. & \end{aligned}???設(shè)函數(shù)f(x)=xlg?x?1，f(x)在[1,?3]上連續(xù)，且f(1)=?1<0，f(3)=3lg?3?1>0，??由零點(diǎn)定理可知至少存在一點(diǎn)ξ∈(1,?3)，使f(ξ)=0，方程在區(qū)間(1,?3)內(nèi)至少有一實(shí)根，??因?yàn)?/span>f′(x)=lg?x+x?xln?101?=lg?x+ln?101?>0?(x≥1)，所以函數(shù)在[1,?3]上單調(diào)增加，方程f(x)=0，??即xlg?x=1在(1,?3)內(nèi)最多有一個(gè)實(shí)根，所以方程xlg?x=1在(1,?3)內(nèi)有唯一的實(shí)根。??二分法求根的近似值：??ξ1?=2，f(ξ1?)=?0.395<0，故a1?=2，b1?=3；??ξ2?=2.5，f(ξ2?)=?0.005<0，故a2?=2.5，b2?=3；??ξ3?=2.75，f(ξ3?)=0.208>0，故a3?=2.5，b3?=2.75；??ξ4?=2.63，f(ξ4?)=0.1>0，故a4?=2.5，b4?=2.63；??ξ5?=2.57，f(ξ5?)=0.047>0，故a5?=2.5，b5?=2.57；??ξ6?=2.53，f(ξ6?)=0.021>0，故a6?=2.5，b6?=2.53；??ξ7?=2.52，f(ξ7?)=0.008>0，故a7?=2.5，b7?=2.52；??ξ8?=2.51，f(ξ8?)=0.001>0，故a8?=2.5，b8?=2.51；??ξ9?=2.51，f(ξ9?)=0.001>0??所以誤差不超過0.01的根的近似值為ξ=2.51.??
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代碼塊：

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>int main() {float xi, a, b;a=1;b=3;float fx;for(int i=0; i<10; i++){xi=(a+b)/2;fx=xi*log10(xi)-1;printf("xi=%2.2f fx=%2.3f a=%2.2f b=%2.2f\n", xi, fx, a, b);if(fx>0){a=a;b=xi;}else if(fx<0){a=xi;b=b;}}system("pause");return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学（第七版）同济大学 习题3-8 个人解答的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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