目錄

• 多元函數的基本概念
• • 平面點集；$n$ 維空間
  • 多元函數的極限
  • 多元函數的連續性
• 偏導數
• • 偏導數的定義及其計算法
  • 高階偏導數
• 全微分
• • 全微分的定義
  • 全微分在近似計算中的應用
• 多元復合函數的求導法則
• • 一元函數與多元函數復合的情形
  • 多元函數與多元函數復合的情形
  • 全微分形式不變性
• 隱函數的求導公式
• • 一個方程的情形
  • 方程組的情形
• 方向導數與梯度
• • 方向導數
  • 梯度
• 參考

多元函數的基本概念

多元的定義可以類似地由二元的定義寫出，因此下面只寫二元有關的定義

平面點集；$n$ 維空間

• 下面首先將 ${\mathbb{R}}^1$ 中兩點間距離、區間、鄰域等概念推廣到 ${\mathbb{R}}^2$ 及 ${\mathbb{R}}^n$

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平面點集

• 坐標平面上具有某種性質 $P$ 的點的集合，稱為平面點集
  

${\mathbb{R}}^2$ 中的鄰域

• 點 $P_0$ 的 $\delta$ 鄰域，記作 $U(P_0,\delta )$
  $$U\left(P_0,\delta \right)=\{P||P{P}_0|<\delta \}$$
• 點 $P_0$ 的去心 $\delta$ 鄰域，記作 $\stackrel{?}{U}(P_0,\delta )$
  $$\stackrel{?}{U}\left(P_0,\delta \right)=\{P|0<|P{P}_0|<\delta \}$$

點和點集的關系

• 內點：$U(P)?E$，其中 $E?{\mathbb{R}}^2$
• 外點：$U(P)\cap E=?$
• 邊界點：鄰域內既含有屬于 $E$ 的點，有含有不屬于 $E$ 的點 (邊界點的全體稱為 $E$ 的邊界 $?E$) (邊界點可能屬于 $E$，也可能不屬于 $E$，取決于 $E$ 包不包含其邊界)
• 聚點 (邊界點 / 內點)：對于任意給定的 $\delta >0$, 點 $P$ 的去心鄰域 $\stackrel{?}{U}(P,\delta )$ 內總有 $E$ 中的點
  

重要的平面點集

• 如果點集 $E$ 的點都是 $E$ 的內點，那么稱 $E$ 為開集
• 如果點集 $E$ 的邊界 $?E?E$, 那么稱 $E$ 為閉集
• 如果點集 $E$ 內任何兩點，都可用折線聯結起來，且該折線上的點都屬于 $E$, 那么稱 $E$ 為連通集
• 連通的開集稱為區域或開區域；開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域
• 對于平面點集 $E$, 如果存在某一正數 $r$ 使得 $E?U(O,r)$，其中 $O$ 為坐標原點，則稱 $E$ 為有界集，反之為無界集

多元函數的極限

二元函數的極限 / 二重極限

• 必須注意．所謂二重極限存在，是指 $P(x,y)$ 以任何方式趨于 $P_0(x_0,y_0)$ 時，$f(x,y)$ 都無限接近于 $A$. 如果當 $P(x,y)$ 以不同的方式趨于 $P_0(x_0,y_0)$ 時，$f(x,y)$ 趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在

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例

多元函數的連續性

偏導數

偏導數的定義及其計算法

在求對 $x$ 的偏導時，將 $x$ 以外的變量都看作常量即可

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偏導數的幾何意義

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• 我們已經知道，如果一元函數在某點具有導數，那么它在該點必定連續．但對多元函數來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續．這是因為各偏導數存在只能保證點 $P$ 沿著平行于坐標軸的方向趨于 $P_0$ 時，函數值 $f(P)$ 趨于 $f(P_0)$，但不能保證點 $P$ 按任何方式趨與 $P_0$ 時, 函數值 $f(P)$ 都趨于 $f(P_0)$

高階偏導數

• 按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數：
  其中第二、三兩個偏導數稱為混合偏導數

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• 二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關
  

