指標賦權與綜合評價方法

• 一、主觀賦權
• • 1、AHP層次分析法
• 二、客觀賦權
• • 1、主成分分析
  • 2、熵權法
• 三、組合賦權法
• 四、綜合評價
• • 1、Topsis
  • 2、數據包絡法
• 五、GRA灰色關聯度分析

---

一、主觀賦權

1、AHP層次分析法

（1）模型簡介
層次分析法是一種解決多目標的復雜問題的定性與定量相結合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結合起來，用決策者的經驗判斷各衡量目標之間能否實現的標準之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標準的權數，利用權數求出各方案的優劣次序，比較有效地應用于那些難以用定量方法解決的問題。

（2）步驟

• 建立層次結構模型
• 構造判斷矩陣

標度含義

1	同等重要性
3	稍微重要
5	明顯重要
7	非常重要
9	極端重要
2，4，6，8	上述兩相鄰判斷的中值
倒數	如果A與B相比如果標度為3，則B與A相比為1/3

• 層次單排序及一致性檢驗
  
  首先需要進行一致性指標CI的計算$$CI=\frac{{\lambda }_{max}?n}{n?I}$$當CI=0時，判斷矩陣具有完全一致性。-n越大，CI越大，則判斷矩陣的一致性就越差。為了檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均隨機一致性指標RI進行比較。

矩陣階數123456789

RI	0	0	0.58	0.96	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

若判斷矩陣$CR=\frac{CI}{RI}<0.10$時，則此判斷矩陣具有滿意的一致性，否則需要對判斷矩陣進行調整。

• 層次總排序及一致性檢驗
  

（3）具體算法
判斷矩陣進行一致性檢驗并通過后，計算各指標的權重。
權重計算方法有三種：算術平均法、幾何平均法、特征值法。

（4）模型優缺點

優點
層次分析法定性問題進行定量分析的一種簡便靈活，而且實用的一種多準則決策方法。把研究對象作為一個系統，按照分解、比較判斷、綜合的思維進行決策，用該方法可以將定量與定性結合起來。模型中利用層次分析法求得的權重，綜合各個指標得出結論，這樣做可以避免一定的誤差。

缺點
主觀因素對判斷矩陣的影響很大，當決策者的判斷過多地受其主觀偏好的影響時，結果不夠客觀。

（5）參考資料
層次分析法（AHP）詳細步驟
數學建模十大算法——層次分析法
網絡分析法ANP
AHP、ANP、熵值法

---

二、客觀賦權

1、主成分分析

（1）簡介
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一種統計方法。通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉換為一組線性不相關的變量，轉換后的這組變量叫主成分。

（2）基本原理
主成分分析法是一種降維的統計方法，它借助于一個正交變換，將其分量相關的原隨機向量轉化成其分量不相關的新隨機向量，這在代數上表現為將原隨機向量的協方差陣變換成對角形陣，在幾何上表現為將原坐標系變換成新的正交坐標系，使之指向樣本點散布最開的p個正交方向，然后對多維變量系統進行降維處理，使之能以一個較高的精度轉換成低維變量系統，再通過構造適當的價值函數，進一步把低維系統轉化成一維系統。

主成分分析的原理是設法將原來變量重新組合成一組新的相互無關的幾個綜合變量，同時根據實際需要從中可以取出幾個較少的總和變量盡可能多地反映原來變量的信息的統計方法叫做主成分分析或稱主分量分析，也是數學上處理降維的一種方法。主成分分析是設法將原來眾多具有一定相關性（比如P個指標），重新組合成一組新的互相無關的綜合指標來代替原來的指標。通常數學上的處理就是將原來P個指標作線性組合，作為新的綜合指標。最經典的做法就是用F1（選取的第一個線性組合，即第一個綜合指標）的方差來表達，即Va（rF1）越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的線性組合中選取的F1應該是方差最大的，故稱F1為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來P個指標的信息，再考慮選取F2即選第二個線性組合，為了有效地反映原來信息，F1已有的信息就不需要再出現再F2中，用數學語言表達就是要求Cov（F1,F2）=0，則稱F2為第二主成分，依此類推可以構造出第三、第四，……，第P個主成分。

（3）步驟

• 數據標準化
  
• 計算相關系數矩陣
  
• 計算相關系數矩陣的特征值和特征向量
• 選擇p個主成分，計算綜合評價值
  
• 計算主成分載荷
  

（4）優缺點
優點

• 使得數據集更易使用
• 降低算法的計算開銷
• 去除噪聲
• 使得結果容易理解
• 完全無參數限制

缺點

• 如果用戶對觀測對象有一定的先驗知識，掌握了數據的一些特征，卻無法通過參數化等方法對處理過程進行干預，可能會得不到預期的效果，效率也不高
• 特征值分解有一些局限性，比如變換的矩陣必須是方陣
• 在非高斯分布情況下，PCA方法得出的主元可能并不是最優的

