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高等数学期末复习——知识点梳理

發布時間：2024/8/1 编程问答 44 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了高等数学期末复习——知识点梳理小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

向量代數與空間解析幾何
- 三維向量叉乘：
- 平面方程：
- 直線方程：
多元函數微分學
- 多元函數連續的充分條件
- 偏導數與連續的關系
- 隱函數的導數
- 方向導數
- 梯度
多元函數微分學的應用
- 空間曲線的切線與法平面方程
- 空間曲線的切平面和法線方程
- 有約束極值
多元函數積分學
- 四個等價命題與格林公式
無窮級數
- 幾個性質
- 正項級數斂散性判別法
- - 比較判別法
  - 部分和數列
  - 柯西判別法
  - 比值判別法
- 交錯級數斂散性判別法
- - Lebniz method
- 任意項級數斂散性判別法
- - 狄利克雷判別法
- 傅里葉級數

向量代數與空間解析幾何

向量混合積：(a × b)· c

定義 $Prj_x a$ 為a到x的投影

可用于計算六面體體積。

另：

三維向量叉乘：

$(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=∣ijkaxayazbxbybz∣(a_x,a_y,a_z)×(b_x,b_y,b_z)= \left|\begin{array}{cccc} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end {array} \right|$

平面方程：

點法式. $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0$ ，其中 $(A, B, C)$ 為平面的法向量。

截距式: $xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}+\frac{z}{c}=1$ ，其中 $a, b, c$ 分別是 $x, y, z$ 軸的截距。

平面一般方程 $A x + B y + C z + D = 0$ .

三點式：不常用.

直線方程：

點向式. 設直線的方向向量為 $(m, n, q)$ ，其上有一點 $x_0,y_0,z_0)$ ，則可得直線方程
$x?x0m=y?y0n=z?z0q\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{q}$

兩點式

$x?x1x2?x1=y?y1y2?y1=z?z1z2?z1\frac{x-x_1}{x_2-x1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

參數式. 設方向向量為

(m, n, q)

，有一點為

x_0,y_0,z_0)

${x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+qt\left\{ \begin {array}{cccc} x=x_0+mt, \\ y=y_0+nt, \\ z=z_0+qt\end {array} \right.$

一般式，兩平面方程聯立即可

多元函數微分學

多元函數連續的充分條件

（1） $f (p)$ 在 $p$ 有定義

（2） $f (p)$ 在 $p$ 有極限

（3）極限值等于函數值

偏導數與連續的關系

簡單來說，偏x和偏y只是兩個方向，表示在這對正交方向上可導，但只有在二維平面上每個方向都有導數，才能說這個函數是連續的。

隱函數的導數

單方程情形： $F (x, y) = 0$ ，則
$dydx=?Fx′Fy′\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{'}}{F_y^{'}}$
方程組情形：對于方程組 ${F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0.\begin{cases} F(x,y,u,v)=0, \\ G(x,y,u,v)=0.\end{cases}$

若 $u = u (x, y), v = v (x, y)$ ，
$?(F,G)?(u,v)=∣Fu′Fv′Gu′Gv′∣\frac{\partial(F,G)}{\partial (u,v)}=\left | \begin{matrix} F_u'&F_v' \\ G_u'&G_v' \\ \end{matrix} \right |$

方向導數

偏 $x$ 和 $y$ 的導數實際上是兩個方向的方向導數。一般化后，得到公式：
$?f(P0)?l=(?f(P0)?x,?f(P0)?y)?el\frac {\partial f(P_0)}{\partial l}=(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x},\frac{\partial f(P_0)}{\partial y})·\boldsymbol{e_l}$

其中 $el\boldsymbol e_l$ 是沿 $l$ 方向的單位向量。

梯度

例如，當 $f (x, y)$ 是某二元函數時，梯度
$gradf(p)=(fx′(p),fy′(p))\textbf {grad}f(p)=(f_x'(p),f_y'(p))$

多元函數微分學的應用

空間曲線的切線與法平面方程

若直線 $l$ 上的點滿足 $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ ， $t∈It\in I$ ，對于直線上一點 $P(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ ，有過 $P$ 的切線為 $x?x0x′(t0)=y?y0y′(t0)=z?z0z′(t0)\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$ .

法平面方程為 $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$ .

空間曲線的切平面和法線方程

直接求梯度即可，各系數為切平面系數/法線方程系數。

有約束極值

拉格朗日函數

若約束為 $φ(x,y,z)=0\ \varphi (x,y,z)=0$ ，可設 $(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \varphi (x,y,z)$ ，最后解方程組，四維導數分別等于0.

多元函數積分學

四個等價命題與格林公式

∮lPdx+Qdy=0\oint_l Pdx+Qdy=0

∫lPdx+Qdy\int_l Pdx + Qdy

與積分路徑無關

是某個函數的全微分. 即存在

u, d u = P d x + Q d y

?Q?x=?P?y\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}

在

D

內處處成立

格林公式：
$∮Pdx+Qdy=(??Q?x??P?y)dxdy\oint Pdx+Qdy=(\iint \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
原函數與全微分方程

若 $D$ 單連通， $P(x,y),Q(x,y)∈C(D)P(x,y),Q(x,y)\in C(D)$ ，且有 $?Q?x=?P?y\frac {\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ，則存在函數 $u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdyu(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy$ ，使得 $d u = P d x + Q d y$ .

