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今天和大家一起復(fù)習(xí)的是洛必達法則，這個法則非常重要，在許多問題的解法當中都有出現(xiàn)。雖然時隔多年，許多知識點都已經(jīng)還給老師了，但是我仍然還記得當年大一的時候，高數(shù)老師在講臺上慷慨激昂的樣子。

上篇文章當中我們回顧了微分中值定理，今天要說的洛必達法則其實是微分中值定理一個經(jīng)典的應(yīng)用。所以有遺忘或者是新關(guān)注的同學(xué)可以點下下方的鏈接回顧一下上篇文章的內(nèi)容。

高等數(shù)學(xué)——微分中值定理

用處

我們學(xué)習(xí)的目的往往很樸素，就是學(xué)以致用，之前的時候我總覺得這種想法有些現(xiàn)實，后來我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)了不能致用的知識都忘得差不多了。所以盡管我們的心態(tài)要放好，但是操作的時候可以實際一些，先從用處入手，也許能更好地理解也說不定。

洛必達法則的應(yīng)用場景非常簡單，就是能解決一些一下子無法求解的極限問題。不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)，不管在什么領(lǐng)域，總有一些一下子無法解決的問題。伴隨著對這些問題的研究，我們的技術(shù)和理論在不斷的進步，工作在不斷地簡化，效率越來越高。無論是數(shù)學(xué)上某個領(lǐng)域的突破還是計算機當中某些工具的迭代和演進，莫不如此。

我們之前介紹極限的文章當中講過一道例題：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$$

在這題當中，由于x趨向于0的時候，$\sin x$和x都趨向于0，我們要計算0除以0的結(jié)果，當時為了解決這個問題，我們用上了夾逼法，對它進行了縮放之后才得到了極限。類似的極限還有很多，本質(zhì)上來說問題在于當分子和分母都趨向于0時，我們很難計算得到結(jié)果。

比如$\frac{x}{x^2}$，這個問題很簡單，只要進行約分，那么就是$\frac{1}{x}$的極限，x趨向于0時，顯然$\frac{1}{x}$趨向于無窮大。但如果不約分呢？它就是一個極限0除以極限0的問題，和上面的結(jié)果不同，它的比值結(jié)果是無窮大。

洛必達法則就是為了解決上述這些極限問題而出現(xiàn)的。

定義

洛必達法則的本質(zhì)是一個定理，它規(guī)定，如果一個形如$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}$的極限，如果它滿足：

x趨向于常數(shù)a時，函數(shù)$f(x)$和$F(x)$都趨向于0

在點a的去心鄰域內(nèi)，$f(x)$和$F(x)$的導(dǎo)數(shù)都存在，并且$F^{\prime }(x)=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$存在

那么：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$

也就是當變量趨向于一個常數(shù)時，如果分子分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么我們可以用導(dǎo)數(shù)的極限比值來代替原函數(shù)的比值。

我們來試著證明這個定理，如果你回顧了微分中值定理的話，這個定理的證明非常簡單。我們來試一下證明。

證明

由于函數(shù)在a點的去心鄰域可導(dǎo)，也就是說函數(shù)在這個a的去心鄰域內(nèi)連續(xù)。那么我們套用柯西中值定理，在x趨向于a時，可以得到在區(qū)間(a, x)內(nèi)找到一個點$\xi$，使得：

$$\frac{f(x)?f(a)}{F(x)?F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$

到這里還差一點，因為還少了一個條件，書上的解釋是由于函數(shù)比值的極限與函數(shù)值無關(guān)，所以可以假設(shè)f(a)和F(a)等于0。我個人覺得這樣有些不厚道，就和證明過程里寫易證、易得是一樣的。其實我們只要將這兩做差，證明一下差值等于0即可。

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)?f(a)}{F(x)?F(a)}?\frac{f(x)}{F(x)}$$

通分之后，可以得到：

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)F(a)?f(a)F(x)$$

到這里，不難看出來，當x趨向于a的時候，上面的差值趨向于0，所以：

$$\frac{f(x)?f(a)}{F(x)?F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}=\frac{f(x)}{F(x)}$$

由于x趨向于a的時候，$\xi$也趨向于a，那么我們就得到了：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$

嘗試

我們學(xué)會了洛必達法則之后就可以活學(xué)活用來解決一些比較棘手的極限問題了。比如剛才我們舉的例子就再也不是問題了。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1$$

再來看一個：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3?3x+2}{x^3?x^2?x+1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2?3}{3x^2?2x?1}$$

到這里我們還是無法得到結(jié)果，看樣子是卡殼了。但是別著急，洛必達法則是可以嵌套使用的。原因很簡單，只要我們把$f^{\prime }(x)$看成是新的$f(x)$，$F^{\prime }(x)$看成是新的$F(x)$，那么我們可以繼續(xù)使用洛必達法則。也就是說，我們可以得到：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}=\frac{f^{\prime \prime }(x)}{F^{\prime \prime }(x)}$$

當然使用嵌套也存在前提，前提就是二階導(dǎo)數(shù)存在，并且$F^{\prime \prime }(x)=0$。同樣的道理，只要高階導(dǎo)數(shù)存在，并且分母不為0，我們可以一直嵌套下去。所以洛必達法則也可以稱為套娃法則[狗頭]。有了套娃之后，問題就簡單了，上面的問題我們只要往下套就行了：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2?3}{3x^2?2x?1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{6x}{6x?2}=\frac{3}{2}$$

變形

除了套娃之外，洛必達法則還存在一個著名的變形。前面討論的使用范疇都是在x趨向于一個常數(shù)的情況下的，其實在一些特殊的情況下，當x趨向于正無窮時，我們一樣可以套用洛必達法則。和基礎(chǔ)版本一樣，同樣需要函數(shù)f(x)和F(x)滿足一些條件：

x趨向于正無窮時，f(x)和F(x)同時趨向于0或者無窮

存在N使得當|x| > N時，f’(x)和F’(x)都存在，并且F’(x)不等于0

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$存在

我們來看個例子：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^2}$

我們可以看出來，當x趨向于無窮的時候，分子分母都趨向于無窮。所以我們可以使用洛必達法則：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2x^2}=0$$

總結(jié)

洛必達法則在高數(shù)當中非常重要，尤其是在計算極限的時候，很多看起來很麻煩的極限在經(jīng)過洛必達法則的轉(zhuǎn)換之后說不定就簡單得多。

但是關(guān)于洛必達法則使用的限制看起來有些麻煩，其實我們只需要牢記兩點即可。第一點是不管x趨向于什么值，只要保證分子分母同時趨向于0或者是無窮，并且導(dǎo)數(shù)存在，且分母的導(dǎo)數(shù)不為0即可。也就是說如果分子分母的極限不同時為0或者無窮大，則不能使用洛必達法則。這一點一定要牢記，因為在我們多次使用洛必達法則的過程當中，很有可能出現(xiàn)分子分母不在滿足這個條件的情況，我們在使用的時候一定要銘記。

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參考資料

維基百科

高等數(shù)學(xué)（上海交大出版社）

程序員的數(shù)學(xué)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学——详解洛必达法则的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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