（5）參考資料
數學建模之主成分分析
主成分分析介紹（matlab實現）
主成分分析法（spss實現）

---

2、熵權法

（1）簡介
在信息論中，熵是對不確定性的一種度量。不確定性越大，熵就越大，包含的信息量越大；不確定性越小，熵就越小，包含的信息量就越小。

根據熵的特性，可以通過計算熵值來判斷一個事件的隨機性及無序程度，也可以用熵值來判斷某個指標的離散程度，指標的離散程度越大，該指標對綜合評價的影響（權重）越大。比如樣本數據在某指標下取值都相等，則該指標對總體評價的影響為0，權值為0。

熵權法是一種客觀賦權法，因為它僅依賴于數據本身的離散性。

（2）計算步驟

（3）參考資料
熵權法確定權重

---

三、組合賦權法

（1）簡介

在對指標進行權重分配時，應考慮指標數據之間的內在統計規律和權威值。給出了合理的決策指標賦權方法，即采用主觀賦權法和客觀賦權法相結合的組合賦權方法，以彌補單一賦權帶來的不足。將兩種賦權方法相結合的加權方法稱為組合賦權法。

（2）具體算法
離差平方和最小的最優組合賦權法計算組合權重

（3）參考資料
多屬性決策中的一種最優組合賦權方法研究（文獻）
綜合主、客觀權重信息的最優組合賦權方法（文獻）
組合賦權如何確定主客觀權重分配（重要）

---

四、綜合評價

1、Topsis

（1）簡介
C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)。TOPSIS 法是一種常用的組內綜合評價方法，能充分利用原始數據的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距?；具^程為先將原始數據矩陣統一指標類型（一般正向化處理） 得到正向化的矩陣，再對正向化的矩陣進行標準化處理以消除各指標量綱的影響，并找到有限方案中的最優方案和最劣方案，然后分別計算各評價對象與最優方案和最劣方案間的距離，獲得各評價對象與最優方案的相對接近程度，以此作為評價優劣的依據。該方法對數據分布及樣本含量沒有嚴格限制，數據計算簡單易行。

（2）具體實現方法
1、如果有多個指標且不全是極大型指標，則進行指標正向化
（1）中間型指標——>極大型指標
$X_i$是一組中間型指標序列，且最佳的數值為$X_{best}$，那么正向化的公式為$$M=max|X_i?X_{best}|$$
（2）區間型指標——>極大型指標
$X_i$是一組中間型指標序列，且最佳的區間為$[a,b]$，那么正向化的公式為$$M=maxa?min{X}_i,max{X}_i?b$$

2、對正向化矩陣進行標準化，目的是消除不同指標量綱的影響

3、計算得分
假設有n個要評價的對象，m個評價指標的標準化矩陣
（1）定義最大值
（2）定義最小值
（3）定義第i(i=1,2,…,n)個評價對象與最大值的距離
（4）定義第i(i=1,2,…,n)個評價對象與最小值的距離

因此，可以計算得出第i(i=1,2,…,n)個評價對象未歸一化的得分：

很明顯，當01，且越大越小，即越接近最大值

4、歸一化評分

（3）案例
題目：評價表1中20條河流的水質情況
已知：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；細菌總數越少越好；植物性營養物量介于10—20之間最佳，超過20或低于10均不好
解題思路：
1、將各項指標正向化
PH值（中間型轉極大型）、細菌總數（極小型轉極大型）、植物性營養物量（區間型轉極大型）
2、正向化后的矩陣進行標準化
3、進行打分（20個評價對象（河流），4個評價指標（含氧量、PH值、細菌總數、植物性營養物量））
4、分數歸一化
5、分析評分，得分最高的河流水質最好,得到表2、圖1所示結果

（4）學習參考資料
評價類模型——TOPSIS法（優劣解距離法）學習一
評價類模型——TOPSIS法（優劣解距離法）學習二

---

2、數據包絡法

（1）方法簡介
績效評估是評估組織或個人如何以較少的資源獲得較多的產出結果的多屬性評估，也稱之為成本效益分析。數據包絡分析是 A.Charnes, W.W.Copper 和 E.Rhodes 在 1978 年提出的評價多指標輸入輸出，衡量系統有效性的方法。將屬性劃分為投入項、產出項（成本型、效益型指標），不預先設定權重，只關心總產出與總投入，以其比率作為相對效率。數據包絡分析有多種模式，主要為：CCR 模式，BBC 模式、交叉模式、A&P 模式。

（2）步驟
1、構建決策單元
要點：確定“投入”和“產出”