全微分

全微分的定義

偏微分與偏增量

• 根據一元函數微分學中增量與微分的關系，可得
  上面兩式的左端分別叫做二元函數對 $x$ 和對 $y$ 的偏增量，而右端分別叫做二元函數對 $x$ 和對 $y$ 的偏微分

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全增量

• 與一元函數的情形一樣，我們希望用自變量的增量 $\Delta x$、$\Delta y$ 的線性函數來近似地代替函數的全增量 $\Delta z$，從而引入全微分

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多元函數可微

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• 多元函數在某點的偏導數存在，并不能保證函數在該點連續；但是，由上述定義可知，如果函數 $z=f(x,y)$ 在點 $(x,y)$ 可微分，那么這函數在該點必定連續
  • 證：
    

$\rho \to 0$ 與 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 相當

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可微分的條件

• 注意：各偏導數的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件 (當函數的各偏導數都存在時，雖然能形式地寫出 $\frac{?z}{?x}\Delta x+\frac{?z}{?y}\Delta y$, 但它與 $\Delta z$ 之差并不一定是較 $\rho$ 高階的無窮小，因此它不一定是函數的全微分)
  

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疊加原理

• 習慣上，我們將自變量的增量 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 分別記作 $dx$ 與 $dy$, 并分別稱為自變量 $x$ 與 $y$ 的微分．這樣，函數 $z=f(x,y)$ 的全微分就可寫為
  
• 疊加原理也適用于三元以上的函數. 例如，如果三元函數 $u=f(x,y,z)$ 可微分，那么它的全微分就等于它的三個偏微分之和，即
  

全微分在近似計算中的應用

• 如果函數可微，則可以利用全微分對全增量的近似來對二元函數作近似計算和誤差分析：
  

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多元復合函數的求導法則

一元函數與多元函數復合的情形

多元函數與多元函數復合的情形

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全微分形式不變性

隱函數的求導公式

一個方程的情形

• 這里不證上述定理，僅就公式 (5-2) 作如下推導：將方程 $F(x,y)=0$ 所確定的函數 $y=f(x)$ 代入 $F(x,y)=0$, 得恒等式
  求這個函數的全導數，可得
  由此可得公式 (5-2)
• 如果 $F(x,y)$ 的二階偏導數也都連續，我們可以把等式 (5-2) 的兩端看做 $x$ 的復合函數而再一次求導，即得
  

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• 這個定理我們也不證明。與定理 1 類似，由隱函數存在的條件可以推導出公式 (5-4)

方程組的情形

• 下面我們將隱函數存在定理作另一方面的推廣．我們不僅增加方程中變量的個數，而且增加方程的個數．例如，考慮方程組
  這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此方程組就有可能確定兩個二元函數

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方向導數與梯度

方向導數

• 偏導數反映的是函數沿坐標軸方向的變化率，下面我們來討論函數沿任一指定方向的變化率

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方向導數

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方向導數與偏導數的關系

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方向導數與可微的關系

梯度

梯度

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方向導數與梯度

• 可以看出：梯度 $?f$ 是這樣一個向量，它的方向是函數 $f(x,y)$ 在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模就等于方向導數的最大值

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函數的梯度就是函數等值線的法向量

單位法向量的推導如下：設 $f(x,y)=c$ 確定了隱函數 $y=g(x)$，因此 $f(x,g(x))=c$，等式兩端對 $x$ 求導可得 $f_x+f_y{g}^{\prime }=0$，因此 $g^{\prime }=?\frac{f_x}{f_y}$；而法線與切線的斜率之積為 $?1$，因此法線斜率為 $\frac{f_y}{f_x}$，故法線向量為 $(1,\frac{f_y}{f_x})$ 或 $(f_x,f_y)$

• 上面討論的梯度概念可以類似地推廣到三元函數的情形

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參考

• 《高等數學》(同濟版)
• 湯家鳳考研資料

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高数复习: 多元函数微分学及其应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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