高斯公式：
$?ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=?(?P?x+?Q?y+?R?z)dxdydz\oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$
斯托克斯公式：
$∮ΓPdx+Qdy+Rdz=?(?R?y??Q?z)dydz+(?P?z??R?x)dzdx+(?Q?x??P?y)dxdy\oint_\Gamma Pdx + Qdy + Rdz=\iint (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
（可以直接計算，改變積分次序，一般用不上這個公式）

散度：
若向量場 $F = (P, Q, R)$ ，則稱
$?P(x0,y0,z0)?x+?Q(x0,y0,z0)?y+?R(x0,y0,z0)?z\frac{\partial P(x_0,y_0,z_0)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x_0,y_0,z_0)}{\partial y}+\frac{\partial R(x_0,y_0,z_0)}{\partial z}$
為 $F$ 在 $M(x_0,y_0,z_0)$ 的散度，簡記為 $divF(x,y,z)|_M$

則高斯公式的場形式：

$?F?dS=?divFdv\oiint \boldsymbol F ·dS=\iiint div\boldsymbol F dv$ .

環流量與旋度

$rotF=∣ijk??x??y??zPQR∣\textbf{rot} \boldsymbol F = \left | \begin{matrix} \boldsymbol i &\boldsymbol j &\boldsymbol k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R\end{matrix}\right|$ .

Stokes formula 場形式：

$∮F?ds=?rotF?dS\oint \boldsymbol F·ds=\iint \textbf{rot}\boldsymbol F·dS$

無窮級數

幾個性質

若級數收斂，則項的極限為0.

調和級數發散.

收斂級數滿足線性運算。即乘以一個常數或者加上有限個項/一個常數，級數仍然收斂.

收斂級數結合后仍然收斂，但收斂級數去掉某些括號后不一定仍然收斂.

正項級數斂散性判別法

比較判別法

若有 $A=lim?x=0∞un,B=lim?x=0∞vnA=\lim_{x=0}^{\infin}u_n,B=\lim_{x=0}^{\infin}v_n$ 均為正項級數， $?N>0,c>0\exist N > 0,c>0$ ,當 $n>N,un≤vnn>N,u_n\leq v_n$ ，則：

（1）當 $B$ 收斂時， $A$ 也收斂；

（2）當 $A$ 發散時， $B$ 也發散.

部分和數列

對于正項級數，若部分和數列有上界，則原級數一定收斂。

柯西判別法

對于 $lim?x=0+∞un\lim_{x=0}^{+\infin} u_n$ ，若 $?N>0\exist N>0$ ，當 $n > N$ ，有 $unn≥1\sqrt[n]{u_n}\geq 1$ ，則原級數發散. 若 $unn≤q<1\sqrt[n]{u_n}\leq q < 1$ （q為確定的常數），則原級數收斂.

比值判別法

若 $?N>0\exist N>0$ ，當 $n > N$ ， $un+1un≥1{u_{n+1}\over u_n}\ge1$ ，則原級數發散；

若 $?N>0\exist N>0$ ，當 $n > N$ ， $un+1un≤q<1{u_{n+1}\over u_n}\leq q<1$ （ $q$ 為確定常數），則原級數收斂.

交錯級數斂散性判別法

Lebniz method

若交錯級數 $∑n=1+∞(?1)n+1un\sum_{n=1}^{+\infin}(-1)^{n+1}u_n$ 滿足：

（1） $un+1≤unu_{n+1}\le u_{n}$ ；

（2） $lim?n→+∞un=0\lim_{n\to+\infin}u_n=0$ .

則原級數收斂，且和 $S≤u1S\leq u_1$ .

任意項級數斂散性判別法

考慮絕對級數，絕對級數收斂則原級數絕對收斂，否則不為絕對收斂，但原級數也可能收斂。絕對級數不收斂而原級數收斂的級數稱為條件收斂。

充分性： 絕對收斂 $?\Rightarrow$ 原級數收斂

狄利克雷判別法

（1） $u_n$ 單調減少且極限為0；

（2） $∣∑k=1nvk∣≤M|\sum_{k=1}^{n}v_k|\leq M$ ， $M > 0$ 且為與 $n$ 無關的常數.

則級數 $∑n=0+∞unvn\sum_{n=0}^{+\infin}u_nv_n$ 收斂.

傅里葉級數

對任意一個函數 $y = f (x)$ 進行傅里葉展開，

公式：
$an=1π∫?ππf(x)cosnxdx,n=0,1,2...;a_n= {1\over \pi}\int_{-π}^{\pi}f(x)cos\ nxdx,\ n=0,1,2...;$

$bn=1π∫?ππf(x)sinnxdx,n=1,2...b_n= {1\over \pi}\int_{-π}^{\pi}f(x)sin\ nxdx,\ n=1,2...$

$A=12a0+∑n=1+∞(ancosnx+bnsinnx)A={1\over2}a_0+\sum_{n=1}^{+\infin}(a_ncos\ nx+b_n sin\ nx)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学期末复习——知识点梳理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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