2、建立DEA效率評估模型（CCR模式）
決策單元k的效益評價指數為：

從投入資源的角度來看，在當前產出的水準下，比較投入資源的使用情況，以此作為效益評價的依據，這種模式稱為“投入導向模式”。但這種模型不是傳統的線性規劃模型, 難以求最優解, 因此將其線性化后, 取對偶模型，為如下模型（評價決策單元k效益的CCR模式線性規化模型）：

為加速模型求解及分析產能效應，為上述方程引入松弛變量,?。其中 稱為差額變數，表示該決策單元為達到 “DEA 有效” 應減少的投入量,稱為超額變數，代表為達到 “DEA 有效” 應增加的產出量。引入非阿基米德數 ε (non-Archimedean constant) CCR 模式線性規劃模型化為：

3、分層序列法求解
使用分層序列法進行求解。第一階段求解OEk的最小值，在第二階段求解兩項和的最大值，即

（3）優缺點

優點
同時考慮多項的投入與產出屬性，來評估決策單位和方案的相對效率，不依賴于人為選擇權重，對于決策問題中不可度量糅合的屬性具有天然的優勢。對測量單位的改變不敏感，具有較強的魯棒性。模型依賴于線性規劃問題的基本算法，求解速度快。

缺點
評估結果是相對效率而非絕對效率，因此效率為 1 只能說明在當前資源下不同方案同等有效，并不代表沒有改進之處，模型不依賴于權重的選擇，將所有的投入、產出資源認為同等重要，一定程度上損失模型的可靠性。

（4）參考資料
方法詳細介紹
DEA（數據包絡分析）介紹（python實現）
RSR（秩和比綜合評價法）介紹（python實現）
一個案例（lingo實現）

---

五、GRA灰色關聯度分析

（1）簡介
灰色關聯度分析（Grey Relation Analysis，GRA），是一種多因素統計分析的方法。簡單來講，就是在一個灰色系統中，我們想要了解其中某個我們所關注的某個項目受其他的因素影響的相對強弱，再直白一點，就是說：我們假設以及知道某一個指標可能是與其他的某幾個因素相關的，那么我們想知道這個指標與其他哪個因素相對來說更有關系，而哪個因素相對關系弱一點，依次類推，把這些因素排個序，得到一個分析結果，我們就可以知道我們關注的這個指標，與因素中的哪些更相關。

（2）具體算法
1、確定母序列
母序列即參考序列，這里要找到子序列和參考序列的關聯程度。

2、歸一化（無量綱化）
減少數據的絕對數值的差異，將它們統一到近似的范圍內，然后重點關注其變化和趨勢。主要方法有初值化和均值化。

初值化：把這一個序列的數據統一除以最開始的值，由于同一個因素的序列的量級差別不大，所以通過除以初值就能將這些值都整理到1這個量級附近。

均值化：把這個序列的數據除以均值，由于數量級大的序列均值比較大，所以除掉以后就能歸一化到1的量級附近。

3、計算灰色關聯系數

對公示的簡單理解：
當ρ取0的時候，該式分子表示所有因素的維度中，與參考序列距離最近的維度上的距離；分母相當于歸一化。
當ρ不取0的時候，相當于分子分母同時增加相同的數（實際上是添加溶質的溶液的問題）。
總之，ρ是控制灰色關聯系數區分度的一個系數，ρ取值從0到1，ρ越小，區分度越大，一般取0.5較為合適。而灰色關聯系數取值落在0到1之間。

4、計算關聯系數均值，形成關聯序

（3）算法總結
GRA算法本質上來講就是提供了一種度量兩個向量之間距離的方法，對于有時間性的因子，向量可以看成一條時間曲線，而GRA算法就是度量兩條曲線的形態和走勢是否相近。為了避免其他干擾，凸出形態特征的影響，GRA先做了歸一化，將所有向量矯正到同一個尺度和位置，然后計算每個點的距離。最后，通過min min 和max max 的矯正，使得最終輸出的結果落在0到1之間，從而符合系數的一般定義。rho調節不同關聯系數之間的差異，換句話說，就是輸出的分布，使其可以變得更加稀疏或者緊密。以數學角度要言之，該算法即度量已歸一化的子向量與母向量的每一維度的l1-norm距離的倒數之和，并將其映射到0～1區間內，作為子母向量的關聯性之度量的一種策略。

（4）算法優缺點
1、優點
此方法的優點在于思路明晰，可以在很大程度上減少由于信息不對稱帶來的損失，并且對數據要求較低，工作量較少。
2、缺點
其主要缺點在于要求需要對各項指標的最優值進行現行確定，主觀性過強，同時部分指標最優值難以確定。

（5）參考文獻
灰色關聯度分析原理詳解（matlab）
灰色關聯分析的理論及應用（這個詳細 matlab、python）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的指标赋权与评价类方法总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。